高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期兩校聯(lián)合期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)空間中點(diǎn)的坐標(biāo)確定方法知，空間中點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的投影坐標(biāo)的豎坐標(biāo)為0，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不變.所以向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是，所以空間向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是.故選：C.2.已知向量，，若，則的值是（）A.或1 B.3或1 C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)，則.故選：D.3.已知直線(xiàn)的斜率，則直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)且，則.故選：B.4.已知空間向量，，則在上的投影向量的模為（）A. B.2 C.1 D.【答案】A【解析】

在

上投影向量的模為

，因?yàn)?，，所?/p>

，，所以投影向量的模為

，故選：A.5.已知正四棱錐所有棱長(zhǎng)均為1，為底面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可作圖如下：由正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為1，可知，且，所以，，所以.故選：C.6.已知，直線(xiàn)，且，則的最小值為（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．故選：C.7.已知直三棱柱中，，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)橹比庵?，，，，所以，所以，設(shè)異面直線(xiàn)與所成角為，則，所以.故選：B.8.已知，直線(xiàn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)，，切點(diǎn)為，，當(dāng)最小時(shí)，直線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題設(shè)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以直線(xiàn)與圓相離，又為圓的切線(xiàn)，為切點(diǎn)，則四點(diǎn)共圓，且，所以，而，當(dāng)直線(xiàn)時(shí)，，此時(shí)最小，而，則，故，即，由，解得，此時(shí)，以為直徑的圓的圓心為，半徑為，所以，即，兩圓的方程相減可得，即為直線(xiàn)的方程.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于空間向量，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，共線(xiàn)，則B.已知，，若，則C.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面D.若向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則也能構(gòu)成空間的一個(gè)基底【答案】CD【解析】A：當(dāng)同向時(shí)，；當(dāng)反向時(shí)，，A錯(cuò)；B：由，則，解得，B錯(cuò)；C：由，且，所以四點(diǎn)共面，C對(duì)；D：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，，則，方程組無(wú)解，不共面，可以構(gòu)成空間的一組基底，D對(duì).故選：CD.10.以下四個(gè)命題表述正確的是（）A.過(guò)點(diǎn)且在軸、軸上截距相等且不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)方程為B.圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離都等于1C.已知點(diǎn)在圓外，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D.圓與圓恰有三條公切線(xiàn)，則【答案】ABD【解析】A：由題意，設(shè)直線(xiàn)為，則，則直線(xiàn)方程為，A對(duì)，B：圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為，所以圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離都等于1，B對(duì)，C：由，則，所以在圓外，則，可得，綜上，，C錯(cuò)，D：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，由于、有三條公切線(xiàn)，所以?xún)蓚€(gè)圓外切，所以，，D對(duì).故選：ABD.11.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀(guān)，它蘊(yùn)藏特有的抽象概念、公式符號(hào)、推理論證、思維方法等中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)當(dāng)就是一條形狀優(yōu)美的曲線(xiàn)，對(duì)于此曲線(xiàn)，下列說(shuō)法正確的有（）A.曲線(xiàn)圍成的圖形有3條對(duì)稱(chēng)軸B.曲線(xiàn)圍成的圖形的周長(zhǎng)是C.曲線(xiàn)上的任意兩點(diǎn)間的距離最大值是D.若是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，的最小值是【答案】BC【解析】當(dāng)，時(shí)，曲線(xiàn)的方程可化為；當(dāng)，時(shí)，曲線(xiàn)的方程可化為；當(dāng)，時(shí)，曲線(xiàn)的方程可化為；當(dāng)，時(shí)，曲線(xiàn)的方程可化為，所以曲線(xiàn)圖象如圖所示：由圖可知曲線(xiàn)圍成的圖形有4條對(duì)稱(chēng)軸：，，，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，曲線(xiàn)由4段圓弧組成，在中，，，由余弦定理可得，所以，故曲線(xiàn)圍成的圖形的周長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C，由圖可知曲線(xiàn)上任意兩點(diǎn)間的最大距離為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由圖可知：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，由圓的性質(zhì)得曲線(xiàn)上一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最小為，故的最小值是，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，，則的余弦值是__________.【答案】或【解析】，，故，故答案為：.13.已知半圓與直線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】半圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.直線(xiàn)的一般式為，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，有，故，當(dāng)動(dòng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，因?yàn)閯?dòng)直線(xiàn)與半圓有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故.故答案為：.14.函數(shù)的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】表示、的距離，表示、的距離，又關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，如圖，所以，所以．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知，.（1）求向量的坐標(biāo)；（2）設(shè)向量，，求；（3）若，求的值.解：（1）由，得.（2）由（1）得，而，因此，所以.（3）由（1）知，，由，得，所以16.已知頂點(diǎn)、、.（1）求邊的垂直平分線(xiàn)的方程；（2）若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且的縱截距是橫截距的2倍，求直線(xiàn)的方程.解：（1）由、可知中點(diǎn)為，且，設(shè)邊的垂直平分線(xiàn)的斜率為，所以垂直平分線(xiàn)斜率滿(mǎn)足，即，所以邊的垂直平分線(xiàn)的方程為，即.（2）當(dāng)直線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，其斜率，此時(shí)直線(xiàn)方程為，符合題意；當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，由題意設(shè)直線(xiàn)方程，由過(guò)點(diǎn)，則，解得，所以直線(xiàn)方程為，綜上所述，直線(xiàn)的方程為或.17.如圖，正四棱柱中，，點(diǎn)E在上且．（1）證明：；（2）求點(diǎn)B到平面的距離；（3）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．（1）證明：如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，，所以，所以，即.（2）解：由可得，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，又，所以點(diǎn)B到平面的距離為，（3）解：由（2）可得平面的法向量為，又，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.18.已知圓．（1）若直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，（i）求的取值范圍；（ii）證明：直線(xiàn)與直線(xiàn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率之和為定值．（2）若直線(xiàn)和直線(xiàn)將圓的周長(zhǎng)四等分，求的值．（1）（i）解：將直線(xiàn)的方程代入圓的方程，可得．因?yàn)橹本€(xiàn)與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，即的取值范圍是．（ii）證明：設(shè)，，由根與系數(shù)的關(guān)系得所以．即直線(xiàn)的斜率之和為定值．（2）解：設(shè)直線(xiàn)和圓交于點(diǎn)，直線(xiàn)與圓交于點(diǎn)．因?yàn)橹本€(xiàn)和直線(xiàn)將圓的周長(zhǎng)四等分，所以圓心位于兩直線(xiàn)之間，連接，則，所以為等腰直角三角形，所以圓心到直線(xiàn)的距離為，同理可得圓心到直線(xiàn)的距離為，故直線(xiàn)和直線(xiàn)間的距離為，所以，即．19.四面體中，分別為棱的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)的平面分別與棱，相交于點(diǎn)，（不與頂點(diǎn)重合）.（1）證明：若，則（如圖1）；（2）當(dāng)與平面相交于點(diǎn)時(shí)（如圖2），若四面體的體積為，求多面體的體積.（1）證明：因?yàn)椋移矫娼?jīng)過(guò)且與平面相交于，所