一、為何要在二次函數(shù)教學(xué)中滲透建模思想？演講人CONTENTS為何要在二次函數(shù)教學(xué)中滲透建模思想？二次函數(shù)建模思想滲透的核心要素二次函數(shù)建模思想滲透的課堂實(shí)踐策略二次函數(shù)建模思想滲透的評(píng)價(jià)與優(yōu)化結(jié)語(yǔ)：讓建模思想成為學(xué)生的“數(shù)學(xué)眼光”目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)二次函數(shù)建模思想滲透課件作為一名深耕初中數(shù)學(xué)教學(xué)十余年的一線教師，我始終認(rèn)為：數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)不是讓學(xué)生記住公式，而是培養(yǎng)他們用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維分析問題、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)的能力。二次函數(shù)作為初中階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的核心內(nèi)容，其建模思想的滲透正是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的重要載體。今天，我將結(jié)合新課標(biāo)要求、九年級(jí)學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)及自身教學(xué)實(shí)踐，系統(tǒng)闡述二次函數(shù)建模思想的滲透路徑。01為何要在二次函數(shù)教學(xué)中滲透建模思想？課標(biāo)的明確指向：從“解題者”到“問題解決者”的跨越《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“學(xué)業(yè)要求”中明確指出：“能在具體情境中，用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫簡(jiǎn)單實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系，能利用函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題”；在“核心素養(yǎng)”中強(qiáng)調(diào)“模型觀念”的培養(yǎng)——即“對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟”。這意味著，二次函數(shù)教學(xué)不能僅停留在“求解析式”“畫圖像”“找頂點(diǎn)”的技能訓(xùn)練，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“現(xiàn)實(shí)問題→數(shù)學(xué)抽象→模型構(gòu)建→驗(yàn)證應(yīng)用”的完整過程，真正讓數(shù)學(xué)回歸生活。學(xué)生的認(rèn)知需求：從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的關(guān)鍵轉(zhuǎn)折九年級(jí)學(xué)生已掌握一次函數(shù)、反比例函數(shù)的基本性質(zhì)，具備“用函數(shù)描述變量關(guān)系”的初步經(jīng)驗(yàn)，但面對(duì)復(fù)雜現(xiàn)實(shí)問題時(shí)，常出現(xiàn)“找不到變量”“列不出關(guān)系式”“不會(huì)用模型解釋現(xiàn)象”的困境。例如，我曾在課前調(diào)研中發(fā)現(xiàn)：85%的學(xué)生能熟練求解“已知拋物線頂點(diǎn)和一點(diǎn)求解析式”，但僅有32%的學(xué)生能獨(dú)立將“噴泉水流軌跡”問題抽象為二次函數(shù)模型。這種“解題能力”與“建模能力”的割裂，正是需要通過建模思想滲透來(lái)彌補(bǔ)的。數(shù)學(xué)的本質(zhì)價(jià)值：從“工具學(xué)科”到“思維學(xué)科”的升華二次函數(shù)本身就是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中“拋物線運(yùn)動(dòng)”“面積最值”“經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)”等現(xiàn)象的數(shù)學(xué)抽象。滲透建模思想，本質(zhì)是讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活、服務(wù)于生活”的本質(zhì)，理解“為什么需要二次函數(shù)”“二次函數(shù)能解決哪些問題”，從而建立“用數(shù)學(xué)看世界”的思維習(xí)慣。正如數(shù)學(xué)家華羅庚所言：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué)?！倍魏瘮?shù)建模，正是打開這扇門的鑰匙。02二次函數(shù)建模思想滲透的核心要素二次函數(shù)建模思想滲透的核心要素要實(shí)現(xiàn)建模思想的有效滲透，需明確“建什么”“怎么建”“如何用”三個(gè)核心問題。結(jié)合九年級(jí)教學(xué)內(nèi)容，我將其拆解為以下維度：建模對(duì)象：哪些現(xiàn)實(shí)問題適合用二次函數(shù)刻畫？1二次函數(shù)的本質(zhì)是“變量間的二次關(guān)系”，其模型適用于以下三類典型情境：2運(yùn)動(dòng)軌跡類：如拋體運(yùn)動(dòng)（籃球投籃、石子拋擲）、拋物線型建筑（拱橋、隧道）、自然現(xiàn)象（噴泉水流、彩虹）；3最值問題類：如面積最大（圍矩形場(chǎng)地、花圃設(shè)計(jì)）、利潤(rùn)最高（定價(jià)與銷量關(guān)系）、資源最優(yōu)配置（成本與產(chǎn)量關(guān)系）；4數(shù)據(jù)擬合類：通過實(shí)驗(yàn)或統(tǒng)計(jì)獲得兩組變量的多組數(shù)據(jù)（如不同溫度下的溶解度、不同時(shí)間的銷售額），判斷是否符合二次函數(shù)關(guān)系，并建立模型預(yù)測(cè)趨勢(shì)。建模流程：從“現(xiàn)實(shí)問題”到“數(shù)學(xué)模型”的四步轉(zhuǎn)化我在教學(xué)中總結(jié)出“觀察→抽象→構(gòu)建→驗(yàn)證”的建模流程，每一步都需針對(duì)性引導(dǎo)：觀察情境，明確變量：引導(dǎo)學(xué)生用“問題清單”梳理信息——“哪些量在變化？哪些是自變量？哪些是因變量？它們之間可能存在怎樣的關(guān)系？”例如，在“利潤(rùn)問題”中，需明確“售價(jià)”是自變量，“銷量”“利潤(rùn)”是因變量，且銷量通常隨售價(jià)升高而降低，利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷量，這是線性關(guān)系；但當(dāng)售價(jià)調(diào)整影響多維度因素（如滿減活動(dòng)）時(shí)，銷量與售價(jià)的關(guān)系可能變?yōu)槎?。抽象關(guān)系，簡(jiǎn)化假設(shè)：現(xiàn)實(shí)問題往往存在干擾因素（如空氣阻力、測(cè)量誤差），需引導(dǎo)學(xué)生“抓主要矛盾”。例如，研究拋體運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，可忽略空氣阻力，假設(shè)物體僅受重力作用，軌跡為拋物線；研究拱橋高度時(shí)，可將橋拱抽象為開口向下的拋物線，以水面為x軸建立坐標(biāo)系。建模流程：從“現(xiàn)實(shí)問題”到“數(shù)學(xué)模型”的四步轉(zhuǎn)化構(gòu)建模型，數(shù)學(xué)表達(dá)：通過設(shè)變量（如設(shè)自變量為x，因變量為y）、找關(guān)系（用待定系數(shù)法、頂點(diǎn)式等確定解析式）、寫函數(shù)（y=ax2+bx+c）完成模型構(gòu)建。這一步需強(qiáng)化“函數(shù)表達(dá)式與實(shí)際意義的對(duì)應(yīng)”——如a的正負(fù)對(duì)應(yīng)開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)最大值或最小值的實(shí)際含義（如最大利潤(rùn)、最高高度）。驗(yàn)證模型，解決問題：用模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)比，檢驗(yàn)合理性；若偏差過大，需反思假設(shè)是否合理（如是否忽略了關(guān)鍵變量）。例如，在“噴泉水流”問題中，若計(jì)算出的落地點(diǎn)與實(shí)際測(cè)量相差較大，可能是因?yàn)楹雎粤怂鞒跛俣鹊乃椒至?，需調(diào)整模型。思維支撐：建模過程中需培養(yǎng)的關(guān)鍵能力抽象概括能力：能從具體情境中剝離非數(shù)學(xué)因素，抓住變量間的本質(zhì)聯(lián)系；符號(hào)表達(dá)能力：能用數(shù)學(xué)符號(hào)（如x、y、函數(shù)式）準(zhǔn)確描述現(xiàn)實(shí)關(guān)系；運(yùn)算求解能力：熟練運(yùn)用配方法、公式法等求解二次函數(shù)的頂點(diǎn)、與坐標(biāo)軸交點(diǎn)等關(guān)鍵信息；批判性思維：能對(duì)模型的合理性進(jìn)行質(zhì)疑，主動(dòng)調(diào)整假設(shè)或修正模型。03二次函數(shù)建模思想滲透的課堂實(shí)踐策略二次函數(shù)建模思想滲透的課堂實(shí)踐策略基于上述分析，我在教學(xué)中設(shè)計(jì)了“情境導(dǎo)入→探究建?！鷳?yīng)用遷移→反思提升”的四環(huán)節(jié)教學(xué)模式，以下結(jié)合具體課例展開說明。情境導(dǎo)入：用“真實(shí)問題”激發(fā)建模內(nèi)需九年級(jí)學(xué)生對(duì)“有用的數(shù)學(xué)”更感興趣，因此情境選擇需滿足“真實(shí)性”“可操作性”“挑戰(zhàn)性”。例如，在“二次函數(shù)的應(yīng)用”第一課時(shí)，我以本地實(shí)際情境導(dǎo)入：“某景區(qū)計(jì)劃修建一座拋物線型觀景橋，橋拱頂點(diǎn)距水面4米，跨度20米?，F(xiàn)需確定橋拱上任意一點(diǎn)距水面的高度，以便設(shè)計(jì)照明設(shè)施。你能幫工程師解決這個(gè)問題嗎？”這個(gè)情境源自學(xué)生生活（本地景區(qū)是春游地點(diǎn)），問題指向明確（求高度），能迅速引發(fā)探究興趣。探究建模：用“問題鏈”引導(dǎo)思維進(jìn)階在探究過程中，我通過分層問題鏈逐步拆解難點(diǎn)：基礎(chǔ)問題：“要建立函數(shù)模型，首先需要做什么？”（建立坐標(biāo)系）→引導(dǎo)學(xué)生討論坐標(biāo)系的選擇（以水面為x軸，橋拱頂點(diǎn)為原點(diǎn)，或橋的一端為原點(diǎn)），對(duì)比不同選擇的優(yōu)劣（頂點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)解析式更簡(jiǎn)單）。核心問題：“已知頂點(diǎn)（0,4）和跨度20米，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是什么？”（(-10,0)和(10,0)）→代入頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax2+4，利用交點(diǎn)坐標(biāo)求a的值（a=-0.04），得到解析式y(tǒng)=-0.04x2+4。深化問題：“若橋拱上某點(diǎn)距橋的中心線（y軸）3米，該點(diǎn)距水面多高？”（代入x=3，計(jì)算得y=3.64米）→“若設(shè)計(jì)要求橋拱上所有點(diǎn)距水面不低于3米，那么橋的跨度最多可增加多少？”（解方程-0.04x2+4≥3，得x≤5√5≈11.18米，跨度最多22.36米，比原跨度增加2.36米）。探究建模：用“問題鏈”引導(dǎo)思維進(jìn)階通過這一過程，學(xué)生不僅掌握了“如何建立坐標(biāo)系”“如何選擇函數(shù)表達(dá)式形式”等技能，更體會(huì)到“模型構(gòu)建是為了解決實(shí)際問題”的本質(zhì)。應(yīng)用遷移：用“變式任務(wù)”強(qiáng)化模型普適性遷移是檢驗(yàn)建模能力的關(guān)鍵。在學(xué)生掌握“拋物線型”問題后，我設(shè)計(jì)了“利潤(rùn)最大化”變式任務(wù)：“某水果店銷售蘋果，進(jìn)價(jià)每千克8元，當(dāng)售價(jià)為12元時(shí)，日銷量為100千克；售價(jià)每提高1元，日銷量減少10千克。設(shè)售價(jià)為x元，日利潤(rùn)為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并確定售價(jià)為多少時(shí)利潤(rùn)最大?！边@一任務(wù)與“拋物線型”問題表面不同，但建模流程一致：找變量：自變量x（售價(jià)），因變量y（利潤(rùn)）；列關(guān)系：利潤(rùn)=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷量=（x-8）×[100-10(x-12)]=（x-8）×(220-10x)=-10x2+300x-1760；求最值：通過配方法或頂點(diǎn)公式，得頂點(diǎn)x=15，y=490，即售價(jià)15元時(shí)利潤(rùn)最大。應(yīng)用遷移：用“變式任務(wù)”強(qiáng)化模型普適性學(xué)生在完成任務(wù)后普遍反饋：“雖然問題類型變了，但思路是一樣的——先找變量關(guān)系，再列函數(shù)式，最后求最值?！边@說明模型思想已初步內(nèi)化。反思提升：用“建模日志”培養(yǎng)元認(rèn)知為幫助學(xué)生總結(jié)建模經(jīng)驗(yàn)，我要求學(xué)生撰寫“建模日志”，記錄：本次建模解決了什么問題？關(guān)鍵步驟是什么？哪里容易出錯(cuò)？模型與實(shí)際的差距在哪里？如何改進(jìn)？你對(duì)二次函數(shù)建模的新認(rèn)識(shí)是什么？例如，一名學(xué)生在日志中寫道：“今天解決利潤(rùn)問題時(shí)，我一開始忘記銷量隨售價(jià)提高而減少的具體數(shù)值（每漲1元減10千克），導(dǎo)致關(guān)系式列錯(cuò)。后來(lái)仔細(xì)分析題目，才發(fā)現(xiàn)銷量=原銷量-減少量，這讓我明白‘理解題意中的變量關(guān)系’是建模的第一步。”這種反思性記錄，能有效提升學(xué)生的元認(rèn)知能力。04二次函數(shù)建模思想滲透的評(píng)價(jià)與優(yōu)化評(píng)價(jià)維度：從“結(jié)果”到“過程”的全面考量傳統(tǒng)評(píng)價(jià)側(cè)重“是否求出正確解析式”“能否計(jì)算最值”，但建模思想的評(píng)價(jià)需關(guān)注：01參與度：是否積極參與情境討論，能否提出合理的建模假設(shè)；02思維過程：變量識(shí)別是否準(zhǔn)確，關(guān)系式推導(dǎo)是否邏輯清晰，模型驗(yàn)證是否嚴(yán)謹(jǐn)；03應(yīng)用能力：能否將模型遷移到新情境，能否用數(shù)學(xué)語(yǔ)言解釋實(shí)際問題。04常見問題與改進(jìn)策略在教學(xué)實(shí)踐中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生常見的建模障礙及應(yīng)對(duì)方法：|障礙類型|具體表現(xiàn)|改進(jìn)策略||----------------|-----------------------------------|---------------------------------------||變量識(shí)別困難|分不清自變量與因變量，忽略隱藏變量|用“變量清單法”：列出所有相關(guān)量，標(biāo)注“變化”“影響”關(guān)系||關(guān)系式推導(dǎo)錯(cuò)誤|列不出正確的函數(shù)式，混淆線性與二次關(guān)系|用“分步拆解法”：先寫基本關(guān)系式（如利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷量），再逐步代入變量||模型驗(yàn)證缺失|求出結(jié)果后不檢驗(yàn)是否符合實(shí)際意義（如售價(jià)為負(fù)數(shù)）|強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)結(jié)果需回歸現(xiàn)實(shí)”：如利潤(rùn)問題中，售價(jià)需大于進(jìn)價(jià)，銷量需非負(fù)數(shù)|未來(lái)優(yōu)化方向跨學(xué)科融合：與物理（拋體運(yùn)動(dòng)）、化學(xué)（溶解度曲線）等學(xué)科聯(lián)合，設(shè)計(jì)跨學(xué)科建模任務(wù)；01項(xiàng)目式學(xué)習(xí)：開展“校園問題建?！表?xiàng)目（如設(shè)計(jì)最優(yōu)花壇、規(guī)劃運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式隊(duì)列），讓學(xué)生經(jīng)歷“選題→調(diào)研→建?！鷪?bào)告”的完整流程；02技術(shù)輔助：利用幾何畫板、Excel等工具，動(dòng)態(tài)演示二次函數(shù)圖像與實(shí)際數(shù)據(jù)的擬合過程，增強(qiáng)直觀理解。0305結(jié)語(yǔ)：讓建模思想成為學(xué)生的“數(shù)學(xué)眼光”結(jié)語(yǔ)：讓建模思想成為學(xué)生的“數(shù)學(xué)眼光”回顧二次函數(shù)建模思想的滲透歷程，我最深的體會(huì)是：建模不是額外的“附加任務(wù)”，而是二次函數(shù)教學(xué)的本質(zhì)回歸。當(dāng)學(xué)生能主動(dòng)用二次函數(shù)模型分析“投籃角度與命中率”“網(wǎng)店