2025年CFA考試《數(shù)量方法》專項(xiàng)訓(xùn)練卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、假設(shè)一個(gè)投資組合包含兩種資產(chǎn)，資產(chǎn)A的預(yù)期收益率為12%，標(biāo)準(zhǔn)差為15%；資產(chǎn)B的預(yù)期收益率為8%，標(biāo)準(zhǔn)差為10%。兩種資產(chǎn)的協(xié)方差為正0.0125。如果投資組合中資產(chǎn)A的權(quán)重為60%，資產(chǎn)B的權(quán)重為40%，計(jì)算該投資組合的預(yù)期收益率和標(biāo)準(zhǔn)差。二、根據(jù)以下樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差：4,7,9,15,12,8,11三、某公司正在考慮是否投資一個(gè)新項(xiàng)目。已知該項(xiàng)目成功的概率為70%，成功時(shí)凈現(xiàn)值（NPV）為1000萬元；失敗的概率為30%，失敗時(shí)凈現(xiàn)值（NPV）為-500萬元。計(jì)算該項(xiàng)目的期望凈現(xiàn)值和方差。四、簡述貝葉斯定理的基本思想及其在投資分析中可能的應(yīng)用。五、解釋什么是正態(tài)分布。假設(shè)某股票的日收益率服從正態(tài)分布，其平均日收益率為1%，標(biāo)準(zhǔn)差為3%。計(jì)算該股票日收益率超過5%的概率。六、從一副標(biāo)準(zhǔn)的52張撲克牌（去掉大小王）中隨機(jī)抽取一張牌，記下花色后放回，再抽取一張牌。計(jì)算兩次都抽到紅桃的概率。如果改為不放回抽樣，兩次都抽到紅桃的概率是多少？七、某分析師對(duì)某股票的收益率進(jìn)行了回歸分析，得到以下結(jié)果（括號(hào)內(nèi)為標(biāo)準(zhǔn)誤）：收益率=0.5+1.2*市場指數(shù)（0.3）（0.4）R-squared=0.65，樣本量為100。解釋回歸系數(shù)1.2的經(jīng)濟(jì)含義，并檢驗(yàn)該系數(shù)是否在95%的置信水平下顯著異于0。八、描述移動(dòng)平均法和指數(shù)平滑法這兩種時(shí)間序列平滑技術(shù)的區(qū)別。指出哪種方法更適用于具有較強(qiáng)趨勢性的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。九、解釋假設(shè)檢驗(yàn)中的第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤。為什么說降低第一類錯(cuò)誤的概率通常會(huì)提高第二類錯(cuò)誤的概率？十、某分析師估計(jì)，某股票的月收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為20%。如果假設(shè)月收益率服從正態(tài)分布，計(jì)算該股票月收益率在平均值加減1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率。十一、解釋相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差在衡量兩個(gè)隨機(jī)變量之間線性關(guān)系強(qiáng)度方面的區(qū)別。十二、在進(jìn)行線性回歸分析時(shí)，為什么需要檢驗(yàn)回歸模型的整體顯著性（例如，通過F檢驗(yàn)）？試卷答案一、*預(yù)期收益率(E(Rp)):E(Rp)=wA*E(RA)+wB*E(RB)=0.60*12%+0.40*8%=7.2%+3.2%=10.4%*投資組合方差(σp2):σp2=wA2*σA2+wB2*σB2+2*wA*wB*Cov(A,B)=(0.60)2*(15%)2+(0.40)2*(10%)2+2*0.60*0.40*0.0125=0.36*0.0225+0.16*0.01+0.048*0.0125=0.0081+0.0016+0.0006=0.0103*投資組合標(biāo)準(zhǔn)差(σp):σp=√0.0103≈10.15%二、*樣本均值(x?):x?=(4+7+9+15+12+8+11)/7=66/7≈9.43*樣本方差(s2):s2=[Σ(xi-x?)2]/(n-1)=[(4-9.43)2+(7-9.43)2+(9-9.43)2+(15-9.43)2+(12-9.43)2+(8-9.43)2+(11-9.43)2]/6=[28.06+5.94+0.19+32.46+7.10+1.94+2.46]/6=77.15/6≈12.86*樣本標(biāo)準(zhǔn)差(s):s=√12.86≈3.58三、*期望凈現(xiàn)值(E[NPV]):E[NPV]=0.70*1000+0.30*(-500)=700-150=550萬元*方差(Var[NPV]):Var[NPV]=(0.70*(1000-550)2)+(0.30*(-500-550)2)=(0.70*4552)+(0.30*(-1050)2)=(0.70*207025)+(0.30*1102500)=145115+330750=475865(萬元2)四、貝葉斯定理描述了在給定一些新信息（證據(jù)）后，對(duì)某個(gè)事件先驗(yàn)概率進(jìn)行修正后得到后驗(yàn)概率的過程。其公式為P(A|B)=[P(B|A)*P(A)]/P(B)。在投資分析中，它可以用于根據(jù)市場的最新變化（B，證據(jù)）更新對(duì)某個(gè)投資策略或資產(chǎn)未來表現(xiàn)（A，假設(shè)）的概率估計(jì)（P(A|B)），例如根據(jù)新的宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)更新對(duì)某股票上漲概率的判斷。五、正態(tài)分布是一種連續(xù)概率分布，其概率密度函數(shù)呈鐘形，關(guān)于均值對(duì)稱，且均值、中位數(shù)和眾數(shù)相等。大部分?jǐn)?shù)據(jù)集中在均值附近，越遠(yuǎn)離均值，概率密度越小。計(jì)算概率需要知道均值(μ=1%)和標(biāo)準(zhǔn)差(σ=3%)。Z=(X-μ)/σ=(5%-1%)/3%=4/3≈1.33查找標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或使用計(jì)算器，P(Z>1.33)=1-P(Z≤1.33)≈1-0.9082=0.0918。概率約為9.18%。六、*放回抽樣:每次抽到紅桃的概率為13/52=1/4。P(兩次紅桃)=P(第一次紅桃)*P(第二次紅桃)=(1/4)*(1/4)=1/16*不放回抽樣:第一次抽到紅桃的概率為13/52=1/4。抽走一張紅桃后，剩下51張牌，其中12張是紅桃。P(兩次紅桃)=P(第一次紅桃)*P(第二次紅桃|第一次紅桃)=(1/4)*(12/51)=12/(4*51)=3/51=1/17七、*經(jīng)濟(jì)含義:回歸系數(shù)1.2表示，當(dāng)市場指數(shù)每變化一個(gè)單位（例如1%）時(shí)，該股票的收益率平均變化1.2%。它反映了該股票收益率對(duì)市場指數(shù)變動(dòng)的敏感度或彈性。*顯著性檢驗(yàn)(t-test):*零假設(shè)H0:β1=0(股票收益率與市場指數(shù)無關(guān))*備擇假設(shè)H1:β1≠0(股票收益率與市場指數(shù)相關(guān))*檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=β1/s(β1)=1.2/0.4=3.0*自由度df=n-2=100-2=98。*查t分布表或使用計(jì)算器，在95%置信水平（雙邊檢驗(yàn)，α=0.05），df=98時(shí)，臨界值約為±2.00。*由于|t|=3.0>2.00，拒絕零假設(shè)H0。*結(jié)論：該系數(shù)在95%的置信水平下顯著異于0，表明市場指數(shù)對(duì)該股票收益率有顯著影響。八、移動(dòng)平均法是對(duì)過去N期數(shù)據(jù)計(jì)算平均值，將最新數(shù)據(jù)納入計(jì)算并剔除最舊數(shù)據(jù)，形成一個(gè)移動(dòng)的均值序列。指數(shù)平滑法給近期數(shù)據(jù)更高的權(quán)重（通過平滑常數(shù)α），給較早數(shù)據(jù)遞減的權(quán)重。移動(dòng)平均法對(duì)近期變化反應(yīng)較慢，指數(shù)平滑法反應(yīng)更快。移動(dòng)平均法更適用于數(shù)據(jù)平滑和去除季節(jié)性波動(dòng)，而指數(shù)平滑法（尤其是帶有趨勢和季節(jié)性調(diào)整的）更適用于具有較強(qiáng)趨勢性的時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)測。九、第一類錯(cuò)誤是指在原假設(shè)H0實(shí)際上為真時(shí)，錯(cuò)誤地拒絕了H0，即“以真為假”。犯第一類錯(cuò)誤的概率用α表示。第二類錯(cuò)誤是指在原假設(shè)H0實(shí)際上為假時(shí)，錯(cuò)誤地未能拒絕H0，即“以假為真”。犯第二類錯(cuò)誤的概率用β表示。在固定的樣本量和顯著性水平α下，降低α（減少第一類錯(cuò)誤的可能性）通常意味著檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的臨界值會(huì)變得更嚴(yán)格，從而增加了未能檢測出真實(shí)差異（即犯第二類錯(cuò)誤）的可能性（β會(huì)增大）。反之亦然。十、根據(jù)正態(tài)分布特性，約68%的數(shù)據(jù)落在平均值加減1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（μ±σ）的范圍內(nèi)。因此，該股票月收益率在平均值加減1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（即1%±20%）范圍內(nèi)的概率約為68%。十一、相關(guān)系數(shù)(ρ或r)是一個(gè)介于-1和+1之間的標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)，用于衡量兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y之間線性關(guān)系的強(qiáng)度和方向。其計(jì)算考慮了變量的量綱和標(biāo)準(zhǔn)差，值域固定。協(xié)方差(Cov(X,Y))反映了兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合變動(dòng)程度，其數(shù)值大小與變量的量綱和標(biāo)準(zhǔn)差相關(guān)，沒有固定的量綱和界限，無法直接比較不同變量組之間的相關(guān)強(qiáng)度。相關(guān)系數(shù)消除了量綱影響，更適合比較不同變量間的線性相關(guān)程度。|ρ|越接近1，線性關(guān)系越強(qiáng)；|ρ|越接近0，線性關(guān)系越弱。Cov(X,Y)的符號(hào)表示同向或反向變動(dòng)，但大小難以直接比較。十二、線性回歸模型的整體顯著性檢驗(yàn)（通常用F檢驗(yàn)）旨在判斷整個(gè)回歸方程是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，即自變量（解釋變量）的整體組合是否能