第六章

計(jì)數(shù)原理6.2

排列與組合6.2.1

排列

6.2.2

排列數(shù)圖解課標(biāo)要點(diǎn)教材幫

新知課丨必備知識解讀知識點(diǎn)1

排列

.

..

.知識剖析

對排列定義的理解

（1）排列的定義包括三個方面:

①所有元素都不相同；

②取出元素；

③按照一定的順序排成一列.

（2）在定義中“一定的順序”就是說與位置有關(guān)，不考慮順序就不是排列.

（3）一個排列就是完成一件事的一種方法；不同的排列就是完成一件事的不同方法.學(xué)思用·典例詳解

【解析】對于（1），結(jié)果與以哪一個數(shù)為橫坐標(biāo)，哪一個數(shù)為縱坐標(biāo)的順序有關(guān)，所以這是排列問題.對于（2），由于集合中的元素具有無序性，即集合不受所選兩個數(shù)的排列順序的影響，所以這不是排列問題.知識點(diǎn)2

排列數(shù)1

排列數(shù)的定義

2

排列數(shù)公式

圖6.2.1-1

.

.3

全排列與階乘全排列階乘

學(xué)思用·典例詳解例2-2

(2025·廣東省廣州市第一一三中學(xué)月考)從5本不同的書中選出3本分別送給3位同學(xué)，每人一本，則不同的方法數(shù)是(

)BA.10

B.60

C.243

D.15

例2-3

計(jì)算：

D

B

BA.11

B.12

C.13

D.14

釋疑惑

重難拓展知識點(diǎn)3

排列數(shù)的性質(zhì)

學(xué)思用·典例詳解例3-5

利用排列數(shù)公式證明性質(zhì)②.

方法幫

解題課丨關(guān)鍵能力構(gòu)建題型1

排列數(shù)公式的應(yīng)用

【解析】

.

.

【學(xué)會了嗎丨變式題】1.求證：

2.(2025·山東省聊城市月考)

題型2

無限制條件的排列問題例7（1）6個人走進(jìn)有10把不同椅子的屋子，若每把椅子只能坐一人，共有不同坐法的種數(shù)為(

)B

（2）把15人分成前、中、后三排,每排5人,則共有不同的排法種數(shù)為(

)C

例8（1）某信號兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任掛1面、2面或3面旗，并且不同的順序表示不同的信號，則一共可以表示____種不同的信號.15

（2）將4位司機(jī)、4位售票員分配到4輛不同班次的公共汽車上，每輛汽車均有1位司機(jī)和1位售票員，則共有_____種不同的分配方案.576

【學(xué)會了嗎丨變式題】3.3張卡片正反面分別標(biāo)有數(shù)字1和2,3和4,5和7，若將3張卡片并列組成一個三位數(shù)，可以得到不同的三位數(shù)的個數(shù)為(

)BA.30

B.48

C.60

D.96

題型3

特殊元素或特殊位置問題例9

甲、乙等6個人按下列要求站成一橫排，分別有多少種不同的站法？（1）甲不站最右端，也不站最左端；

（2）甲、乙站在兩端；

（3）甲不站最左端，乙不站最右端.

（元素分析法）

以甲的位置為依據(jù)，可分兩類：

.

.

（位置分析法）

根據(jù)題意，可分為4種情況：

名師點(diǎn)評

本題第（3）問方法2中，甲乙都是特殊元素，先考慮甲，當(dāng)甲在最右端時，乙不可能在最右端，此時可認(rèn)為乙不是特殊元素，正常排列即可；當(dāng)甲不在最右端時，因?yàn)槠洳荒茉谧钭蠖?，所以只能在中間選位置，甲排好后考慮乙，此時乙為特殊元素，按照要求排列即可.例10

(教材改編P27

T12)用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的數(shù),則（1）可以組成多少個六位奇數(shù)？【解析】

（位置分析法）

分三步完成：

（2）可以組成多少個不大于4

310的四位偶數(shù)？

.

..

..

..

.（3）可以組成多少個5的倍數(shù)的五位數(shù)？

“特殊”優(yōu)先原則常見的“在”與“不在”的有限制條件的排列問題就是典型的特殊元素或特殊位置問題，解題原則是誰“特殊”誰優(yōu)先.圖6.2.1-2一般從如圖6.2.1-2所示三種思路考慮.一般地，當(dāng)限制條件有兩個或兩個以上時，若互不影響，則直接按分步解決；若相互影響，則先分類，然后在每一類中再分步解決.【學(xué)會了嗎丨變式題】4.[教材改編P19例4](2025·山東省濟(jì)南第一中學(xué)檢測)若從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中選3個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)，則這樣的三位數(shù)一共有(

)CA.20個

B.48個

C.52個

D.120個

5.把甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周六的6天中參加某項(xiàng)志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，則不同的安排方法共有(

)CA.20種

B.30種

C.40種

D.60種

題型4

“捆綁法”解決相鄰問題例11

(2025·山西省晉中市月考)有3名女生、4名男生站成一排，女生必須相鄰，男生也必須相鄰，則不同排法的種數(shù)是(

)DA.72

B.96

C.144

D.288

名師點(diǎn)評

上述解題方法稱為“捆綁法”,解題思路是先整體再局部,主要用于解決對象相鄰問題.事實(shí)上,相鄰問題是有限制條件的排列問題.

.

.

.

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【學(xué)會了嗎丨變式題】6.6個停車位，有3輛汽車需要停放，若要使3個空位連在一起，則停放的方法種數(shù)為(

)D

題型5

“插空法”解決不相鄰問題例13

5位母親帶領(lǐng)5名兒童站成一排照相，兒童不相鄰的站法有________種.86

400

名師點(diǎn)評

上述解題方法稱為“插空法”，主要用于解決元素不相鄰問題.事實(shí)上，“兒童不相鄰”即元素的排列是有限制條件的，因此也是有限制條件的排列問題.

.

..

.

.

.

.

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【學(xué)會了嗎丨變式題】7.新情境

傳統(tǒng)文化

(2025·四川省南充高級中學(xué)月考)中國古代儒家要求學(xué)生掌握六種基本才能：禮、樂、射、御、書、數(shù).某校國學(xué)社團(tuán)周末開展“六藝”課程講座活動，每天連排六節(jié)，每“藝”一節(jié)，排課有如下要求：“禮”和“數(shù)”不能相鄰，“射”和“樂”必須相鄰.則“六藝”課程講座不同的排課順序共有(

)DA.24種

B.72種

C.96種

D.144種

.

..

.題型6

排列中的定序問題例15

有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，將7名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？

.

..

..

.

【學(xué)會了嗎丨變式題】圖6.2.1-38.某年元宵節(jié)燈展后，如圖6.2.1-3所示懸掛著的六盞不同的花燈需要取下，每次取一盞，甲比乙先取下，丙比丁先取下，戊比己先取下，則共有____種不同的取法.（用數(shù)字作答）90

.

.高考幫

考試課丨核心素養(yǎng)聚焦考情揭秘排列問題是本章的一個重要內(nèi)容，高考中涉及的排列問題普遍為帶有限制條件（如元素相鄰、元素不相鄰等）的排列問題以及排列與古典概型的綜合應(yīng)用問題等,求解的關(guān)鍵在于將實(shí)際問題合理、正確地轉(zhuǎn)化成排列問題，利用排列知識求解，注意與分步問題的區(qū)分.一般以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，難度中等.核心素養(yǎng)：邏輯推理（判斷是否與順序有關(guān)）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（排列數(shù)、概率的計(jì)算等）.考向1

排列問題例16

(2025·上海)4個家長和2個兒童去爬山，6個人需要排成一條隊(duì)列，要求隊(duì)列的頭和尾均是家長，則不同的排列種數(shù)為_____.288

.

.例17

(2023·全國甲卷)現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有(

)BA.120種

B.60種

C.30種

D.20種

例18

(2022·新高考全國Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有(

)BA.12種

B.24種

C.36種

D.48種

考向2

排列與概率的綜合例19

(2024·全國甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是(

)B

例20

(2023·全國乙卷)某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的概率為(

)A

例21

(全國Ⅲ卷)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是(

)D

高考新題型專練

ABA.3

B.4

C.5

D.6

2.[多選題](2025·廣東省陽江市第三中學(xué)期中)下列關(guān)于甲、乙、丙、丁、戊五個身高互不相同的人的排列方法，正確的有(

)ADA.甲、乙兩人相鄰，丙、丁兩人也相鄰的站法有24種B.甲、乙、丙互不相鄰的站法共有72種方法C.甲、乙、丙順序固定，丁、戊相鄰的站法有6種D.甲不在排頭的站法有96種

練習(xí)幫

習(xí)題課丨學(xué)業(yè)質(zhì)量測評A

基礎(chǔ)練丨知識測評建議時間：30分鐘1.要從甲、乙、丙、丁、戊5個人中選出1名組長和1名副組長，但甲不能當(dāng)副組長，則不同的選法種數(shù)是(

)BA.20

B.16

C.10

D.6

2.在由1，2，3，4，5這五個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各數(shù)位上的數(shù)字之和為奇數(shù)的數(shù)共有(

)BA.36個

B.24個

C.18個

D.6個

.

.

BA.12種

B.14種

C.16種

D.24種

4.(2025·廣東省深圳市新安中學(xué)期中)某校高二學(xué)生進(jìn)行演講比賽，原有5名同學(xué)參加，后又增加2名同學(xué)，如果保持原來5名同學(xué)順序不變，那么不同的比賽順序有(

)DA.12種

B.30種

C.36種

D.42種

5.有6道不同的選擇題，答案分別為A，B，C，D，D，D，在安排題目順序時，要求3道選D的題目任意兩道不能相鄰，則不同的排序方法的種數(shù)為(

)DA.216

B.168

C.156

D.144

6.[多選題]17名同學(xué)站成兩排，前排7人，后排10人，則不同站法的種數(shù)為(

)BD

8.(2025·江蘇省昆山中學(xué)月考)一場晚會有5個唱歌節(jié)目和3個舞蹈節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單，則（1）前4個節(jié)目中要有舞蹈，有多少種排法？

（2）3個舞蹈節(jié)目要排在一起，有多少種排法？

（3）3個舞蹈節(jié)目彼此要隔開，有多少種排法？

B

綜合練丨高考模擬建議時間：35分鐘9.(2025·河南省信陽高級中學(xué)月考)將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為(

)C

10.新定義

波浪數(shù)形如45

132這樣的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位上的數(shù)字、千位上的數(shù)字比它們各自相鄰的數(shù)字大，則由1，2，3，4，5可以構(gòu)成沒有重復(fù)數(shù)字的5位“波浪數(shù)”的個數(shù)為(

)CA.20

B.18

C.16

D.11

圖6.2.1-111.[教材改編P27

T17](2025·江西省南昌市第十中學(xué)期末)某植物園要在如圖6.2.1-1所示的5個區(qū)域種植果樹，現(xiàn)有5種不同的果樹可供選