高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)桂林市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期階段性教學(xué)質(zhì)量檢測（11月）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2.故選：B.2.復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別是（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】由題意可得，則復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別為和.故選：C.3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，故選：D.4.若雙曲線的虛軸長為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，，得，則該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.5.已知，則“”的一個必要不充分條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若，則；若，則，所以“”是“”的充要條件，A不符合題意.當(dāng)，時，滿足，但不成立，B不符合題意.由，得，則，由，得，但不一定成立，則“”是“”的必要不充分條件，C符合題意.當(dāng)，時，滿足，但不成立，D不符合題意.故選：C.6.已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是（）A.3 B. C. D.2【答案】B【解析】由題意可得直線的方程為，即0，則點(diǎn)到直線距離是.故選：B.7.若直線關(guān)于直線對稱的直線經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，所以，解得，所以，又因?yàn)樵谥本€上，所以，解得，故選：A.8.某甜品店推出新款球形慕斯蛋糕，該球形慕斯蛋糕的半徑為3厘米，現(xiàn)需將其放入一個正四面體形狀的包裝盒，忽略包裝盒的厚度，則該包裝盒容積的最小值為（）A.立方厘米 B.立方厘米C.立方厘米 D.立方厘米【答案】D【解析】設(shè)該包裝盒的棱長為厘米，則正三角形外接圓半徑為，則該包裝盒的高厘米，當(dāng)?shù)案鈱?yīng)的小球與正四面體內(nèi)切時，該包裝盒的容積最小，由正四面體體積公式可得體積為：，以正四面體內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，四個面為底面，可將正四面體分成4個小三棱錐，高即為內(nèi)切球半徑，則正四面體體積為：，即解得，此時包裝盒容積為立方厘米.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線和直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】由，得，解得或，則A錯誤，B正確.由，得，解得，則C，D正確.故選：BCD.10.已知橢圓的短軸長為，離心率為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，射線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交橢圓于點(diǎn)，則（）A.橢圓的方程為B.當(dāng)為的中點(diǎn)時，直線的斜率為C.當(dāng)時，直線的方程為D.當(dāng)軸時，的面積為【答案】AC【解析】A，易知，解得，所以，故A正確；B，設(shè)，則，作差得，即，易知，故B錯誤；C，當(dāng)時，，則直線為，故C正確；D，當(dāng)軸時，此時，不妨設(shè)，則，所以，易知，與橢圓聯(lián)立可得，所以，故D錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)B.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱C.在上單調(diào)D.的最大值是【答案】AD【解析】對A：定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以是偶函?shù)，A正確.對B：因?yàn)?，，所以，則的圖象關(guān)于直線對稱，B錯誤.對C：因?yàn)?，，所以在上不單調(diào)，C錯誤.對D：因?yàn)?，所以是的一個周期，則的最大值即在上的最大值.當(dāng)時，，則.設(shè)，則，設(shè)函數(shù).由解析式可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，故的最大值是，D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.直線在軸上截距是______．【答案】【解析】令，則，得，則直線在軸上的截距是.故答案為：.13.在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且，則面積的最大值是______.【答案】【解析】由余弦定理可得，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因?yàn)?，在上單調(diào)遞減，所以，則，所以的面積.故答案為：.14.已知是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)．若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率是______．【答案】【解析】聯(lián)立，消去得.解得（因在右支，取正根），代入得，即.將代入得，設(shè)，即，代入化簡得：，解得（舍去小于1的根），故.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.求符合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在軸上，焦距為，實(shí)軸長為；（2）過點(diǎn)，離心率為．解：（1）設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在軸上時，設(shè)其方程為，，解得：，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在軸上時，設(shè)其方程為，，解得：，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為；綜上所述：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為或.16.已知的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為.（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線與軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，求直線的一般式方程.解：（1）由題意可得直線的斜率為，則邊上的高所在直線的斜率為，故邊上的高所在直線的方程為，即.（2）由題意可知直線的斜率存在且為負(fù)數(shù)，則設(shè)直線，令，得，則點(diǎn)坐標(biāo)為，令，得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)榈拿娣e為，所以，即所以，所以，即，解得或，當(dāng)時，直線的方程為，即，當(dāng)時，直線的方程為，即綜上，直線的一般式方程為或17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，有兩個不同實(shí)根，，求的值；（2）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；（3）當(dāng)時，與有相同的零點(diǎn)，求的值.解：（1）當(dāng)時，令，則，，故.（2）因?yàn)閷θ我獾?，不等式恒成立，所以解得，即的取值范圍?（3）當(dāng)時，由，得或.由，得，則.依題意得或，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)或的時候與有相同的零點(diǎn)，所以或.18.已知圓，，是圓上的動點(diǎn)，線段的垂直平分線和線段交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值．解：（1）由題意可知圓心，半徑，連接，易知，所以，即點(diǎn)的軌跡是以為左、右焦點(diǎn)的橢圓，不妨設(shè)該橢圓的長軸，短軸，焦距分別為，即，則的方程為.（2）顯然直線斜率存在，不妨設(shè)，，聯(lián)立直線l與橢圓方程有，整理得，所以，則，由弦長公式可知，原點(diǎn)到l的距離，則，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，所以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值為.19.已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知斜率為的直線過點(diǎn)，且與圓交于兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn).①記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：.②試問點(diǎn)是否在定直線上？若是，求出該定直線方