第六章

計數(shù)原理培優(yōu)幫丨章末總結(jié)巧梳理

知識框圖提能力

專題歸納專題

排列、組合問題的17種解題策略排列、組合是本章學(xué)習(xí)中的一個重要內(nèi)容，我們通過平時做的練習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)排列、組合題的特點是條件隱晦，不易挖掘，題型多變，解法獨特，數(shù)字龐大，難以驗證.同學(xué)們只要把基本的解題策略掌握熟練，再根據(jù)題目的條件,就可以選取不同的技巧來解決問題.對于一些比較復(fù)雜的問題,還可以將幾種策略結(jié)合起來應(yīng)用，把復(fù)雜的問題簡單化，舉一反三，觸類旁通，進(jìn)而為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).這里，我們對排列、組合問題的17種常見的解題策略進(jìn)行歸納總結(jié).1

特殊對象和特殊位置優(yōu)先策略位置分析法和對象分析法是解決排列、組合問題最常用也是最基本的方法.若以對象分析為主,需先安排特殊對象,再處理其他對象.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其他位置.若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其他條件.例1

(2025·廣東省惠州市第八中學(xué)段考)從1,2,3,4,5,6這6個數(shù)字中，任取3個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中若有1和3時，3必須排在1的前面；若只有1和3中的1個時，它應(yīng)排在其他數(shù)字的前面，這樣的不同三位數(shù)共有____個（用數(shù)字作答）.60

2

相鄰對象捆綁策略要求某幾個對象必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決，即將需要相鄰的對象合并為一個對象,再與其他對象一起排列,同時要注意合并對象“內(nèi)部”也必須排列.例2

(2025·天津市塘沽二中月考)甲、乙、丙、丁、戊五個人身高互不相同的人排成一排，若要求甲、乙兩人相鄰，丙、丁兩人也相鄰，則不同的排法有(

)AA.24種

B.48種

C.96種

D.144種

3

不相鄰問題插空策略對于元素不相鄰問題，可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排列，再把不相鄰元素插入隊列的中間和兩端.例3

(2025·天津市第四十二中學(xué)月考)七名同學(xué)站成一排照相，其中甲、乙二人相鄰，且丙、丁二人不相鄰的不同排法種數(shù)為_____.960

4

定序問題倍縮、空位插入策略定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理.

AA.120種

B.180種

C.240種

D.480種

例5

10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求每排從左至右身高逐漸增加，則不同的排法共有_____種（填數(shù)字）.252

例6

6個高矮不等的同學(xué)站成兩行三列,如果每一列前面的同學(xué)比其身后的同學(xué)矮,則不同的站法共有____種.90

名師點評

對于順序確定的排列問題，只要選出有序?qū)ο笏嫉奈恢眉纯?5

重排問題求冪策略

例7

(2025·湖南省常德市漢壽縣第一中學(xué)月考)甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同站法有_____種（用數(shù)字作答）.336

例8

僅使用2,3兩個數(shù)字，可以組成不同的五位數(shù)共有____個.32

以所含2的個數(shù)分六類：

6

分排問題直排策略一般地,對于對象分成多排的排列問題,可先轉(zhuǎn)化為一排考慮,再分段研究.例9

8人排成前后兩排,每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少種排法?

例10

(2025·湖北省武漢市育才高級中學(xué)月考)有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位.現(xiàn)安排兩人就座，規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這兩人左右不相鄰，那么不同排法的種數(shù)是_____.346【解析】

因為前排中間3個座位不能坐，

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..

..

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.7

環(huán)排問題線排策略

例11

5個小朋友站成一圈，不同的站法一共有(

)DA.120種

B.60種

C.30種

D.24種

例12

5個女孩與6個男孩圍成一圈，任意兩個女孩中間至少站一個男孩，則不同排法有________種（填數(shù)字）.86

400【解析】

因為任意兩個女孩中間至少站一個男孩，故有且僅有兩個男孩站在一起.

8

對象相同問題隔板策略

（1）要求每盒非空例13

將10個相同的小球分別裝入3個不同的盒子中且每盒非空（每盒至少裝1個小球），則不同的裝法有____種.36【解析】將10個小球排成一排，在其兩兩之間的9個空中任取2個畫上豎線，這樣就將10個小球分成了3組.圖6-1所示的是其中一種分法.圖6-1

例14

(2025·江蘇省南京外國語學(xué)校期中)將20個相同的小球全部放入編號為3，4，5的三個盒子中，要求每個盒內(nèi)的球數(shù)不少于它的編號數(shù)，則不同的放法種數(shù)為____.45

（3）要求每盒可空例15

將8個相同的小球分別放入4個不同的盒子中，每盒可空，則不同的放法有_____種（填數(shù)字）.165

名師點評

實際上，本題等價于“將12個相同的小球分別裝到4個不同的盒子中，每盒至少裝1個”的問題.9

小集團(tuán)問題先局部后整體策略小集團(tuán)排列問題中，先局部后整體，再結(jié)合其他策略進(jìn)行處理.例16

7個人排成一排，甲、乙之間有且只有2人，共有_____種排法.960

10

正難則反總體淘汰策略有些排列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡單易求,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.例17

(2025·河北省保定市月考)把3男2女5名新生分配到甲、乙兩個班，每個班分到的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，則不同的分配方案種數(shù)為____.16

11

先選后排策略先選后排是排列、組合問題最基本的解題思想.此法與相鄰對象捆綁策略相似.例18

8人站成一排,要調(diào)換其中3人的位置使其均不在原來的位置上,其余5人的位置不動,則不同的調(diào)換方法共有_____種.112

圖6-2然后3人交換位置，只有2種方法，如圖6-2.

12

平均分組問題除法策略

例19

某城市有3個演習(xí)點同時進(jìn)行消防演習(xí),現(xiàn)將5個消防隊分配到這3個演習(xí)點,若每個演習(xí)點至少安排1個消防隊,則不同的分配方案種數(shù)為(

)AA.150

B.240

C.360

D.540

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.13

合理分類與分步策略解含有約束條件的排列組合問題，可按對象的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程進(jìn)行分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定，就要貫穿于解題過程的始終.例20

(2025·陜西省西安交大附中月考)有10名演員,其中8人會唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要表演一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,則不同的選派方法共有_____種.199

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.名師點評

本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：（1）以3名全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)；（2）以3名全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)；（3）以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn).同學(xué)們可試著解答一下.14

構(gòu)造模型策略（1）最短路線模型

圖6-3【解析】弄清事件,從結(jié)果入手,理解最短路線就是只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進(jìn),不同的設(shè)計將會產(chǎn)生不同的解法.圖6-4

（2）爬樓梯模型例22

某人上一個有10級臺階的樓梯，每步可上1級或2級，共有多少種不同的上臺階的方法？

故上臺階的方法共有89種.15

實際操作窮舉策略對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運算，利用窮舉法或畫出樹狀圖往往會達(dá)到意想不到的效果.例23

(2025·天津市紅橋區(qū)期末)將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字都不相同的填法有(

)BA.6種

B.9種

C.11種

D.23種【解析】

（樹狀圖法）

畫出樹狀圖如圖6-5所示：圖6-5故滿足題意的填法有9種.

（分步法）

第一步，先把1填入方格，符合條件的填法有3種；

16

分解與合成策略分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略,把一個復(fù)雜問題分解成幾個小問題逐一解決,然后依據(jù)分解后問題的結(jié)構(gòu),用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理將問題合成,從而得到問題的答案.例24

30

030能被多少個不同的偶數(shù)整除？

17

化歸策略

600圖6-6

一題一課·學(xué)一題會一類求三項展開式的項數(shù)的解法及解法的應(yīng)用

隔板法是解決計數(shù)問題的一種方法，其適用條件是：（1）元素完全相同；（2）將元素有序分組，每組至少一個元素.應(yīng)用隔板法可以解決諸多類型的計數(shù)問題.1

不定方程的解的組數(shù)

（1）不定方程正整數(shù)解的組數(shù);

（2）不定方程自然數(shù)解的組數(shù);

2

一類取數(shù)中的計數(shù)問題

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3

名額分配中的計數(shù)問題例29

(2025·湖北省武漢市期中)將24個大學(xué)生名額分到三個單位，每個單位至少一個名額，且名額數(shù)互不相同，則不同的分配方案有多少種？

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.一章一練·學(xué)思維知創(chuàng)新例30

數(shù)學(xué)文化

楊輝三角[多選題](2025·山東省實驗中學(xué)期中)楊輝是我國古代數(shù)學(xué)史上一位著述豐富的數(shù)學(xué)家，著有《詳解九章算法》《日用算法》和《楊輝算法》．他在所著的《詳解九章算法》中給出了楊輝三角，如圖6-7是楊輝三角的數(shù)字表示．根據(jù)材料，下列說法正確的是(

)圖6-7

√√√

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尖子生

強(qiáng)基自招命題點1

計數(shù)問題

例34

(2022·北京大學(xué)強(qiáng)基計劃)將不大于12的正整數(shù)分為6個兩兩交集為空集的二元集合，且每個集合中兩個元素互質(zhì)，則不