2024-2025學(xué)年福建省晉江市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

檢測試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

］點尸(-3,8,-5)關(guān)于平面xOy對稱的點的坐標(biāo)是()

A.(3,-8,-5)B.(-3,8,5)

C.(3,8,5)D.(-3,-8,5)

2.已知直線/過點(4,5),且一個方向向量為(-1,2),貝］直線/的方程為()

Ax+2v-14=0B,x-2y+6=0

C.2x+y-13=0D.2x-y-3=0

3.已知雙曲線G過點4—而』)，且與雙曲線。2：/—3/=1有相同的漸近線，則雙曲線

C,的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.仁=iB.Z_r=1

124124

C.工上=1D.E—E=I

155155

4.已知直線/［：3x-4y+7=0與直線，2：6x-(〃z+l)y+l-加=0平行，則乙與6之間的距

離為()

A2B.3C.4D.5

5.已知三棱柱月3c的側(cè)棱長為2,底面力VC'是邊長為2的止三隹形，

4/8=幺4。=60。,若4c和8G相交于點則|西=()

A.&B.2C.75D.幾

22

6.已知橢圓石：鼻+彳=1(。＞人＞0)的右焦點為尸(4,0),過點尸的直線交橢圓石于48

兩點,若4?的中點坐標(biāo)為"（1,一1）,則橢圓￡的方程為（)

--+—■

248

22

7.已知耳，鳥是橢圓。：「+與=i（4〉b>o）的左、右焦點，力是。的左頂點，點尸在過

/b2

A且斜率為/的直線上，△百鳥為等腰直角三角形，且/打工p=90。，則C的離心率為（

8.已知圓C：/+產(chǎn)+61一4、+9=0關(guān)于直線依+勿+3=0對稱，過點P（d?作圓。的

切線，切點分別為48,QiJcos/4PB的最小值為（）

27291927

A.—B.—C.—D.—

64643232

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知向量。一（1,1,0）,^=（0,1,1）,c-（l,2,l）,則下列結(jié)論正確的是（〉

兀

A.向量￡與向量書的夾角為:B.cl(a-b)

C.向量￡在向量刃上的投影向最為D.向量］與向量［，［共面

10.已知直線/：Ax-y+（l-攵）=0,圓C：（x+iy+l〉—2f=l,以下正確的是（）

A./與圓。不一定存在公共點

B.圓心C到/的最大距離為石

C.當(dāng)/與圓C相交時，—2<%<0

D.當(dāng)A=-l時，圓。上有三個點到/的距離為"立

2

11.已知雙曲線=的一條漸近線的方程為歹=亭，上、下焦點分別為

下列判斷正確的是（）

A.。的方程為3/_工2=1

B.。的離心率為2叵

3

C.若點A為。的上支上的任意一點，P（2,0）,則歸旬+M勾的最小值為2行

D.若點"（2五"）為。的上支上的一點，則△〃￡工的內(nèi)切圓的半徑為當(dāng)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知力（一2,-5）,8（0,1）兩點，則以線段43為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

13.過雙曲線E的兩個焦點分別作實軸的垂線，交E于四個點，若這四個點恰為一個正方形

的頂點，則￡■的離心率為.

14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面.上到兩定點力，8的距離之比為常數(shù)義（義＞0"工1）

的點的軌跡是一個圓心在直線力4上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長方體

43CQ—40Goi中，AB=2AD=2AA1=6,點七在棱48上，BE=2AE,動點P滿

定BP=MPE，若點尸在平面48C。內(nèi)運動，則點尸對應(yīng)的軌跡的面積是；F

為G。的中點，則三棱錐P-體積的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在平面直角坐標(biāo)系X0F中，已知圓M的圓心在直線＞=-24上，且圓M與直線

工-歹-5=0相切于點。（2,-3）.

（1）求圓M的方程；

（2）過坐標(biāo)原點O的直線/被圓.“截得的弦長為",求直線/的方程.

率為3.

①求直線PC與直線AB所成角的余弦值；

②點。在棱P4上，直線。。與平面力BC所成角的余弦值為我，求80的長度.

6

22

19.已知橢圓E:xJ+'v=1（4>/7>0）的左、右焦點分另!為G，E，離心率為2一，且經(jīng)過點

a~b~3

（1）求上的方程；

（2）過耳且不垂直于坐標(biāo)軸的直線/交E于43兩點，點/為的中點，記鳥的

面積為號,△片片鳥的面積為S2,求券的取值范圍.

2024-2025學(xué)年福建省晉江市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

檢測試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1點P（-3,8,-5）關(guān)于平面xQy對稱的點的坐標(biāo)是（）

A.（3,-8,-5）B.（-3,8,5）C.（3,8,5）D.

（-3,-8,5）

【正確答案】B

【分析】根據(jù)空間直角系對稱的特征，直接求出答案即可.

【詳解】點夕（-3,8,-5）關(guān)于平面宜勿對稱的點的坐標(biāo)是（-3,8,5）.

故選：B

2.已知直線/過點（4,5）,且一個方向向量為貝值線/的方程為（）

A,x+2v-14=0B,x-2y+6=0C.2x+y-13=0D.

2x-y-3=0

【正確答案】C

【分析】根據(jù)直線的方向向量定義求解即可.

【詳解】設(shè)尸（x,y）是直線/上任意一點，因為直線/過點（4,5）,且一個方向向量為（一1,2）,

所以二二二，化簡得.2x+y—13=0

-12

故選：C.

3.已知雙曲線G過點4-VB』），且與雙曲線。2：/-3/=1有相同的漸近線，則雙曲線

C,的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.二上=iB.

124124

c.E上?

155

【正確答案】A

【分析】由題設(shè)雙曲線G的方程為G：/-3/=4,進(jìn)而待定系數(shù)求解即可.

【詳解】由雙曲線a與雙曲線。2：/-3尸=1有相同的漸近線，故可設(shè)雙曲線弓的方程為

x2—3y2=4(4w1),

又因為G過點/(—所以15—3=2,解得2=12,

22

所以，雙曲線G的標(biāo)準(zhǔn)方程是紜-?=i.

故選：A.

4.已知直線4：3x-4y+7=0與直線/2：6x-("z+l)y+l-m=0平行，則乙與人之間的距

離為()

A.2B.3C.4D.5

【正確答案】A

【分析】根據(jù)兩條直線平行，求出加值，再應(yīng)用平行線間的距離公式求值即可.

【詳解】因為直線4：3工一4，+7=0與直線/2：6%-(〃7-1)歹+1-〃?=0平行,

6一(〃?+1)1-m_

所以一=--------工------解N得m=7.

3-47

于是直線A：6x-8y-6=0,Bp/2:3x--3=0,

|7-(~3)|

所以人與。之間的距離為=2

肘+(-4>

故選：A

5.己知三楂柱的側(cè)楂長為2,底面力8c是邊長為2的正三隹形，

ZAlAB=ZAlAC=60\若8c和8G相交于點〃.則畫=()

A.也B.2C.石D.V6

【正確答案】D

【分析】利用空間向量的基本運算可得病=；（萬+B+?）,再由夾角以及模長運算即可得

結(jié)果.

【詳解】如卜.圖所示:

根據(jù)題意可知令刀>￡,祀=瓦漏=入且同=3=同=2,a>c=aih=b,c=60\

可得而二刀+麗=而+，（前+西）=德+L俾+%+西）

22

=小_1荏+

22212v*7

所以—(a+b+c

44

/+廬+[2+2同問cos60。+2同同cos600+2\c\同cos60°；(4+4+4+4-4+4)

4

=x/b.

故選：D

6.已知橢圓上：1+二=15〉8>0）的右焦點為/（4,0）,過點少的直線交橢圓E于43

a-b~

兩點，若力片的中點坐標(biāo)為則橢圓月的方程為（）

AJVR%2y2

182204

C.三十二=1D,三+匕=1

248259

【正確答案】C

_t2121

【分析】點差法得到3/ow=W，從而得到―=二3/=/,結(jié)合〃2=/+￡/=]6,

aa~3

求出/=24,〃=8,得到橢圓方程.

22

【詳解】由題意，設(shè)4（不必）,5（x2，為），代入橢圓方程二+二二1，

a~b

4+4=1，2222

可得，以：及兩式相減可Kg+-二%=0,

X…ah2

變形可得38勺.二4，

a

又過點尸的直線交橢圓E于43兩點，且力8的中點"為（LT）,

所以左"二般“=-r—r=p^.w，

1—4j=T

t2i

代入上式可得，J，,3b2=M，Xt72=Z）2+?,C2=16,

cr3

22

解得病=24萬=8,所以橢圓E的方程為二+匕=1.

248

故選：C

7.已知耳，鳥是橢圓C：二十與=1（〃>6>0）的左、右焦點，力是C的左頂點，點尸在過

a~b~

力且斜率為;的直線上，△尸耳行為等腰直角三角形，且/耳入尸=90。，則C的離心率為（）

1123

A-3B-2C-3D-4

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意，求得力P方程為y=；（x+。），以及P（c,2c）,代入直線方程求得女二。，

結(jié)合離心率的定義，即可求解.

22

【詳解】如圖所示，由橢圓￡+2=1（。＞/）＞0）,得到左頂點力（-4,0）,

又由過點A且斜率為』的直線，可得力P方程為y,

22

因為△/￥；鳥為等腰直角三角形，且/大區(qū)P二90。，可得P（c,2c）,

代入直線y=，（?￥+〃），可得2c='（c+a）,整理得3c=〃，

所以橢圓的離心率為？=￡='.

a3

故選：A.

8.已知圓C：/+/+6/-4＞+9=0關(guān)于直線狽+力+3=0對稱，過點尸（。,力）作圓C的

切線，切點分別為4B,則cos/力尸3的最小值為（）

27291927

A.—B.—C.—D.—

64643232

【正確答案】C

【分析】首先由圓。關(guān)于直線如+0+3=0對稱，則圓心在直線上，從而得到3。—2分=3,

即確定尸（。力）在直線3x—2y=3上，再利用倍角公式，用表示cos/4PB,即

cosZAPB—1--------；--------再利用（4+3）'+（匕-2）’幾何意義，即可求出

（0+3）2+--2）2

cos/NPB的最小值.

由圓C：x2+/+6.v-4v+9=o,即可得圓心c(-3,2),半徑r二2,

由圓C：x?+y2+6x-4y+9=0關(guān)于直線+0+3=0對稱，

可得圓心。（-3,2）在直線?+力+3=0上,

所以—3。+2/）+3=0,即3。-28=3,所以夕（出力）在直線3]-2>=3,

又過點P（a,b）作圓C的兩條切線，切點分別為4B,

8

則cos/4尸3=cos2N4PC=1-2sin2Z.APC=l-2x

5+3『+伍-2)2

又P(a,b)在直線3x-2y=3,

則（。+3）2+（〃-2）2可表示。（一3,2）到直線統(tǒng)一2〉=3上點的距離的平方,

|-9-4-3|

所以（〃+3『+他—2）2的最小值為256

U32+(-2d7T

……為情152_19

?-256-32，

13

故選：C.

關(guān)鍵點點睛:

本題的關(guān)鍵點是將求cos/APB的最小值轉(zhuǎn)化為求直線3x-2y=3上的動點P（a,b）到圓C：

x2+y2+6x-4y+9=0的最小值問題.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知向量2=（1』,。），6=（0,1,1）,3=（1,2,1）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.向量￡與向量g的夾角為工B.cL(a-b)

6

C.向量Q在向量［上的投影向量為(5,0,5)D.向量"與向量工，E共面

【正確答案】BD

【分析】對于A,利用空「瓦向量夾角公式計算即可判斷；對于B,利用向量垂直的充要條件計

算判斷即得；對于C,利用投影向量計算公式即可判斷；對于D,利用共面向量基本定理即可

判斷.

【詳解】對于A,因"q=IxO+lxl+lxO=1，Ia|=||=5/2

則cos〈B,萬〉=P“一='、=■!■,因o＜〈尻之〉＜兀，則〈瓦,〉二工，故A錯誤；

⑷?網(wǎng)(，2廠23

對于B,因萬-3=(1,0,1),則己?(3-6)=(1,2,1).(1,0,-1)=1乂1+2乂0+1乂(-1):0,

故6即B正確；

對于C,根據(jù)投影向量的定義可知，向量￡在向量行上的投影向量為:

同"辦'薩孚」/x°另故C錯誤;

對于D,由向量a—(1,1,0),c—(1,2,1),可知C=Q+8,

故向量)與向量B共面，所以D正確.

故選：BD.

10.已知直線/：點一)，+(1-A)=0,圓C：(X+1)2+|＞-2)2=1,以下正確的是()

A./與圓C不一定存在公共點

B.圓心C'到/的最大距離為逐

C.當(dāng)/與圓。相交時，一巳＜女＜0

4

D.當(dāng)左二-1時，圓C上有三個點到/的距離為三2

2

【正確答案】ABD

【分析】對A,根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求圓心。到直線/的距離判斷：對于B,由于直線

恒過定點所以當(dāng)時CQ_L/,圓心。到直線/的距離最大，從而可求出其最大值；對

C,根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解判斷；對D,求出圓心到直線的距離，進(jìn)而判斷.

,\-k-2+\-k\\lk+]\

【詳解】對于A,圓心C到直線/的距離為d=-,

Jl+二左2

|2攵+1|4

當(dāng)">r=1,即----L>1,解得k>0或攵<一一，此時直線/與圓相離，沒有公共點，故

\h+k?3

A正確；

對于B,因為直線/：6一）+（1-攵）=0,BPZ:（X-1）=v-1,所以直線/過定點尸（1,1）,

當(dāng)時C尸圓心C到直線/的距離最大，最大值為|CP|=J（-=5故B

正確；

I2A+1I4

對于C,當(dāng)直線/與圓相交時，則'解得一-<攵<0,故C錯誤;

-1+2-2|_72

對于D,當(dāng)左二一1時，直線/：x+y—2=0,圓心。到直線/的距離為

Vi+T~2

所以圓上有三個點到直線/的距離為1-立=三2,故D正確.

22

故選：ABD.

11.已知雙曲線C：4-x二二1（〃〉0）的一條漸近線的方程為卜=容，上、下焦點分別為

耳，石，下列判斷正確的是（）

A.。的方程為3/—2=1

B.C的離心率為漢1

3

C.若點A為。的上支上的任意一點，P（2,0）,則歸H+M勾的最小值為2石

D.若點〃（2五"）為C的上支?上的一點，則AM片5的內(nèi)切圓的半徑為等

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)漸近線方程求。，根據(jù)雙曲線方程求離心率，即可判斷AB,根據(jù)雙曲線的定義,

結(jié)合數(shù)形結(jié)合判斷C,根據(jù)雙曲線方程求點〃的坐標(biāo)，再根據(jù)鳥的面積和周長，即可

求內(nèi)切圓的半徑，判斷D.

【詳解】A.由雙曲線方程￡/一工2=16>0）可知，雙曲線的漸近線方程為歹=±辦,

又雙曲線的i條漸近線方程為>=半，所以Q

3’

所以C的方程為

故A正確；

B.由雙曲線C的方程3/-/=],

可知，a2=-,b2=1,

3

4c

則c?=/+/=—,所以離心率e=—=2,

3a

故B錯誤；

耳+勿=歸川+,耳|+乎之「巴卜￥二26,

當(dāng)點尸,4片三點共線且依序排列時，等號成立,

所以|「4|+|力用的最小值為2石,

故C正確；

D.

D.C的方程為獷一一二1,當(dāng)工=20時，y=±5〃(2拒,退)，

心叫斗廠苧)

計算可得由周二^^,?/陽=￥^,阿眉=苧^,

所以4MF\F,的面積為_Lx勺8x2/二逆，

233

△歷"月的周長為迪+38+述=3正，

3333

設(shè)片居的內(nèi)切圓的半徑為一，則lx3叵/?=偵，得r=也,故D正確.

2332

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知4(—2,—5),8(0,1)兩點，則以線段為直經(jīng)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【正確答案】(x+l)2+(y+2)2=10

【分析】根據(jù)給定條件，求出圓心和半徑即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】依題意，以線段為直徑的圓的圓心為(-1,-2),

半徑7?二;|/8|=；/(—2-0)2+(—5—1)2二歷,

所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)?+(y+2>=10.

故(x+l)2+(y+2)2=10

13.過雙曲線K的兩個焦點分別作實軸的垂線，交Z?于四個點，若這四個點恰為一個正方形

的頂點，則E的離心率為.

【正確答案】正里.

2

【分析】由雙曲線的幾何性質(zhì)確定dAc之間的等式關(guān)系，即可求解.

22

【詳解】解法一：不妨設(shè)雙曲線E：q—S=l（a>°/>0），

令》=。，可得y=±L,所以|力用=當(dāng).

依題意可得，|4a=忸閭,所以竺=2c，

又從二。2-/,所以g2一改一。2=0,解得：￡=生5,

a2

又因為所以￡=￡=1±叵.

a2

解法二：如圖，連結(jié)片片，在中，

歸周=2c，M用-卜冏|=2"6-c=（右-l）c

2c2cy/s+1

所以離心率-五二百1二丁.

解法三：閨用=2c,依題意知力（c,c）在曲線上，故M一二二1,

crb~

整埋得/—3^+1=0,/二2±立.（取止）,

2

14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點/,B的距離之比為常數(shù)義（2>0,2=1）

的點的軌跡是一個圓心在直線44上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長方體

中,/B=2/O=244]=6,點七在楂力8上，BE=2AE,動點。滿

足BP=6PE，若點尸在平面48CO內(nèi)運動，則點尸對應(yīng)的軌跡的面積是；/

為GA的中點，則三棱錐尸-四。尸體積的最小值為.

②.好網(wǎng)

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)BP二6PE，可得尸對應(yīng)的軌跡方程；先求△可。尸的

面枳，其是固定值，要使體積最小，只需求點尸到平面片的距離的最小值即可.

【詳解】分別以4民4。/4為x，y，z軸建系，設(shè)尸(x,y,o),而

8(6,0,0),E(2,0,0),4(6,0,3),

。(6,3,0),尸(3,3,3).

由4尸=y[3PE，有7(x-6)2+(y-0)2+(0-0)2=0x^x-2)2+(y-0)2+(0-0)2，化

簡得尸對應(yīng)的軌跡方程為f+/=12.所以點尸對應(yīng)的軌跡的面枳是汗.(2百了=12萬.

易得ABCF的三個邊BQ=B1F=CF=36

即是邊長為為3人的等邊三角形，其面積為些,

2

西=(0,-3,3),3=(一3,0,3),設(shè)平面用。尸的一個法向量為3=(x/,z),

則有t-x3y++3z=。0’可取平面8叱的一個法向量為一〃=(.1」.」)'

根據(jù)點尸的軌跡，可設(shè)P(2jJcosa2Gsin仇0)，

.?.麗=(2gcos<9-6,2、5sin8-3,0...爐,；=2#cos。+2氐in9，

/\

不f2\/6sin^0+--9r

所以點。到平面8cb的距離月_.〃—I4；9-2V6,

"-河-忑

所以憶二！S6=,S42幺一3".

332

故12萬；--35/6

2

四、解答題：本題共5小題，77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在平面直角坐標(biāo)系X0F中，已知圓"的圓心在直線y=-2x上，且圓M與直線

工_尸5=0相切于點P(2,-3).

(1)求圓M的方程：

(2)過坐標(biāo)原點。的直線/被圓M截得的弦長為卡，求直線/的方程.

【正確答案】(1)(x-l)2+(y+2)2=2

(2)x+y=0或7x+y=0.

【分析】(1)根據(jù)直線與圓的相切的關(guān)系得出圓心與切點連線方程，聯(lián)立方程組計算可得圓

心坐標(biāo)，根據(jù)兩點距離公式計算半徑即可得圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)根據(jù)弦長公式可得圓心M到直線/的距離，分類討論直線斜率是否存在，并點到直線的

距離公式計算斜率即可.

【小問1詳解】

易知過點。(2,-3)且與直線x-y-5=0垂直的直線斜率為1,

故圓心必與切點連線方程為x+y+l=O,

X+y+1=0

聯(lián)立〈\解得

y=-2x、k-2

所以例(1,一2)；

所以圓M的半徑為網(wǎng)必=)(2-+(—3+2)2=6,

所以圓用的方程為(x-1)2+(y+2)2=2.

【小問2詳解】

如圖，由(1)可知圓M的方程為(工一1)2+(歹+2)2=2,

因為直線/被圓M截得的弦長為石，

所以加到直線/的距離為d=

若直線/的斜率不存在，則方程為x=0,此時圓心到直線的距離為1,不符合題意;

若直線/的斜率存在，設(shè)方程為歹=履，

則d=~，即〃2+8〃+7=0，解得女二一I或〃=一7,

7FTT2

所以直線/的方程為x+y=0或7x+y=0.

16.如圖，已知在四棱錐尸一/BC。中，。。，平面力8。。，四邊形力8。。為直角梯形，

AD1CD,AB//CD,48=4。=PQ=2,CQ=4,點￡是棱尸C上靠近尸端的三等分

點，點尸是棱21上一點.

（1）證明：P4//平面BDE；

（2）求點/到平面3QE的距離；

（3）求平面與平面P8c夾角的余弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

⑵氈

3

（3）也.

3

【分析】（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究線面關(guān)系即可;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及點到面的距離公式計算即可；

（3）利用空間向量計算面面夾角即可.

【小問1詳解】

以點。為坐標(biāo)原點，DA,DC,DP分別為X/,z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4（2,0,0）,8（220）,C（0,4,0）/（0,0,2）,E[0,*，.

______(44)

￡>^=(2,2,0),M=l0,-,-l,設(shè)平面的一個法向量為而二(x,y,z),

2x+2y=0

m?DB=0

則一，即〈44令x=l,得y=T,z=l,則成=(1,一1,1).

-y4--=0

汾?DE=O13，3Z

又蘇二(2,0,-2),可得方.而=0,因為"U平面4DE,所以0///平面

【小問2詳解】

因為P///平面BDE，所以點F到平面BDE的距離等于點A到平面BDE的距離.

易知4B=(0,2,0)，則點A到平面BDE的距離為—=二=仝絲.

阿V33

【小問3詳解】

易知就=(-2,2,0),斤二(0,4,-2),設(shè)平面尸3。的一個法向量為方=W，Ac),

n-BC=0-2a+2/)=0

則即《，令〃=l,b=l,c=2,則萬=(1,1,2).

n~PC=04b2c=0

設(shè)平面BOE與平面P8C的夾角為a，

|麗?同

則IH8sa=|Ico/s_d〃人麗二2.二行41

故平面8OE與平面尸8c的夾角的余弦值為也.

3

17.已知圓M：(x+1>+9=1,圓N：(x—l)?+y2=9,動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓

心P的軌跡為曲線C

(1)求C的方程；

(2)1是與圓P,圓M都相切的一條直線，I與曲線C交于A,B兩點，當(dāng)圓P的半徑最長時,

求|AB|.

r22

【正確答案】(1)二+2v=|鼠￥-2)：(2)見解析.

43、7

【分析】(I)根據(jù)橢圓的定義求出方程：(2)先確定當(dāng)圓P的半徑最長時，其方程為

(x-2)2+y2=4>再對直線1進(jìn)行分類討論求弦長.

【詳解】⑴依題意，圓M的圓心，圓N的圓心N(l,0),故+|尸M=4>2,由橢圓定

理可知，曲線C是以M、N為左右焦點的橢圓(左頂點除外)，其方程為《+己=l(x=-2)；

43Vf

⑵對于曲線C上任意一點尸(x,y),由于|PMTPN|=2R-V2(R為圓P的半徑)，所

以R=2,所以當(dāng)圓P的半徑最長時，其方程為(x—2)2+)?=%

若直線1垂直于x軸，易得|/8|二2百；

\QPR

若直線1不垂直于X軸，設(shè)1與X軸的交點為Q,則公77?=一，解得。(-4,0),故直線1：

10M分

y=A(x+4)；有1與圓M相切得尸"，=1,解得Z=±也；當(dāng)〃="時，直線

>J\+k244

y=手x+夜，聯(lián)立直線與橢圓的方程解得|力以=?；同理，當(dāng)上二V2時,|叫號

4

18.離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo)，設(shè)。為多面體”的一個頂點，定義多面體例在

點尸處的離散曲率為①尸=1—J(/0尸02+/。2。。3十…+N&T尸2+/002)，其中

27r

21=1,2,…,攵,左之3))為多面體M的所有與p相鄰的頂點，且平面0E2,QP2，…

平面和平面。為多面體M的所有以夕為頂點的面.現(xiàn)給出如圖所示的三棱錐

P-ABC.

(1)求三棱錐。-48。在各個頂點處的離散曲率的和；

(2)若尸力J.平面/18C,ACLBC,AC=BC=2,三棱錐夕—48C在頂點。處的離散曲

率為‘3

O

①求直線PC與直線AB所成角的余弦值；

②點。在棱P4上，直線。。與平面力BC所成角的余弦值為我，求80的長度.

6

【正確答案】（1）2（2）①g；②=乎

【分析】（I）根據(jù)所給的定義.表示①〃?①八①〃.①c,再相加.即可求解:

（2）①將三棱錐補成正方體，即可求解異面直線所成的角；②首先根據(jù)垂直關(guān)系，構(gòu)造線面

角,再設(shè)80=x（O<x?2后），QG=*x，8G=^x，再利用余弦定理求CG,

再由余弦值，轉(zhuǎn)化為正切值，即可求解.

【小問1詳解】

根據(jù)離散曲率的定義得①尸=1一」一(/406+N4尸C+N4尸C),

2兀

(P,=1一一-(ZPJ/?+Z^C+/PAC),(P=l-—|ZP^+/ABC+/PBC),

2兀2兀fl,

①(.二1一5(/P。+N5C4+N尸C8),

所以①f尸+①/,I+①#+中V「=4-—cx4n=2

2兀

【小問2詳解】

①因為P4_L平面4BC,4Cu平面力BC,

所以P4JL8C,且/C_L8C,PA^AC=A,4,/Cu平面4C,

所以8C_L平面/MC,尸Cu平面P/C,

所以8C_LPC,

I?/、Q

所以①(.=1——(ZPCA+ABCA+ZPCB)=1——ZPCA+-+-=

2n2兀I22/8

所以二巴，所以PW=4C=4c=2,

4

如圖，將三棱錐尸-力8c補成正方體4O8C-PERM,

因為AB//PF,連結(jié)“C,所以異面直線尸。與所成的角為NQC或其補角,

而△PR7是等邊三角形，所以ZF尸。=60、cosZFPC=cos60°=-,

2

所以直線PC與直線AB所成角的余弦值為-；

2

過點。作0G//48于點G,連結(jié)CG,

因為P4_L平面45C,所以。G_L平面48C,

所以AGCQ為直線CQ與平面ABC所成的角，

依題意可得，PA=2,AB=2亞，PB=>!PA2^AB1=273-

所以sinZ.PBA-,cosZ.PBA=，

PB3PB3

設(shè)80=X（O<X42石），QG=BQsinNPBA=去x,BG=BQ-cosAPBA=^-x,

在z^CG中，CG=NBC、8G2一2BC.BG.cos/CZG=|已一年x，

又cosNGC。=任，所以sinNG。。=Jl-cos?4GCQ=逅，

66

sinZGCQV5

所以tan/GCQ=

COSZGC0-T

近一

所以tanAGCQ=堡=-3—

CG2；4百5

J4+一廠------x

V33

解得：x=28或x=-2>/3（舍）

3

故80=苧.

關(guān)鍵點點睛：本題考察新定義，關(guān)鍵一是理解新定義，確定圖形的幾何關(guān)系，關(guān)鍵二是利用

定義法表示線線角和線面角.

227

19.已知橢圓后：二+勺二叫〃〉/?,。）的左、右焦點分另!為耳，工，離心率為一，且經(jīng)過點

crb-3

（1）求E的方程；

（2）過百且不垂直于坐標(biāo)軸的直線/交E于48兩點，點M為4B的中點，記鳥的

面積為5,△86用的面積為$2,求善的取值范圍.

【正確答案】（1）—+^=1

95

（2）（0,2）

【分析】（I）利用離心率公式以及點在橢圓上即可求解；

（2）解法一：設(shè)/:x=〃v-2（〃-0）,利用三角形的面積公式，將面積之比表示為點兒