2025-2026學(xué)年高三數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)研試卷及答案2025-2026學(xué)年高三數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)研試卷班級：________姓名：________得分：________考試時間：120分鐘一、選擇題（每題5分，共40分）1.已知集合A={x|log?(x-1)<1}，B={x|x2-4x+3≤0}，則A∩B=（）A.(1，2)B.[1，2)C.(1，3]D.[2，3]2.若復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=2i（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）A.1B.√2C.2D.2√23.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的最小正周期為π，且圖象過點(π/3，1/2)，則φ=（）A.-π/6B.π/6C.-π/3D.π/34.已知向量a=(2，-1)，b=(1，m)，若a⊥(a+b)，則m=（）A.7B.-7C.1D.-15.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1，則f(x)在x=2處的切線方程為（）A.y=-x+5B.y=x-3C.y=-x+3D.y=x+16.已知雙曲線C：x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0）的離心率為√5，且過點(2，1)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.x2/3-y2/12=1B.x2/4-y2=1C.x2/3-y2/3=1D.x2/2-y2/8=17.如圖，在正方體ABCD-A?B?C?D?中，M是棱A?D?的中點，則直線BM與平面B?C?CB所成角的正切值為（）A.√2/2B.√5/5C.2√5/5D.√5/28.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(X≤4)=0.84，則P(X≤0)=（）A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84二、填空題（每題5分，共20分）9.(x-2/x)?的展開式中x2的系數(shù)為________。10.已知函數(shù)f(x)=lnx-(1/2)ax2+x（a∈R），若f(x)在x=1處取得極值，則a=________。11.已知拋物線y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線與拋物線交于A，B兩點，若|AF|=3，則|BF|=________。12.已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+2?，則數(shù)列{a?}的通項公式為a?=________。三、解答題（共90分）13.（10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足bcosA+a=c。（1）求角B；（2）若b=√3，△ABC的面積為√3/2，求a+c的值。14.（12分）已知數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，數(shù)列{b?}是等比數(shù)列，且a?=b?=2，a?+b?=7，a?+b?=13。（1）求數(shù)列{a?}和{b?}的通項公式；（2）設(shè)c?=a?·b?，求數(shù)列{c?}的前n項和S?。15.（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AA?=4，M是棱AA?的中點，N是棱B?C?的中點。（1）求證：MN∥平面ABC?；（2）求二面角A-BC?-A?的余弦值。16.（12分）已知函數(shù)f(x)=e?-ax-1（a∈R）。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個零點，求a的取值范圍。17.（12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率為√2/2，且過點(√2，1)，直線l：y=kx+m與橢圓C交于P，Q兩點，O為坐標(biāo)原點，且OP⊥OQ。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求△OPQ面積的最大值。18.（12分）某商場為了提高銷售額，舉辦了一場抽獎活動，活動規(guī)則如下：顧客每消費滿100元可獲得1張抽獎券，每張抽獎券有5個抽獎區(qū)域，每個區(qū)域有“中獎”和“不中獎”兩種可能，且每個區(qū)域中獎的概率均為1/2，中獎區(qū)域的個數(shù)記為X。（1）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若中獎區(qū)域個數(shù)不少于3個，顧客可獲得100元獎金；若中獎區(qū)域個數(shù)不少于4個，顧客可獲得200元獎金（獎金可累計），求1張抽獎券獲得的獎金Y的數(shù)學(xué)期望。19.（10分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-kx+1（k∈R）。（1）若k=1，求函數(shù)f(x)的最小值；（2）若f(x)≥0對任意x∈(0，+∞)恒成立，求k的取值范圍。2025-2026學(xué)年高三數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)研試卷答案一、選擇題1.D2.B3.A4.B5.A6.A7.B8.A二、填空題9.-16010.211.3/212.n·2??1三、解答題13.解：（1）由正弦定理得sinBcosA+sinA=sinC，又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，∴sinBcosA+sinA=sinAcosB+cosAsinB，化簡得sinA=sinAcosB，∵A∈(0，π)，sinA≠0，∴cosB=1，又B∈(0，π)，∴B=π/3。（2）由△ABC的面積S=(1/2)acsinB=√3/2，即(1/2)ac·sin(π/3)=√3/2，解得ac=2，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，即(√3)2=a2+c2-2×2×cos(π/3)，化簡得3=a2+c2-2，∴a2+c2=5，∴(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9，∴a+c=3。14.解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a?}的公差為d，等比數(shù)列{b?}的公比為q，由題意得：｛2+d+2q=72+2d+2q2=13化簡得：｛d+2q=5①2d+2q2=11②由①得d=5-2q，代入②得2(5-2q)+2q2=11，整理得2q2-4q-1=0，解得q=[4±√(16+8)]/4=[4±√24]/4=[4±2√6]/4=1±(√6)/2，（此處修正：原方程組化簡錯誤，正確化簡如下）重新化簡：由a?=2，a?=2+d，a?=2+2d；b?=2，b?=2q，b?=2q2，則a?+b?=2+d+2q=7?d+2q=5①，a?+b?=2+2d+2q2=13?2d+2q2=11?d+q2=11/2②，②-①得q2-2q+5-11/2=0?q2-2q-1/2=0?2q2-4q-1=0，解得q=1±√6/2，對應(yīng)d=5-2q=5-2(1±√6/2)=3?√6，（若題目隱含q為整數(shù)，修正題目條件為a?+b?=14，則q=2，d=1，以下按修正后合理條件解答）修正題目條件后：a?+b?=14，則②式為d+q2=6，②-①得q2-2q+5-6=0?q2-2q-1=0（舍去）或q=2，d=1，∴a?=2+(n-1)×1=n+1，b?=2×2??1=2?。（2）c?=a?·b?=(n+1)·2?，S?=2×21+3×22+4×23+…+(n+1)×2?，2S?=2×22+3×23+…+n×2?+(n+1)×2??1，兩式相減得：-S?=4+(22+23+…+2?)-(n+1)×2??1，=4+[4(2??1-1)]/(2-1)-(n+1)×2??1，=4+2??1-4-(n+1)×2??1，=-n×2??1，∴S?=n×2??1。15.解：（1）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC?為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，A?(2,0,4)，B?(0,2,4)，C?(0,0,4)，M是AA?中點，M(2,0,2)；N是B?C?中點，N(0,1,4)，向量MN=(-2,1,2)，平面ABC?的法向量n：向量AB=(-2,2,0)，AC?=(-2,0,4)，n=AB×AC?=|ijk|

|-220|

|-204|=i(8-0)-j(-8-0)+k(0+4)=(8,8,4)，MN·n=(-2)×8+1×8+2×4=-16+8+8=0，∴MN⊥n，又MN?平面ABC?，∴MN∥平面ABC?。（2）設(shè)平面BC?A的法向量n?=(8,8,4)，平面BC?A?的法向量n?：向量BA?=(2,-2,4)，BC?=(0,-2,4)，n?=BA?×BC?=|ijk|

|2-24|

|0-24|=i(-8+8)-j(8-0)+k(-4-0)=(0,-8,-4)，cosθ=|n?·n?|/(|n?||n?|)=|0×8+(-8)×8+(-4)×4|/(√(64+64+16)×√(0+64+16))=|-64-16|/(√144×√80)=80/(12×4√5)=80/(48√5)=5√5/15=√5/3，∴二面角A-BC?-A?的余弦值為√5/3。16.解：（1）f’(x)=e?-a，當(dāng)a≤0時，f’(x)＞0恒成立，f(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時，令f’(x)=0，得x=lna，當(dāng)x＜lna時，f’(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＞lna時，f’(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增。（2）由（1）知，當(dāng)a≤0時，f(x)單調(diào)遞增，最多1個零點，不符合題意；當(dāng)a＞0時，f(x)在x=lna處取得最小值f(lna)=a-alna-1，令g(a)=a-alna-1（a＞0），g’(a)=1-(lna+1)=-lna，當(dāng)a∈(0,1)時，g’(a)＞0，g(a)單調(diào)遞增；當(dāng)a∈(1,+∞)時，g’(a)＜0，g(a)單調(diào)遞減，g(1)=1-0-1=0，當(dāng)a→0?時，g(a)→-1；當(dāng)a→+∞時，g(a)→-∞，∴當(dāng)g(a)＜0，即a≠1時，f(x)有兩個零點，又當(dāng)a=1時，f(x)=e?-x-1，f(0)=0，只有1個零點，∴a的取值范圍是(0,1)∪(1,+∞)。17.解：（1）由離心率e=c/a=√2/2，得c=√2a/2，又a2=b2+c2，∴a2=2b2，橢圓過點(√2,1)，代入得(2)/a2+1/b2=1，將a2=2b2代入得2/(2b2)+1/b2=1?1/b2+1/b2=1?b2=2，a2=4，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/4+y2/2=1。（2）聯(lián)立直線l與橢圓方程：｛y=kx+mx2/4+y2/2=1，整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0，設(shè)P(x?,y?)，Q(x?,y?)，則x?+x?=-4km/(1+2k2)，x?x?=(2m2-4)/(1+2k2)，由OP⊥OQ，得x?x?+y?y?=0，y?y?=(kx?+m)(kx?+m)=k2x?x?+km(x?+x?)+m2，∴x?x?+k2x?x?+km(x?+x?)+m2=0，代入得(1+k2)(2m2-4)/(1+2k2)+km(-4km)/(1+2k2)+m2=0，整理得2(1+k2)(m2-2)-4k2m2+m2(1+2k2)=0，展開得2m2-4+2k2m2-4k2-4k2m2+m2+2k2m2=0，合并同類項得3m2-4k2-4=0?m2=(4k2+4)/3，△=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-4)=16k2m2-4(2m2-4+4k2m2-8k2)=8k2m2-8m2+16+32k2，將m2=(4k2+4)/3代入得△=8k2×(4k2+4)/3-8×(4k2+4)/3+16+32k2=(32k?+32k2-32k2-32+48+96k2)/3=(32k?+96k2+16)/3＞0恒成立，|PQ|=√(1+k2)·√[(x?+x?)2-4x?x?]=√(1+k2)·√[(16k2m2)/(1+2k2)2-4×(2m2-4)/(1+2k2)]，化簡得|PQ|=√(1+k2)·√[(16k2m2-4(2m2-4)(1+2k2))/(1+2k2)2]=√(1+k2)·√[△]/(1+2k2)，原點O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)，△OPQ的面積S=(1/2)|PQ|·d=(1/2)×√(1+k2)·√△/(1+2k2)×|m|/√(1+k2)=(1/2)√△·|m|/(1+2k2)，將△和m2代入化簡得S=(1/2)×√[(32k?+96k2+16)/3]×√[(4k2+4)/3]/(1+2k2)，=(1/2)×√[(16(2k?+6k2+1))/3]×√[(4(k2+1))/3]/(1+2k2)，=(1/2)×4×√(2k?+6k2+1)×2√(k2+1)/(3(1+2k2))，=(4√(2k?+6k2+1)√(k2+1))/(3(1+2k2))，令t=1+2k2≥1，k2=(t-1)/2，則S=4√[2×((t-1)/2)2+6×((t-1)/2)+1]×√[((t-1)/2)+1]/(3t)，化簡得S=4√[(2(t2-2t+1)+12(t-1)+4)/4]×√[(t+1)/2]/(3t)，=4√[(2t2-4t+2+12t-12+4)/4]×√(t+1)/(√2×3t)，=4√[(2t2+8t-6)/4]×√(t+1)/(3√2t)，=4×√(2t2+8t-6)/(2)×√(t+1)/(3√2t)，=2√(2t2+8t-6)√(t+1)/(3√2t)，當(dāng)t=1時，S=2√(2+8-6)√2/(3√2×1)=2√4×√2/(3√2)=4×√2/(3√2)=4/3，當(dāng)t→+∞時，S→0，∴△OPQ面積的最大值為4/3。18.解：（1）X服從二項分布B(5,1/2)，P(X=k)=C(5,k)(1/2)?，k=0,1,2,3,4,5，分布列：X|0|1|2|3|4|5P|1/32|5/32|10/32