第八章

成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.3

列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)圖解課標(biāo)要點(diǎn)教材幫

新知課丨必備知識(shí)解讀知識(shí)點(diǎn)1

分類變量與列聯(lián)表1

分類變量

分類變量是一種特殊的隨機(jī)變量，它是用不同的“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，這里的“值”應(yīng)作為“廣義”的值進(jìn)行理解，它取的不一定是具體的數(shù)值.教材深挖

如何理解分類變量

1.分類變量也稱屬性變量或定性變量.它的不同的取值僅表示個(gè)體所屬的類別，如性別變量，只取男、女兩個(gè)值，有時(shí)也可以把分類變量的不同取值用數(shù)字來表示，但這時(shí)的數(shù)字除了表示分類以外沒有其他的含義.例如，用0表示“男”，1表示“女”，性別變量就變成取值為0和1的隨機(jī)變量，這些數(shù)字并沒有其他的含義，此時(shí)比較性別變量的兩個(gè)不同值之間的大小沒有意義，性別變量的均值和方差也沒有意義.

2.分類變量的取值一定是離散的.

3.分類變量是大量存在的，如是否吸煙，商品的等級(jí)等.2

列聯(lián)表

合計(jì)合計(jì)

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.3

兩個(gè)分類變量之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的定性分析的方法

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（2）圖形分析法：與表格相比，圖形更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否互相影響，常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征.

將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)用高度相同的兩個(gè)條形圖表示出來,其中兩列的數(shù)據(jù)分別對(duì)應(yīng)不同的顏色,這就是等高堆積條形圖.

等高堆積條形圖可以展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征,能夠直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響.可以觀察下方顏色區(qū)域的高度,如果兩個(gè)高度相差比較明顯,就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系.（利用等高堆積條形圖判斷兩個(gè)分類變量關(guān)聯(lián)性的方法）.

..

.學(xué)思用·典例詳解

合計(jì)35457合計(jì)73

BA.10,38

B.17,45

C.10,45

D.17,38

例1-2

[教材改編P126例1]網(wǎng)絡(luò)對(duì)現(xiàn)代人的生活影響較大，尤其是對(duì)青少年，為了解網(wǎng)絡(luò)對(duì)中學(xué)生學(xué)習(xí)成績的影響，某地區(qū)教育主管部門從轄區(qū)初中生中隨機(jī)抽取了1

000人調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中經(jīng)常上網(wǎng)的有200人，這200人中有80人期末考試不及格，而另外800人中有120人不及格.學(xué)生經(jīng)常上網(wǎng)與學(xué)習(xí)成績有關(guān)嗎？

成績上網(wǎng)合計(jì)經(jīng)常上網(wǎng)不經(jīng)常上網(wǎng)不及格80120200及格120680800合計(jì)2008001

000

圖8.3-1

由題意得到等高堆積條形圖如圖8.3-1所示：比較圖中陰影部分，可以發(fā)現(xiàn)期末考試不及格的人中經(jīng)常上網(wǎng)的頻率明顯高于期末考試及格的人中經(jīng)常上網(wǎng)的頻率，（等高堆積條形圖中下方顏色區(qū)域的高度相差比較明顯）因此可以認(rèn)為經(jīng)常上網(wǎng)與學(xué)習(xí)成績有關(guān)..

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.【想一想丨歸納總結(jié)】列聯(lián)表與等高堆積條形圖的優(yōu)劣

判斷兩個(gè)分類變量關(guān)系強(qiáng)弱的過程中，利用列聯(lián)表可以準(zhǔn)確掌握總體中各部分的頻率，但是需要計(jì)算；利用等高堆積條形圖可以比較各個(gè)部分之間的差異，明確展現(xiàn)兩個(gè)分類變量的關(guān)系.利用上述兩種方法僅能粗略判斷，都不能知道兩個(gè)分類變量有關(guān)系的概率大小.知識(shí)點(diǎn)2

獨(dú)立性檢驗(yàn)1

獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式及定義

2

臨界值的定義

0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8284

獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體步驟

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.5

獨(dú)立性檢驗(yàn)與反證法

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學(xué)思用·典例詳解例2-3

給出下列實(shí)際問題：①一種藥物對(duì)某種病的治愈率；②兩種藥物治療同一種病是否有區(qū)別；③吸煙者得肺病的概率；④吸煙人群是否與性別有關(guān)系；⑤網(wǎng)吧與青少年的犯罪是否有關(guān)系.其中，用獨(dú)立性檢驗(yàn)可以解決的問題有(

)BA.①②③

B.②④⑤

C.②③④⑤

D.①②③④⑤【解析】獨(dú)立性檢驗(yàn)主要是對(duì)兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn)，因此可以解決的問題有②④⑤.例2-4

想要檢驗(yàn)喜歡參加體育活動(dòng)是否與性別有關(guān)，應(yīng)該檢驗(yàn)(

)D

【解析】獨(dú)立性檢驗(yàn)零假設(shè)有反證法的意味，應(yīng)假設(shè)兩個(gè)分類變量（而非變量的屬性）無關(guān)．

A

方法幫

解題課丨關(guān)鍵能力構(gòu)建

例6

在某次獨(dú)立性檢驗(yàn)中，得到如下列聯(lián)表：合計(jì)B2008001

000180合計(jì)380

BA.200

B.720

C.100

D.180

例7

[教材改編P135

T5]某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生作了一項(xiàng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：在平時(shí)的模擬考試中，性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情緊張，性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張.作出等高堆積條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類別是否有關(guān)聯(lián)．

性格內(nèi)向性格外向合計(jì)考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475合計(jì)4265941

020圖8.3-2作出相應(yīng)的等高堆積條形圖如圖8.3-2所示.從圖8.3-2中可以看出，考前心情緊張的樣本中性格內(nèi)向占的比例比考前心情不緊張的樣本中性格內(nèi)向占的比例明顯要高，所以可以認(rèn)為考前心情緊張與性格類別有關(guān)聯(lián).

【學(xué)會(huì)了嗎丨變式題】

B

BCD

CA.7

B.8

C.9

D.10

男生女生合計(jì)喜歡短視頻不喜歡短視頻合計(jì)

2

有關(guān)聯(lián)的檢驗(yàn)

使用壽命/年5678合計(jì)1020452510015354010100

車型使用壽命合計(jì)不高于6年不低于7年合計(jì)

車型使用壽命合計(jì)不高于6年不低于7年A型3070100B型5050100合計(jì)80120200

.

..

.

3

無關(guān)聯(lián)的檢驗(yàn)圖8.3-3例11

[教材改編P132例3]為了研究某種疾病的治愈率，某醫(yī)院對(duì)100名患者中的一部分患者采用了外科療法，另一部分患者采用了化學(xué)療法，并根據(jù)兩種治療方法的治愈情況繪制了等高堆積條形圖，如圖8.3-3：

療法療效合計(jì)未治愈治愈外科療法化學(xué)療法18合計(jì)100

療法療效合計(jì)未治愈治愈外科療法202040化學(xué)療法421860合計(jì)6238100

解決獨(dú)立性檢驗(yàn)問題的基本步驟【學(xué)會(huì)了嗎丨變式題】2.(2025·山東省濟(jì)南第一中學(xué)學(xué)情檢測(cè))小明為了了解不同性別的觀眾對(duì)去年春晚小品類節(jié)目的喜歡情況，隨機(jī)選取了200名觀看去年春晚的觀眾，得到如下列聯(lián)表：

喜歡不喜歡合計(jì)男性454590女性110合計(jì)80200

喜歡不喜歡合計(jì)男性454590女性7535110合計(jì)12080200

題型3

獨(dú)立性檢驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)概率的綜合例12

(2026·

山西省運(yùn)城市期末)2025年國家衛(wèi)生健康委員會(huì)聯(lián)合多部門發(fā)布了重要文件，旨在通過政策引導(dǎo)、科學(xué)宣教和社區(qū)支持，幫助民眾樹立健康生活方式，實(shí)現(xiàn)長期體重管理.為了解居民體育鍛煉情況，某區(qū)對(duì)轄區(qū)內(nèi)居民體育鍛煉進(jìn)行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計(jì)其中400名居民體育鍛煉的次數(shù)與年齡，得到如下的頻數(shù)分布表.年齡7055365925404431每周5次及以上552010

青年中年合計(jì)體育鍛煉頻率低體育鍛煉頻率高合計(jì)

青年中年合計(jì)體育鍛煉頻率低12595220體育鍛煉頻率高75105180合計(jì)200200400

【學(xué)會(huì)了嗎丨變式題】3.(2025·河南省駐馬店市期末)一家調(diào)查機(jī)構(gòu)在某地隨機(jī)抽查1

000名成年居民對(duì)新能源車與燃油車的購買傾向，得到如下表格：

傾向于購買燃油車傾向于購買新能源車合計(jì)女性居民150250400男性居民350250600合計(jì)5005001

000（1）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為對(duì)新能源車與燃油車的購買傾向存在性別差異？

（2）從傾向于購買燃油車的居民中按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人，再從中抽取4人進(jìn)行座談，求在有女性居民參加座談的條件下，恰有2名男性居民也參加座談的概率.

【答案】在所有參加調(diào)查的男性居民中按購買這兩種車的傾向性，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽12人，可得抽取結(jié)果如下表：傾向于購買燃油車傾向于購買新能源車男性居民75

0123

高考幫

考試課丨核心素養(yǎng)聚焦

例13

(2025·

全國一卷)為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了1

000人，得到如下列聯(lián)表:組別超聲波檢查結(jié)果合計(jì)正常不正常患該疾病20180200未患該疾病78020800合計(jì)8002001

000

例14

(2024·全國甲卷)某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造.升級(jí)改造后,從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn),數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)甲車間2624050乙車間70282100總計(jì)96522150（1）填寫如下列聯(lián)表:優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間乙車間

【解析】填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間2624乙車間7030

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品總計(jì)甲車間262450乙車間7030100總計(jì)9654150

高考新題型專練

日落云里走夜晚天氣合計(jì)下雨未下雨出現(xiàn)25530未出現(xiàn)254570合計(jì)5050100

ABC

滿意不滿意男3020女4010AC

練習(xí)幫

習(xí)題課丨學(xué)業(yè)質(zhì)量測(cè)評(píng)A

基礎(chǔ)練丨知識(shí)測(cè)評(píng)建議時(shí)間：35分鐘1.為了解A品牌手機(jī)和B品牌手機(jī)使用的情況是否和消費(fèi)者的性別有關(guān)，應(yīng)采用的統(tǒng)計(jì)方法是(

)CA.分層抽樣

B.回歸分析

C.獨(dú)立性檢驗(yàn)

D.頻率分布直方圖

A

圖8.3-13.“甲”和“乙”是兩款社交產(chǎn)品,小明為了解不同群體對(duì)這兩款產(chǎn)品的首選情況,統(tǒng)計(jì)了周圍老師和同學(xué)關(guān)于首選“甲”或“乙”的比例,得到如圖8.3-1所示的等高堆積條形圖,根據(jù)等高堆積條形圖中的信息,可判斷下列說法正確的是(

)AA.對(duì)老師而言,更傾向于首選“甲”B.對(duì)學(xué)生而言,更傾向于首選“乙”C.首選“甲”的老師比首選“甲”的學(xué)生多D.如果首選“甲”的老師比首選“甲”的學(xué)生多,那么小明統(tǒng)計(jì)的老師人數(shù)一定比學(xué)生多

性別羽毛球喜歡不喜歡女生男生50100D

5.［多選題］(2025·湖南省邵陽市期中)隨機(jī)詢問100人是否喜歡足球，得到如下列聯(lián)表：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男351550女252550合計(jì)6040100參照臨界值表，下列結(jié)論正確的是(

)BD

對(duì)工作滿意對(duì)工作不滿意男女14或15

對(duì)工作滿意對(duì)工作不滿意合計(jì)男女合計(jì)

7.[教材改編P134

T3](2025·四川省江油市第一中學(xué)月考)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表:一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

8.(2025·廣東省東莞市東莞中學(xué)段考)隨著科技的進(jìn)步，近年來，我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，各大品牌新能源汽車除了靠不斷提高汽車的性能和質(zhì)量來提升品牌競(jìng)爭力，在廣告投放方面的花費(fèi)也是逐年攀升.某校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)某品牌新能源汽車近5年的廣告費(fèi)投入（單位:億元）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，具體數(shù)據(jù)見下表:123454.85.6并隨機(jī)調(diào)查了400名市民對(duì)該品牌新能源汽車的認(rèn)可情況，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)見下表:認(rèn)可不認(rèn)可50

歲以下1406050

歲及以上12080

B

綜合練丨高考模擬建議時(shí)間：45分鐘

DA.135

B.145

C.146

D.150

支持不支持合計(jì)男生女生合計(jì)

10.［多選題］(2025·陜西省渭南市蒲城中學(xué)