一、知識(shí)鋪墊：二次函數(shù)的頂點(diǎn)形式與坐標(biāo)特征演講人01知識(shí)鋪墊：二次函數(shù)的頂點(diǎn)形式與坐標(biāo)特征02頂點(diǎn)在x軸上的條件：從“縱坐標(biāo)為0”到“判別式為0”03頂點(diǎn)在y軸上的條件：從“橫坐標(biāo)為0”到“一次項(xiàng)系數(shù)為0”04頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的綜合應(yīng)用：區(qū)分x軸與y軸的條件05情況一：頂點(diǎn)在x軸上06總結(jié)與升華：從“條件”到“本質(zhì)”的思維提升目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的條件課件各位同學(xué)、同仁，今天我們將聚焦“二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的條件”這一核心問(wèn)題展開(kāi)學(xué)習(xí)。作為九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)的重點(diǎn)內(nèi)容，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)既是對(duì)一次函數(shù)的延伸，也是高中階段學(xué)習(xí)圓錐曲線的基礎(chǔ)。在多年的教學(xué)實(shí)踐中，我發(fā)現(xiàn)許多同學(xué)對(duì)“頂點(diǎn)位置”這一幾何特征與“系數(shù)關(guān)系”這一代數(shù)條件的關(guān)聯(lián)理解不夠深刻，常?；煜旤c(diǎn)在x軸與y軸上的不同條件。因此，今天我們將從二次函數(shù)的基本形式出發(fā)，通過(guò)代數(shù)推導(dǎo)、幾何直觀與例題驗(yàn)證三個(gè)維度，系統(tǒng)梳理頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的條件，幫助大家建立“數(shù)”與“形”的雙向聯(lián)結(jié)。01知識(shí)鋪墊：二次函數(shù)的頂點(diǎn)形式與坐標(biāo)特征知識(shí)鋪墊：二次函數(shù)的頂點(diǎn)形式與坐標(biāo)特征要研究頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的條件，首先需要明確二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)如何表示。我們已經(jīng)學(xué)過(guò)，二次函數(shù)的一般式為(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），其頂點(diǎn)坐標(biāo)可以通過(guò)配方法或公式法求得。這里我們先回顧兩種常用的頂點(diǎn)表示方法：1頂點(diǎn)式：從“形”到“數(shù)”的直接表達(dá)通過(guò)配方法，一般式可以轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式(y=a(x-h)^2+k)，其中((h,k))即為頂點(diǎn)坐標(biāo)。這種形式的優(yōu)勢(shì)在于，頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)直接由(h)和(k)給出，幾何意義一目了然：(h)是頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)（對(duì)稱(chēng)軸為直線(x=h)），(k)是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)（函數(shù)的最值為(k)）。2一般式：從“數(shù)”到“形”的間接推導(dǎo)若直接使用一般式(y=ax^2+bx+c)，頂點(diǎn)坐標(biāo)也可以通過(guò)公式計(jì)算：頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(h=-\frac{2a})，縱坐標(biāo)(k=\frac{4ac-b^2}{4a})。這一公式的推導(dǎo)過(guò)程需要用到配方法（將(ax^2+bx+c)整理為(a\left(x+\frac{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a})），同學(xué)們可以課后自行驗(yàn)證，這對(duì)理解頂點(diǎn)坐標(biāo)的來(lái)源非常重要。3坐標(biāo)軸的幾何特征坐標(biāo)軸分為x軸（水平軸）和y軸（垂直軸），它們的幾何特征是：x軸上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0（即(y=0)）；y軸上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0（即(x=0)）。因此，頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的條件可轉(zhuǎn)化為：頂點(diǎn)坐標(biāo)((h,k))滿足(k=0)（在x軸上）或(h=0)（在y軸上）。接下來(lái)我們將分別探討這兩種情況。02頂點(diǎn)在x軸上的條件：從“縱坐標(biāo)為0”到“判別式為0”頂點(diǎn)在x軸上的條件：從“縱坐標(biāo)為0”到“判別式為0”頂點(diǎn)在x軸上，意味著頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)(k=0)。我們需要將這一幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件，即通過(guò)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式或頂點(diǎn)式推導(dǎo)出關(guān)于系數(shù)(a,b,c)的關(guān)系式。1基于頂點(diǎn)式的推導(dǎo)在頂點(diǎn)式(y=a(x-h)^2+k)中，若頂點(diǎn)在x軸上，則(k=0)，因此函數(shù)可簡(jiǎn)化為(y=a(x-h)^2)。展開(kāi)后為(y=ax^2-2ahx+ah^2)，與一般式(y=ax^2+bx+c)對(duì)比可得：一次項(xiàng)系數(shù)(b=-2ah)；常數(shù)項(xiàng)(c=ah^2)。這說(shuō)明當(dāng)頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，常數(shù)項(xiàng)(c)與一次項(xiàng)系數(shù)(b)之間存在平方關(guān)系：(c=a\left(-\frac{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a})（因?yàn)?h=-\frac{2a})來(lái)自一般式頂點(diǎn)橫坐標(biāo)公式）。整理后得到(4ac=b^2)，即(b^2-4ac=0)。2基于判別式的幾何意義我們知道，二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由判別式(\Delta=b^2-4ac)決定：(\Delta>0)時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)；(\Delta=0)時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)（即頂點(diǎn)在x軸上，此時(shí)圖像與x軸相切）；(\Delta<0)時(shí)，圖像與x軸無(wú)交點(diǎn)。因此，頂點(diǎn)在x軸上的充要條件是判別式(\Delta=0)。這一結(jié)論與我們通過(guò)頂點(diǎn)式推導(dǎo)的結(jié)果完全一致，說(shuō)明“頂點(diǎn)在x軸上”與“圖像與x軸相切”是等價(jià)的幾何描述。3例題驗(yàn)證：從條件到函數(shù)的雙向轉(zhuǎn)化例1：已知二次函數(shù)(y=x^2+2kx+9)的頂點(diǎn)在x軸上，求(k)的值。分析：頂點(diǎn)在x軸上，故判別式(\Delta=(2k)^2-4\times1\times9=0)，即(4k^2-36=0)，解得(k^2=9)，所以(k=\pm3)。驗(yàn)證：當(dāng)(k=3)時(shí)，函數(shù)為(y=x^2+6x+9=(x+3)^2)，頂點(diǎn)為((-3,0))，確實(shí)在x軸上；當(dāng)(k=-3)時(shí)，函數(shù)為(y=x^2-6x+9=(x-3)^2)，頂點(diǎn)為((3,0))，同樣符合條件。3例題驗(yàn)證：從條件到函數(shù)的雙向轉(zhuǎn)化例2：若二次函數(shù)(y=-2x^2+bx-8)的頂點(diǎn)在x軸上，求其頂點(diǎn)坐標(biāo)。分析：由(\Delta=b^2-4\times(-2)\times(-8)=b^2-64=0)，得(b=\pm8)。當(dāng)(b=8)時(shí)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(h=-\frac{8}{2\times(-2)}=2)，縱坐標(biāo)(k=0)，頂點(diǎn)為((2,0))；當(dāng)(b=-8)時(shí)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(h=-\frac{-8}{2\times(-2)}=-2)，縱坐標(biāo)(k=0)，頂點(diǎn)為((-2,0))。3例題驗(yàn)證：從條件到函數(shù)的雙向轉(zhuǎn)化通過(guò)這兩個(gè)例題，我們可以看到：頂點(diǎn)在x軸上的條件不僅能幫助我們求系數(shù)，還能直接確定頂點(diǎn)的具體位置。03頂點(diǎn)在y軸上的條件：從“橫坐標(biāo)為0”到“一次項(xiàng)系數(shù)為0”頂點(diǎn)在y軸上的條件：從“橫坐標(biāo)為0”到“一次項(xiàng)系數(shù)為0”頂點(diǎn)在y軸上，意味著頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)(h=0)。同樣地，我們需要將這一幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件。1基于頂點(diǎn)式的推導(dǎo)在頂點(diǎn)式(y=a(x-h)^2+k)中，若頂點(diǎn)在y軸上，則(h=0)，因此函數(shù)可簡(jiǎn)化為(y=ax^2+k)。與一般式(y=ax^2+bx+c)對(duì)比可知，一次項(xiàng)系數(shù)(b=0)（因?yàn)檎归_(kāi)后沒(méi)有(x)的一次項(xiàng)），常數(shù)項(xiàng)(c=k)（即頂點(diǎn)縱坐標(biāo)）。2基于對(duì)稱(chēng)軸的幾何意義二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(x=h)，而y軸的方程是(x=0)，因此頂點(diǎn)在y軸上等價(jià)于對(duì)稱(chēng)軸為y軸。由對(duì)稱(chēng)軸公式(x=-\frac{2a})可知，當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸為y軸時(shí)，(-\frac{2a}=0)，解得(b=0)（因?yàn)?a\neq0)）。這說(shuō)明：頂點(diǎn)在y軸上的充要條件是一次項(xiàng)系數(shù)(b=0)。3例題驗(yàn)證：從系數(shù)到圖像的直觀理解例3：已知二次函數(shù)(y=ax^2+bx+3)的頂點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)((1,5))，求(a)和(b)的值。分析：頂點(diǎn)在y軸上，故(b=0)，函數(shù)簡(jiǎn)化為(y=ax^2+3)。代入點(diǎn)((1,5))得(a\times1^2+3=5)，解得(a=2)。因此，函數(shù)為(y=2x^2+3)，頂點(diǎn)為((0,3))，確實(shí)在y軸上。例4：二次函數(shù)(y=-x^2+c)的頂點(diǎn)在y軸上，且其圖像與直線(y=2x+1)有一個(gè)交點(diǎn)，求(c)的值。3例題驗(yàn)證：從系數(shù)到圖像的直觀理解分析：頂點(diǎn)在y軸上，故(b=0)（已滿足）。圖像與直線有一個(gè)交點(diǎn)，即方程(-x^2+c=2x+1)有唯一解，整理為(x^2+2x+(1-c)=0)，判別式(\Delta=2^2-4\times1\times(1-c)=4-4+4c=4c=0)，解得(c=0)。此時(shí)函數(shù)為(y=-x^2)，頂點(diǎn)為((0,0))，在y軸上，且與直線(y=2x+1)相切于點(diǎn)((-1,-1))（代入驗(yàn)證：(-(-1)^2=-1)，直線(2\times(-1)+1=-1)，確實(shí)相交于一點(diǎn)）。通過(guò)這兩個(gè)例題可以發(fā)現(xiàn)，頂點(diǎn)在y軸上時(shí)，函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，這一性質(zhì)在解題中非常有用（如利用對(duì)稱(chēng)性求點(diǎn)的坐標(biāo)）。04頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的綜合應(yīng)用：區(qū)分x軸與y軸的條件頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的綜合應(yīng)用：區(qū)分x軸與y軸的條件在實(shí)際問(wèn)題中，我們需要區(qū)分頂點(diǎn)在x軸還是y軸上的不同條件，避免混淆。以下通過(guò)對(duì)比表格和綜合例題進(jìn)一步鞏固：1頂點(diǎn)在x軸與y軸上的條件對(duì)比|條件類(lèi)型|幾何特征|代數(shù)條件（一般式）|頂點(diǎn)坐標(biāo)|圖像特征||----------------|-------------------------|--------------------------|-------------------|---------------------------||頂點(diǎn)在x軸上|頂點(diǎn)縱坐標(biāo)(k=0)|(b^2-4ac=0)|(\left(-\frac{2a},0\right))|與x軸相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)||頂點(diǎn)在y軸上|頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(h=0)|(b=0)|((0,c))|關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，無(wú)一次項(xiàng)|2綜合例題：條件的聯(lián)合判斷例5：已知二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)）滿足以下兩個(gè)條件：（1）頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；（2）圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)((1,0))和((-1,4))。求(a,b,c)的值。分析：頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上有兩種可能：在x軸上或在y軸上，需分別討論。05情況一：頂點(diǎn)在x軸上情況一：頂點(diǎn)在x軸上此時(shí)(b^2-4ac=0)，且函數(shù)過(guò)((1,0))和((-1,4))，代入得：(a+b+c=0)（1）(a-b+c=4)（2）由（1）-（2）得(2b=-4)，即(b=-2)；由（1）+（2）得(2a+2c=4)，即(a+c=2)，故(c=2-a)。代入判別式條件((-2)^2-4a(2-a)=0)，即(4-8a+4a^2=0)，整理為(a^2-2a+1=0)，解得(a=1)，則(c=1)。情況一：頂點(diǎn)在x軸上此時(shí)函數(shù)為(y=x^2-2x+1=(x-1)^2)，頂點(diǎn)為((1,0))，在x軸上，符合條件。情況二：頂點(diǎn)在y軸上此時(shí)(b=0)，函數(shù)過(guò)((1,0))和((-1,4))，代入得：(a+0+c=0)（3）(a+0+c=4)（4）由（3）和（4）得(0=4)，矛盾，故此情況無(wú)解。綜上，唯一解為(a=1,b=-2,c=1)。通過(guò)這道題，我們不僅復(fù)習(xí)了頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的條件，還學(xué)會(huì)了分類(lèi)討論的思想——這是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法。06總結(jié)與升華：從“條件”到“本質(zhì)”的思維提升總結(jié)與升華：從“條件”到“本質(zhì)”的思維提升回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們圍繞“二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的條件”展開(kāi)，核心結(jié)論可總結(jié)為：1頂點(diǎn)在x軸上的充要條件213代數(shù)條件：判別式(\Delta=b^2-4ac=0)；幾何意義：圖像與x軸相切，頂點(diǎn)是唯一的公共點(diǎn)；頂點(diǎn)坐標(biāo)：(\left(-\frac{2a},0\right))。2頂點(diǎn)在y軸上的充要條件01代數(shù)條件：一次項(xiàng)系數(shù)(b=0)；02幾何意義：圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸；03頂點(diǎn)坐標(biāo)：((0,c))（即常數(shù)項(xiàng)為頂點(diǎn)縱坐標(biāo)）。3思維價(jià)值本節(jié)課的學(xué)習(xí)不僅讓我們掌握了具體的代數(shù)條件，更重要的是體會(huì)了“幾何特征→代數(shù)條件”的轉(zhuǎn)化思想，這是