會計實操文庫1/1成本實操-直角坐標(biāo)質(zhì)心坐標(biāo)計算公式直角坐標(biāo)系下的質(zhì)心（CenterofMass）坐標(biāo)計算，核心是根據(jù)物體的質(zhì)量分布（離散分布或連續(xù)分布），通過加權(quán)平均的方式求解。質(zhì)心坐標(biāo)

(xˉ,yˉ?,zˉ)

分別對應(yīng)三個坐標(biāo)軸方向的平均位置，權(quán)重為各部分的質(zhì)量。一、核心原理質(zhì)心的本質(zhì)是物體質(zhì)量的“平均位置”，其坐標(biāo)計算公式遵循“總力矩等于各部分力矩之和”的原則（力矩=質(zhì)量×到坐標(biāo)軸的距離）。對于任意維度，質(zhì)心坐標(biāo)的通用形式為：

某軸的質(zhì)心坐標(biāo)=（各部分質(zhì)量×該部分在該軸的坐標(biāo)）之和/總質(zhì)量二、具體計算公式根據(jù)質(zhì)量分布的兩種基本形式（離散點、連續(xù)體），公式分為兩類。以下以最常見的二維（x-y平面）

和三維（x-y-z空間）

為例說明。1.離散質(zhì)量分布（多個質(zhì)點組成的系統(tǒng)）適用于：由若干個質(zhì)量明確、位置固定的“質(zhì)點”組成的物體（如多個小球用輕桿連接、機器的零部件系統(tǒng)等）。設(shè)系統(tǒng)由

n

個質(zhì)點組成，第

i

個質(zhì)點的質(zhì)量為

mi?，坐標(biāo)為

(xi?,yi?,zi?)，總質(zhì)量

M=∑i=1n?mi?。維度質(zhì)心坐標(biāo)計算公式符號說明二維（x-y平面）xˉ=M∑i=1n?mi?xi??

yˉ?=M∑i=1n?mi?yi??xˉ：x軸質(zhì)心坐標(biāo)

yˉ?：y軸質(zhì)心坐標(biāo)

M=m1?+m2?+...+mn?三維（x-y-z空間）xˉ=M∑i=1n?mi?xi??

yˉ?=M∑i=1n?mi?yi??

zˉ=M∑i=1n?mi?zi??zˉ：z軸質(zhì)心坐標(biāo)示例：

三個質(zhì)點分布在x-y平面：m1?=2kg（坐標(biāo)(1,2)）、m2?=3kg（坐標(biāo)(3,4)）、m3?=5kg（坐標(biāo)(5,6)）。

總質(zhì)量

M=2+3+5=10kgxˉ=102×1+3×3+5×5?=102+9+25?=3.6yˉ?=102×2+3×4+5×6?=104+12+30?=4.6

質(zhì)心坐標(biāo)為

(3.6,4.6)。2.連續(xù)質(zhì)量分布（均質(zhì)/非均質(zhì)物體）適用于：質(zhì)量連續(xù)分布的固體（如細桿、薄板、實心幾何體等）。需通過積分計算“無限多個微小質(zhì)量元的加權(quán)平均”。核心思路：將物體分割為無數(shù)個微小質(zhì)量元

dm，每個質(zhì)量元的坐標(biāo)為

(x,y,z)，總質(zhì)量

M=∫dm。（1）通用公式（非均質(zhì)物體，密度ρ為位置函數(shù)）密度

ρ(x,y,z)

是“單位體積的質(zhì)量”（三維）、“單位面積的質(zhì)量”（二維，稱為面密度，用σ表示）或“單位長度的質(zhì)量”（一維，稱為線密度，用λ表示），其值隨位置變化。維度密度符號質(zhì)量元

dm質(zhì)心坐標(biāo)計算公式一維（細桿，沿x軸）線密度

λ(x)dm=λ(x)dxxˉ=M∫x?λ(x)dx?

M=∫λ(x)dx二維（薄板，x-y平面）面密度

σ(x,y)dm=σ(x,y)dxdyxˉ=M∫∫x?σ(x,y)dxdy?

yˉ?=M∫∫y?σ(x,y)dxdy?

M=∫∫σ(x,y)dxdy三維（幾何體）體密度

ρ(x,y,z)dm=ρ(x,y,z)dxdydzxˉ=M?x?ρ(x,y,z)dxdydz?

yˉ?=M?y?ρ(x,y,z)dxdydz?

zˉ=M?z?ρ(x,y,z)dxdydz?

M=?ρ(x,y,z)dxdydz（2）簡化：均質(zhì)物體（密度ρ為常數(shù)）若物體質(zhì)量均勻分布（如均勻細桿、均勻薄板、均勻球體），密度ρ可從積分中提出并與總質(zhì)量

M=ρV（V為體積/面積/長度）約分，公式簡化為“幾何中心（形心）坐標(biāo)”（質(zhì)心與形心重合）。以常見的二維均質(zhì)薄板（x-y平面，面積S）為例：xˉ=S1?∫∫xdxdy，yˉ?=S1?∫∫ydxdy典型均質(zhì)物體的質(zhì)心（形心）坐標(biāo)示例：物體類型簡化條件質(zhì)心坐標(biāo)

(xˉ,yˉ?)均勻細桿（長L，沿x軸，兩端x=0和x=L）一維xˉ=2L?，yˉ?=0均勻矩形薄板（長a，寬b，頂點(0,0)、(a,0)、(a,b)、(0,b)）二維xˉ=2a?，yˉ?=2b?均勻直角三角形薄板（直角邊a、b，頂點(0,0)、(a,0)、(0,b)）二維xˉ=3a?，yˉ?=3b?三、關(guān)鍵補充坐標(biāo)系選擇：質(zhì)心坐標(biāo)與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)，但質(zhì)心的物理位置是物體固有的。合理選擇坐標(biāo)系（如利用對稱性，將原點設(shè)在對稱軸上）可大幅簡化計算。對稱性應(yīng)用：若物體關(guān)于某軸對稱，則質(zhì)心一定在該軸上（對應(yīng)軸的坐標(biāo)為0或?qū)ΨQ軸位置）。例如：均勻球體的質(zhì)心在球心，均勻圓環(huán)的