6.2.2線段的比較與計(jì)算第2課時(shí)線段的運(yùn)算第六章幾何圖形初步1.理解線段等分點(diǎn)的意義;能夠運(yùn)用線段的和、差、倍、分關(guān)系求線段的長(zhǎng)度.2.會(huì)用尺規(guī)作圖的方法進(jìn)行線段的和差運(yùn)算.

在直線上畫(huà)出線段AB=a

，再在

AB的延長(zhǎng)線上畫(huà)線段BC=b，線段

AC就是

與

的和，記作

AC=

.如果在

AB上畫(huà)線段

BD=b，那么線段AD就是

與

的差，記作AD=

.

ABCDa+ba–babbaba+baba–b線段的和、差、倍、分學(xué)生活動(dòng)

【一起探究】如圖，點(diǎn)B，C在線段AD

上則AB+BC=____；

AD–CD=___；BC＝___–___=___–

___.ABCDACACACABBDCD如圖，已知線段a，b，畫(huà)一條線段AB，使AB=2a–b.abAB2a–b2ab

在一張紙上畫(huà)一條線段，折疊紙片，使線段的端點(diǎn)重合，折痕與線段的交點(diǎn)處于線段的什么位置？ABMABM

如圖，點(diǎn)M

把線段AB分成相等的兩條線段AM

與BM，點(diǎn)M

叫做線段AB

的中點(diǎn).類(lèi)似的，還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等.線段的三等分點(diǎn)線段的四等分點(diǎn)AaaMBM

是線段AB

的中點(diǎn).

點(diǎn)M,N

是線段AB

的三等分點(diǎn)：AM=MN=NB=___AB(或AB=___AM=___MN=___NB)333NMBA素養(yǎng)考點(diǎn)1利用中點(diǎn)求線段的長(zhǎng)度例1若AB=6cm，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CB的中點(diǎn)，求：線段AD的長(zhǎng)是多少?解：因?yàn)?/p>

C是線段AB的中點(diǎn)，因?yàn)镈是線段CB的中點(diǎn)，

所以AD=AC+CD=3+1.5=4.5(cm).ACBD如圖，點(diǎn)C是線段AB

的中點(diǎn)，若AB=8cm，則AC=

cm.4ACB如圖，下列說(shuō)法，不能判斷點(diǎn)C

是線段AB

的中點(diǎn)的是(

)A.AC=CBB.AB=2ACC.AC+CB=AB

D.CB=AB

ACBC如圖，線段AB=4cm，BC=6cm，若點(diǎn)D

為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E

為線段BC

的中點(diǎn)，求線段DE

的長(zhǎng).ADBEC答案：DE的長(zhǎng)為5cm.例2如圖，B,C是線段AD上兩點(diǎn)，且AB：BC：CD=3：2：5，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，且EF=24，求線段AB,BC,CD的長(zhǎng)．FECBDA素養(yǎng)考點(diǎn)2利用比例或倍分關(guān)系求線段的長(zhǎng)度分析：根據(jù)已知條件AB：BC：CD=3：2：5，不妨設(shè)AB=3x,BC=2x,CD=5x,然后運(yùn)用線段的和差倍分，用含x的代數(shù)式表示EF的長(zhǎng)，從而得到一個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，解方程，得到x的值，即可得到所求各線段的長(zhǎng).FECBDA解：設(shè)AB=3x，BC=2x，CD=5x，因?yàn)?/p>

E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，所以所以EF=BE+BC+CF=因?yàn)镋F=24，所以6x=24,解得x=4.所以AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20.

求線段的長(zhǎng)度時(shí)，當(dāng)題目中涉及到線段長(zhǎng)度的比例或倍分關(guān)系時(shí)，通?？梢栽O(shè)未知數(shù)，運(yùn)用方程思想求解.歸納總結(jié)如圖，已知線段AB和CD的公共部分BD=AB=CD，線段AB,CD的中點(diǎn)E,F之間距離是10cm，求AB，CD的長(zhǎng)．FEBDCA分析：根據(jù)已知條件，不妨設(shè)BD=xcm，則AB=3xcm，CD=4xcm，易得AC=6xcm.在由線段中點(diǎn)的定義及線段的和差關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示EF的長(zhǎng)，從而得到一個(gè)一元一次方程，求解即可.解：設(shè)BD=xcm,則AB=3xcm，CD=4xcm，AC

=6xcm，因?yàn)镋,F分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以EF=AC–AE–CF=所以AB=3xcm=12cm，CD=4xcm=16cm.FEBDCA

所以

例3

A，B，C三點(diǎn)在同一直線上，線段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C兩點(diǎn)的距離是（）A．1cmB．9cmC．1cm或9cm

D．以上答案都不對(duì)解析：分以下兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)C在AB之間上，故AC=AB–BC=1cm；

當(dāng)點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上AC=AB+BC=9cm．C方法總結(jié)：無(wú)圖時(shí)求線段的長(zhǎng)，應(yīng)注意分類(lèi)討論，一般分以下兩種情況：

點(diǎn)在某一線段上；

點(diǎn)在該線段的延長(zhǎng)線.素養(yǎng)考點(diǎn)3需要分類(lèi)討論的問(wèn)題已知A，B，C三點(diǎn)共線，線段AB=25cm，BC=16cm，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，則線段EF的長(zhǎng)為（）A．21cm或4cm B．20.5cmC．4.5cm D．20.5cm或4.5cmD1.已知線段AB=6cm，延長(zhǎng)AB

到C，使

BC=2AB，若D為AB

的中點(diǎn)，則線段DC

的長(zhǎng)為_(kāi)_______.CADB15cm2.點(diǎn)A，B，C在同一條數(shù)軸上，其中點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別是–3，1，若BC=5，則AC=_________．9或13.如圖：AB=4cm，BC=3cm，如果點(diǎn)O是線段AC

的中點(diǎn)．求線段OB

的長(zhǎng)度．ABCO解：因?yàn)?/p>

AC=AB+BC=4+3=7(cm)，

點(diǎn)O

為線段AC

的中點(diǎn)，

所以O(shè)C=AC=×7=3.5(cm)，

所以

OB=OC–BC=3.5–3=0.5(cm)．4.已知，如圖，B，C兩點(diǎn)把線段AD分成2：5：3三部分，M為AD的中點(diǎn)，BM=6，求CM和AD的長(zhǎng)．DACBMAD=10x=20．解：設(shè)AB=2x，BC=5x，CD=3x,所以

AD=AB+BC+CD=10x.因?yàn)镸是AD的中點(diǎn)，所以

AM=MD=5x，所以BM=AM–AB=3x.因?yàn)锽M=6，即3x=6，所以

x=2.

故CM=MD–CD=2x=4，線段的運(yùn)算中點(diǎn)和與差思想方法方程思想分類(lèi)思想課前?自主預(yù)習(xí)1.畫(huà)一條線段等于已知線段畫(huà)一條線段等于已知線段AB,可以先用________量出線段AB的長(zhǎng)度,再畫(huà)一條等于這個(gè)長(zhǎng)度的線段.也可以先用________畫(huà)直線l,再用________在直線l上截取CD=AB.在數(shù)學(xué)中,我們常限定用無(wú)刻度的直尺和________作圖,這就是尺規(guī)作圖.

2.比較兩條線段的長(zhǎng)短比較兩條線段的長(zhǎng)短,可用刻度尺分別測(cè)量出它們的________來(lái)比較,或者把其中的一條線段移到另一條線段上作比較.

刻度尺

直尺

圓規(guī)

圓規(guī)

長(zhǎng)度

3.基本事實(shí)基本事實(shí):兩點(diǎn)的所有連線中,______最短.簡(jiǎn)單說(shuō)成:_________________.連接兩點(diǎn)的線段的________,叫作這兩點(diǎn)間的距離.

4.線段的和、差在直線上作線段AB=a,再在AB的延長(zhǎng)線上作線段BC=b,線段AC就是a與b的________,記作AC=________.設(shè)線段a>b,如果在線段AB上作線段BD=b,那么線段AD就是a與b的________,記作AD=________.

5.線段中點(diǎn)點(diǎn)M把線段AB分成相等的兩條線段AM和MB,點(diǎn)M叫作線段AB的________.類(lèi)似地,還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等.

線段

兩點(diǎn)之間,線段最短

長(zhǎng)度

和a+b差a-b中點(diǎn)

課堂?互動(dòng)理解1.線段的長(zhǎng)短比較典例1為了比較線段AB和線段CD的長(zhǎng)短,把線段CD移到線段AB上,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合.(填“>”“=”或“<”)(1)當(dāng)點(diǎn)D落在線段AB上,且點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合時(shí),AB________CD;

(2)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí),AB________CD;

(3)當(dāng)點(diǎn)D落在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí),AB________CD.

>=<解析:(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)D落在線段AB上,且點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合時(shí),AB>CD;(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí),AB=CD;(3)如圖,當(dāng)點(diǎn)D落在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí),AB<CD.舉一反三如圖,已知AN=BM,則下列選項(xiàng)正確的是(

)A.AM>BNB.AM<BNC.AM=BND.AM,BN的大小關(guān)系與點(diǎn)M,N的位置有關(guān)C2.線段的和、差典例2如圖,在操作課上,同學(xué)們按老師的要求操作:①作射線AM;②在射線AM上順次截取AC=CD=a;③在射線DM上截取DE=b;④在線段EA上截取EB=c,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B在線段CD上.由操作可知,線段AB=(

)

A.a+b-c B.a+b+cC.2a+b+c D.2a+b-cD解析:因?yàn)锳C=CD=a,所以AD=2a.因?yàn)镈E=b,所以AE=2a+b.因?yàn)锽E=c,所以AB=2a+b-c.舉一反三如圖,點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn),若AB=7,BC=3,則AC=(

)

A.10 B.7

C.5

D.4D3.線段的中點(diǎn)、等分點(diǎn)典例3如圖,M,P,N三點(diǎn)在直線l上.(1)尺規(guī)作圖:在線段PN的延長(zhǎng)線上作NB=NP,在線段NP的延長(zhǎng)線上作PA=2PN;(2)若AM=PM+8,PA=20,求MN的長(zhǎng).解:(1)根據(jù)題意,作圖如下:則點(diǎn)A,B就是所求的點(diǎn).(2)設(shè)NP=x,則PA=2x.因?yàn)镻A=20,所以2x=20.解得x=10,因?yàn)镻A=AM+PM=20,AM=PM+8,所以PM+8+PM=20,解得PM