課時跟蹤檢測(三十六)直線與平面垂直的判定定理(滿分100分，A級選填小題每題5分，B級選填小題每題6分)A級——達(dá)標(biāo)評價1．正方體ABCD－A1B1C1D1中與AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C B．平面A1DBC．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB12．直線l與平面α所成的角為70°，直線l∥m，則m與α所成的角等于()A．20° B．70°C．90° D．110°3．從平面外一點(diǎn)向平面引一條垂線和三條斜線，斜足分別為A，B，C，如果這些斜線與平面成等角，有如下結(jié)論：①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的內(nèi)心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．44.如圖，α∩β＝l，點(diǎn)A，C∈α，點(diǎn)B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關(guān)系是()A．異面 B．平行C．垂直 D．不確定5．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，且AC＝eq\f(1,2)BC，則直線B1C1與平面ABC1所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°6.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，則圖中共有直角三角形的個數(shù)為________.7.如圖，AB是⊙O的直徑，PA⊥⊙O所在的平面，C是圓上一點(diǎn)，且∠ABC＝30°，PA＝AB，則直線PC與平面ABC所成角的正切值為________.8．在三棱錐V－ABC中，當(dāng)三條側(cè)棱VA，VB，VC之間滿足條件________時，有VC⊥AB.(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可)9．(10分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2)，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)．證明：PC⊥平面BEF.10．(12分)如圖，PA⊥正方形ABCD所在平面，經(jīng)過A且垂直于PC的平面分別交PB，PC，PD于E，F(xiàn)，G，求證：AE⊥PB.B級——重點(diǎn)培優(yōu)11．把正方形ABCD沿對角線AC折起，當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的大小為()A．90° B．60°C．45° D．30°12.如圖，設(shè)平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α，垂足分別為G，H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是()A．EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH13．(10分)如圖，點(diǎn)C在圓錐PO的底面圓O上，AB是直徑，AB＝8，∠BAC＝30°，圓錐的母線與底面所成的角為60°，求點(diǎn)A到平面PBC的距離.14．(16分)如圖所示，四邊形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.(1)求證：AC⊥平面BDE；(2)求AE與平面BDE所成角的大?。n時跟蹤檢測(三十六)1．選D∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1?平面A1DB1，∴AD1⊥平面A1DB1.故選D.2．選B∵l∥m，∴直線l與平面α所成的角等于m與α所成的角．又直線l與平面α所成的角為70°，∴m與α所成的角為70°.故選B.3．選A設(shè)平面ABC外一點(diǎn)P及其在該平面內(nèi)的投影為O，則PO⊥平面ABC.由已知可得△PAO，△PBO，△PCO全等，所以O(shè)A＝OB＝OC，所以O(shè)為△ABC的外心，只有③正確．4．選C∵BA⊥α，α∩β＝l，∴l(xiāng)?α.∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，BA，BC?平面ABC，∴l(xiāng)⊥平面ABC.∵AC?平面ABC，∴l(xiāng)⊥AC.故選C.5．選A∵∠BAC＝90°，AC＝eq\f(1,2)BC，∴∠CBA＝30°.∵BC1⊥AC，AB⊥AC，BC1∩AB＝B，BC1?平面ABC1，AB?平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1.∴∠CBA就是BC與平面ABC1所成的角，即BC與平面ABC1所成的角為30°.∵棱柱中B1C1∥BC，∴B1C1與平面ABC1所成的角為30°.6．解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB.同理得CD⊥PD.故共有4個直角三角形．答案：47．解析：因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即為PC與平面ABC所成的角．在△ABC中，AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)PA，所以tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝2.答案：28．解析：只要VC⊥平面VAB，即有VC⊥AB.故只要VC⊥VA，VC⊥VB即可．答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保證VC⊥AB即可)9．證明：如圖，連接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中點(diǎn)，所以EF⊥PC.又BP＝eq\r(AP2＋AB2)＝2eq\r(2)＝BC，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，BF，EF?平面BEF，所以PC⊥平面BEF.10．證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.又四邊形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因?yàn)锳B∩PA＝A，AB，PA?平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因?yàn)锳E?平面PAB，所以BC⊥AE.由PC⊥平面AEFG，得PC⊥AE.因?yàn)镻C∩BC＝C，PC，BC?平面PBC，所以AE⊥平面PBC.因?yàn)镻B?平面PBC，所以AE⊥PB.11.選C如圖，當(dāng)DO⊥平面ABC時，三棱錐D-ABC的體積最大．∴∠DBO為直線BD和平面ABC所成的角，∵在Rt△DOB中，OD＝OB，∴直線BD和平面ABC所成的角為45°.12．選B因?yàn)镋G⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，則由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG與EF為相交直線，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故選B.13．解：因?yàn)锳B是直徑，則AC⊥BC，且AB＝8，∠BAC＝30°，可得AC＝4eq\r(3)，BC＝4，又因?yàn)镻O⊥底面圓O，圓錐的母線與底面所成的角為∠PAO＝60°，可知△PAB為等邊三角形，所以圓錐的母線PA＝8，PO＝4eq\r(3)，設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h，利用等體積法VP-ABC＝VA-PBC，即eq\f(1,3)×4eq\r(3)×eq\f(1,2)×4×4eq\r(3)＝eq\f(1,3)×h×eq\f(1,2)×4×eq\r(82－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2)，解得h＝eq\f(8\r(15),5)，即點(diǎn)A到平面PBC的距離為eq\f(8\r(15),5).14．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥DE，∵BD?平面BED，DE?平面BED，BD∩DE＝D，∴AC⊥平面BDE.(2)設(shè)AC∩BD＝O，連接EO.如圖所示，∵AC⊥平面BDE，∴EO是直線AE在平面BDE上的射