第四節(jié)可數(shù)集第一章集合注：A可數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

A可以寫成無窮序列的形式{a1,a2,a3,…}1,2,3,4,5,6,…a1,a2,a3,a4,a5,a6,…例：1）Z={0，1，-1，2，-2，3，-3，…}

與自然數(shù)集N對等的集合稱為可數(shù)集或可列集，其基數(shù)記為１可數(shù)集的定義2）[0,1]中的有理數(shù)全體

={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,…}假設(shè)這是一個無限集M我們可以取出其中一個點a1顯然M\{a1}還是無限集在M\{a1}中可以取出一點a2顯然M\{a1，a2}還是無限集我們可以取出一個可數(shù)子集{a1,a2,a3,...}

任何無限集合均含有可數(shù)子集（即可數(shù)集是無限集中具有最小基數(shù)的集合)２可數(shù)集的性質(zhì)（子集）可數(shù)集的子集或為有限集或為可數(shù)集推論

可數(shù)集的性質(zhì)（并集）有限集與可數(shù)集的并仍為可數(shù)集A={a1,a2,a3,a4,a5,a6,…}當(dāng)集合有公共元素時，不重復(fù)排。假設(shè)A，B，C兩兩不交，則A∪B={b1,b2,b3,…,bn

，a1,a2,a3,…}可數(shù)個可數(shù)集的并仍為可數(shù)集有限個可數(shù)集的并仍為可數(shù)集C={c1,c2,c3,c4,c5,c6,…}B={b1,b2,b3,…,bn}A∪C={c1,a1,c2,a2,c3,a3,…}當(dāng)Ai互不相交時，按箭頭所示，我們得到一個無窮序列;當(dāng)Ai有公共元時，在排列的過程中除去公共元素；A1A2A3A4可數(shù)個可數(shù)集的并

仍為可數(shù)集的證明首先[0,1]中的有理數(shù)全體={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,…}是可數(shù)集，例全體有理數(shù)之集Q是可數(shù)集[][][][][][]-2-101234所以Q是可數(shù)集（可數(shù)個可數(shù)集的并）說明:有理數(shù)集在直線上稠密,但仍與稀疏分布在直線上的整數(shù)集有相同多的點(對等意義下).有限個可數(shù)集的卡氏積是可數(shù)集設(shè)A，B是可數(shù)集，則A×B也是可數(shù)集從而A×B也是可數(shù)集（可數(shù)個可數(shù)集的并）利用數(shù)學(xué)歸納法即得有限個乘積的情形3可數(shù)集的性質(zhì)（卡氏積）x固定，y在變例平面上以有理點為圓心，有理數(shù)為半徑的圓全體A為可數(shù)集證明：平面上的圓由其圓心(x,y)和半徑r唯一決定,從而r(x,y)例有限集與可數(shù)集的并仍為可數(shù)集可數(shù)集并可數(shù)集仍為可數(shù)集AA\MMB對上例的說明特殊情形：

[0,1]~(0,1)R~R-Q假設(shè)這是集合A從中可以取出可數(shù)子集M很容易將M一分為二M1,M2，使得兩個都是可數(shù)集A\MM={a1,a2,a3,a4,a5,a6,…}M1

={a1,a3,a5,…}M2={a2,a4,a6,…}取A*=(A\M)∪M1=A-M2即可例說明：由此我們可得任一無限集一定存在它的一個真子集與它有相同多的元素個數(shù)問:為什么不直接令A(yù)*=A\M?7.集合論中的例子

Hilbert旅館問題1,2,3,4,5,6,…a1,a2,a3,a4,a5,a6,…問下列情況是否能把新來的人安排下：1又來了有限個人{b1,b2,b3,…

，bn}3每個人帶無限多個親戚（親戚可排個隊）4又來了[0,1]個人2每個人帶一個親戚{b1,b2,b3,…,bn,…}Hilbert旅館問題解答1b1,b2,b3,

…,bn

,a1,a2,a3,…1,2,3,4,5,6,…a1,a2,a3,a4,a5,a6,…4不能安排進去（[0,1]是不可數(shù)集）2b1,a1,b2,a2,b3,a3,…3a1,a2,a3,a4,…