2025年高二年級12月考試

數(shù)學試卷(B)

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫

在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙

和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結束后，請將答題卡上交。

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.若方程(k∈R)表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是

A.2<k<3B.2<k<4C.3<k<4D.k>4

2.已知空間向量a=(1,1,2),b=(1,2,1),若ai(a-ab),其中λ∈R,則實數(shù)λ=

B.D.

3.已知直線l:x+2y-1=0,直線l?:2x+4y-3=0,則直線l與l?間的距離為

A.√5B

4.與圓C?:x2+y2-2x+2y=0關于直線1:x-y+1=0對稱的圓C?的方程為

A.(x-2)2+(y-2)2=2B.(x+2)2+(y-2)2=2

C.(x+2)2+(y+2)2=2D.(x-2)2+(y+2)2=2

5.在空間直角坐標系中，直線1經(jīng)過點P(1,2,-1),且其方向向量n=(1,2,1),則點Q(1,0,-2)到直

線1的距離為

A.B.D.

高二12月數(shù)學試卷(B)第1頁共4頁

6.從A隊20人、B隊30人中，按照分層隨機抽樣的方法從兩隊共抽取5人.進行一輪答題競賽.

相關統(tǒng)計情況如下：A隊答對題目數(shù)的平均數(shù)為2,方差為1.04;B隊答對題目數(shù)的平均數(shù)

為1,方差為2.04,則這5人答對題目數(shù)的方差為

A.0.95B.1.06C.1.33D.1.88

7.若雙曲線不存在以點P(1,m),為中點的弦，則正實數(shù)m的取值范圍為

A.0<m≤1B.1<m≤2C.0<m≤2D.0<m≤4

8.斜率的直線與橢圓E:)交于A、B兩點，點C是橢圓上一點，且滿

足AC⊥BC,點P、Q分別是△OAC、△OBC的重心，點R是△ABC的外心，記直線OP、OQ、OR

的斜率分別為k?、k?、k?,若k?則橢圓E的率心率為

ABCD

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知事件A與事件B相互獨立，且P(A)=0.6,P(B)=0.8,則下列各式中正確的是

A.P(AB)=0.48B.P(AUB)=0.94C.P(AB)=0.12D.P(AUB)=0.68

10.在棱長為2的正方體ABCD-AB?CD中，已知E,F分別為線段B?C,D?C?的中點，點P滿足

DP=mDD?+nDB,m∈[0,1],n∈[0,1],則下列說法正確的是

A.當時，四棱錐P-ABCD外接球半徑為

B.當m+n=1時，三棱錐P-DEF的體積為定值

C.若AP=2√6,則點P的軌跡長為2π

D.△PEF周長的最小值為√3+√5

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11.已知雙曲線C:的左、右焦點分別為F?,F?,直線l過點F?,且與雙曲線的右

支交于A,B兩點，與雙曲線的兩條漸近線分別交于P,Q兩點，其中A,P兩點位于第一

象限，下列說法正確的是

A.若|AB|=5,則△F?AB的周長為14

B.若PA=λBQ,λeR,則實數(shù)λ的值可以為2

C.點A到兩條漸近線的距離之積為定值

D.若△AF?F?,△BF?F?的內(nèi)切圓的半徑分別為r,F?,則恒成立

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若一組數(shù)3,4,7,7,8,9,12的眾數(shù)為a,平均數(shù)為b,則b-a=

13.實數(shù)x,y滿足：x2+y2=1,則√(x-3)2+(y-4)2的最大值為_

14.已知點A,B為橢圓C?:(a>b>0)與雙曲線C?:的公共頂點，點P為

雙曲線第一象限內(nèi)一點，直線PA,PB分別與橢圓C?交于M,N兩點，若直線MN過點

且tan∠AMB=-2,則橢圓C?的離心率為_·

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知圓過點A(1,-1),B(-1,1)且圓心E在直線x+y-2=0上.

(1)求圓E的方程；

(2)若直線l過點,且被圓E截得的弦長為2√3,求直線l的方程.

16.(15分)

某校對高一上學期期中數(shù)學考試成績(單位：分)進行分析，

頻率

組距

隨機抽取100名學生，將分數(shù)按照(30,50),(50,70),(70,90),[90,110]0.0200

(110,130),[130,150]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：

0.0075

0.0050

(1)計算頻率分布直方圖中a的值，并且估計該校高一期中數(shù)學0.0025

考試成績的中位數(shù)；30507090110130150

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(2)為了進一步了解學生對數(shù)學學習的情況，由頻率分布直方圖，成績在(50,70)和(70,90)的

兩組中，用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取5名學生，再從這5名學生中隨機抽取2名學生

進行問卷調(diào)查，求抽取的這2名學生至少有1人成績在(50,70)內(nèi)的概率.

17.(15分)

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD,PD=AD=4.已知E,

F分別為PA,PC的中點，平面DEF與棱PB交于點G.

(1)求證：DE⊥平面PAB;

(2)求平面CDG與平面ABCD的夾角的正弦值；

(3)判斷線段EF上是否存在一點H,使得點H到平面CDG的距離為

?若存在，請求出點H的位置；若不存在，請說明理由.

18.(17分)

已知橢圓E過,不與x軸垂直的直線l交橢圓E于M,N兩點，且Q

為線段MN中點，設直線l的斜率為k.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)若坐標原點O關于點Q的對稱點P在橢圓E上，

(i)求OM.ON的取值范圍；

(ii)證明：△MON的面積為定值.

19.(17分)

已知雙曲線C:(a>0,b>0)的離心率為2,點(2,3)是雙曲線C上的點，A,B

是雙曲線C的左、右頂點，F(xiàn)?,F?為雙曲線CD的左、右焦點，點P是雙曲線C右支上不同于點

B的一個動點，直線PA、PB分別交直線于點M、N,點E為線段MN中點.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)求證：直線PF?與以線段MN為直徑的圓E相切于點F?;

(3)在(2)的結論下，過點P作圓E的另一條切線且與圓E相切于點T,其中點T不與點F?重

合，求證：|FT|是定值.

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數(shù)學評分細則

1234567891011

CBDBADCBACDABDCD

13.6

【評分細則】12-14.按照答案評分。

15.(1)因為A(1,-1),B(-1,1),

所以線段AB的中點坐標為(0,0),直線AB的斜率

因此線段AB的垂直平分線方程是y=x.

聯(lián)立解得

所以圓心E的坐標(1,1)………(3分)

圓E的半徑長r=√(1-1)2+(1+1)2=2

所以圓心為E的圓的標準方程是(x-1)2+(y-1)2=4;……·(6分)

(2)因為直線I被圓E截得的弦長為2√3,

所以圓心E到直線l的距離d=√4-(√3)2=1---(7分)

①當直線l的斜率不存在時，即直線l的方程為x=0,此時圓心E到直線的距離為1,滿足題

意.……(9分)

②當直線1的斜率存在時，設直線1的方程為即

所以解得……(12分)

∴直線l的方程為x=0或者3x+4y-2=0.……(13分)

【評分細則】15.第一問如果求錯了，后面全錯，給三分；第二問有三個問題，第一個是x=0,沒寫或者被舍

去了，建議扣三分，第二個是斜率求錯了建議扣三分，第三個是有些直線方程不標準，比如-3/4x-y+1/2=0,

建議扣一分。

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16.(1)由0.005×20+0.005×20+0.0075×20+0.02×20+a×20+0.0025×20=1,可得

a=0.01.……(3分)

設該校高一期中數(shù)學考試成績的中位數(shù)為x

由題意知，中位數(shù)x位于(90,100),所以0.1+0.1+0.15+0.02×(x-90)=0.5,

解得x=97.5.所以該校高一期中數(shù)學考試成績的中位數(shù)為97.5…………(7分)

(2)由題意可知，數(shù)學成績在(50,70)內(nèi)的人數(shù)為100×0.1=10(人),

在[70,90]內(nèi)的人數(shù)為100×0.15=15(人).……(10分)

用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取5名學生，

則需在(50,70)內(nèi)抽取2人，分別記為m、n;(70,90)內(nèi)抽取3人，分別記為x、y、z,

記事件A為“抽取的這2名學生至少有1人成績在[50,70]內(nèi)”,

則樣本空間為{mn,mx,my,m,nx,ny,nc,xy,x二，片，共包含10個樣本點，

而事件A={mn,mx,my,mc,nx,ny,n},包含7個樣本點，

故,即抽取的這2名學生至少有1人成績在[50,70]內(nèi)的概率為.………(15分)

【評分細則】16.第一問不變，第二問算出10,15給兩分，算出2,3給一分。其他不變，第二問如果沒有

過程只有結果的，只給3分。

17.(1)因為PDI平面ABCD,ABC平面ABCD,則PD⊥AB,

在正方形ABCD中，AB⊥AD,因AD∩PD=D,AD,PDC平面PAD,

則AB⊥平面PAD,因DEc平面PAD,則DEIAB,

又PD=AD=4,點E是PA的中點，則DE⊥PA,

因PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,故DE1平面PAB.……(3分)

(2)由(1)DE⊥平面PAB,因PBc平面PAB,則DE⊥PB,

因PD⊥平面ABCD,BCc平面ABCD,則PD⊥BC,

又BC⊥CD,PDnCD=D,PD,CDc平面PCD,BC⊥平面PCD,

因DFc平面PCD,則BC⊥DF,

因點F是PC的中點，DC=DP.,則DF⊥PC,

因PC∩BC=C,PC,BCc平面PBC,則DFI平面PBC,

因PBc平面PBC,則DF⊥PB,

因DF∩DE=D,DF,DEC平面DEGF,則PB⊥平面DEGF,

因EGc平面DEGF,則PB⊥EG,即∠PGE=90°.

由(1)AB⊥平面PAD,因PAc平面PAD,則PA⊥AB,即∠PAB=90°,

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又∠EPG=∠BPA,則△PEG~△BPA,則

因為PA=4√2,PB=√PA2+AB2=4√3,PE=2√2,

則即即

以點D為原點，分別以DA,DC,DP所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，

則D(0,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),B(4,4,0),

所以DC=(0,4,0),

設平面CDG的一個法向量為n=(x,y,二),

則取z=1,得n=(-2,0,1),

而平面ABCD的法向量可取為m=(0,0,1),

設平面CDG與平面ABCD的夾角為θ,

即平面CDG與平面ABCD的夾角的正弦值為……(9分)

(3)由(2)可得E(2,0,2),F(0,2,2),則EF=(-2,2,0),

假設線段EF上存在一點H(x?,y1,z),滿足EH=tEF,(0≤t≤1),

則(x?-2,y,z?-2)=t(-2,2,0),

所以則,即H(2-2t,2t,2),則DH=(2-2t,2t,2),

由(2)已得平面CDG的一個法向量為n=(-2,0,1),

則點H到平面CDG的距離解得或

數(shù)學評分細則第3頁共6頁

所以線段EF上存在一點H,使得點H到平面CDG的距離為,點H為線段EF的三等

分點………………(15分)

【評分細則】17.第一問用坐標法同樣給分；

第二問也可用向量法和坐標法，算出點G為三等分點給3分，只求出兩平面夾角余弦值扣1分；

第三問，表示出點H坐標給2分，算出t等于三分之一或三分之二給3分，結論給1分。

18.(1)設橢圓E的標準方程為：

………(3分)

(2)(i)設直線MN的方程為y=kx+m,

M(x?,y?),N(x?,y?)

因為△=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=192k2-48m2+144=48(4k2-m2+3)>0

所以…………(5分)

在橢圓上，

即

4k2+3=4m2,………(8分)

OM·ON=x?x?+V1V?=x?x?+(kx?+m)(x?+m)

令t=3+4k2,t≥3

因為t≥3,所以,所以OM·ON的取值范圍為…………(12分)

(ii)設○到直線MN的距離為d,

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【評分細則】18.按照答案評分。

19.(1)因為雙曲線C的離心率為2,所以即c=2a,

又c2=a2+b2,所以(2a)2=a2+b2,化簡得b2=3a2,

因為點(2,3)在雙曲線C上，所以代入

結合b2=3a2,解得a=1,b=√3,

故雙曲線C的方程……(3分)

(2)設P的坐標為(x?,y。),其中x?>1

則

由(1)可知A(-1,0),B(1,0),

所以