江蘇省2026屆高三G4聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

一、單選

Axx23

1.集合，下列選項不正確的是（）

e

A.3AB.AC.ARQD.3A

【答案】D

【解析】

【分析】求出A3,3可判斷A；空集是任何集合的子集可判斷B；結(jié)合常用集合的記法及補集的運

算可判斷C；根據(jù)集合間的關(guān)系可判斷D.

【詳解】解方程x23得x3，所以A3,3，根據(jù)元素與集合的關(guān)系故A正確；

空集是任何集合的子集，所以A，故B正確；

e表示無理數(shù)組成的集合，均為無理數(shù)，所以Ae，故正確；

RQ3RQC

3表示的是集合，所以3A，故D錯誤.

故選：D.

2i

2.在復(fù)平面內(nèi)位于第幾象限（）

i4

A.一B.二C.三D.四

【答案】A

【解析】

【分析】先利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)對已知復(fù)數(shù)進行化簡，進而得出該復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點坐標，從而確定所在

象限．

【詳解】i21，

2i2i2i

4222i，

ii21

復(fù)數(shù)2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為2,1，實部20，虛部10，

2i

2i位于復(fù)平面內(nèi)的第一象限，故A正確．

i4

故選：A．

3.a1,2，b3，aba，則ab（）

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A.6B.6C.26D.24

【答案】C

【解析】

222

【分析】由aba，得到ab5，通過aba2abb即可求解.

【詳解】因為aba，

2

所以abaaab0，

2

又a1,2，則a5，

所以ab5，

222

所以aba2abb510924，

所以ab26，

故選：C

4.l:yx3，A0,4，Bx,2，A與B到l的距離相等，則x（）

A.0B.2C.0或2D.2或2

【答案】C

【解析】

【分析】利用點到直線公式結(jié)合題目信息列式可得答案.

0432

【詳解】點A到直線l的距離為，

12122

x232

點B到直線l的距離為x1，

12122

22

由題意得x1，解得x0或x2.

22

故選：C.

5.正三棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為3，側(cè)棱長為3，則體積為（）

1933191921910

A.B.C.D.

24466

【答案】C

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【解析】

【分析】先利用正三角形的中心（重心）性質(zhì)，通過邊長計算中心到頂點的距離（即底面外接圓半徑），再

通過勾股定理22計算棱臺的高，最后代入正棱臺體積公式完成計算即可

hl(r2r1).

2323

【詳解】由題知當上底面邊長a2時，則正三角形中心（重心）到頂點的距離：r2，

1323

23

當下底面邊長b3時，正三角形中心到頂點的距離：r33，

232

設(shè)棱臺的高為h，側(cè)棱長l3，

22

233

由勾股定理得：222

hl(r2r1)(3)33

33

1826

3，

333

則3232，3293，

S上a23S下3

4444

將26，，93代入體積公式：

hS上3S下

34

11269393

VhSSSS33

上下上下

33344

2613333

942

26193192

946

故選：C.

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t

6.一間教室初始二氧化碳濃度為0.4%，第t分鐘的濃度為y%，滿足y0.05e10．則降至0.1%需要

至少多少整數(shù)分鐘（參考：ln71.94）（）

A.21B.20C.19D.18

【答案】B

【解析】

t

【分析】根據(jù)初始條件，先求出，得函數(shù)模型解析式，再代入，利用

0.35y0.050.35e10y0.1

對數(shù)的運算性質(zhì)計算即得.

t

【詳解】依題意，時，，則得0，解得，則，

t0y0.40.05e0.40.35y0.050.35e10

t

t

101

由y0.1，可得10，即e，

0.35e0.057

t1

兩邊取自然對數(shù)，lnln7，故t10ln719.4.

107

故降至0.1%需要至少20分鐘.

故選：B.

ππ

7.，下列式子一定成立的是（）

22

3333

A.sinsin0B.coscos0

22442244

C.sinsin0D.coscos0

【答案】D

【解析】

π

【分析】根據(jù)正余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷AB；取0，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性可判斷C；利用余

2

弦函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，分和討論即可判斷D.

ππππ

【詳解】對A，因為，且函數(shù)ysinx在區(qū)間，上單調(diào)遞增，

2222

所以0，sinsin，所以sin3sin3，即sin3sin30，

所以sin3sin30，錯誤；

π

對B，因為函數(shù)ycosx在區(qū)間，0上單調(diào)遞增，

2

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π

所以，當0時，0，coscos，

2

所以cos3cos3，即cos3cos30，

此時cos3cos30，錯誤；

π

對C，當0時，220，0sinsin，

2

所以0sin4sin4sin4sin40，

此時22sin4sin40，錯誤；

π

對D，因為ycosx是偶函數(shù)，且在0,上單調(diào)遞減，

2

ππ

所以，當且時，22220，coscos0，

22

所以coscos0，即cos4cos40，cos4cos40，

此時22cos4cos40；

ππ

當且時，22220，0coscos，

22

所以0coscos，即cos4cos4，cos4cos40，

2244

此時coscos0.

綜上，22cos4cos40，正確.

故選：D

22

8.fxx8x15xbxc關(guān)于x2對稱，則其最小值為（）

A.15B.16C.17D.18

【答案】B

【解析】

【分析】先對x28x15進行因式分解，利用關(guān)于x2對稱，得出b和c的值，最后用換元法將fx轉(zhuǎn)

換為二次函數(shù)求最值即可.

【詳解】fxx28x15x2bxcx3x5x2bxc，因關(guān)于x2對稱，

2

故x2bxc0的根應(yīng)為1和1，所以xbxcx1x1，得b0，c1，即

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22

fxx8x15x1.

令tx2，則xt2，代入得：fxt1t3t1t3t21t29

2

t410t29，令st2s0，kss10s9，函數(shù)開口向上，

對稱軸為s5，k516，因此，函數(shù)fx的最小值為16.

故選：B

二、多選

9.下列說法正確的是（）

xxm

A.xy0，m0，則

yym

B.ab0，則a3lnab3lnb

xy1

C.x,y0，則的最小值為

x23xyy25

11

D.a,b0，ab2，則的最小值為1

a1b1

【答案】BD

【解析】

【分析】作差比較可判斷A；根據(jù)不等式的性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；直接使用基本不等式可判斷

C；利用常數(shù)代換法，結(jié)合基本不等式可判斷D.

【詳解】對A，因為xy0，m0，所以yym0,yx0，

xmxyxmxymmyxxxm

所以0，所以，錯誤；

ymyyymyymyym

對B，因為ab0，且ylnx為增函數(shù)，

所以a3b3，lnalnb，所以a3lnab3lnb，正確；

對C，因為x,y0，所以x2y22xy，

xyxy1

所以，當且僅當xy時等號成立，

x23xyy22xy3xy5

xy1xy1

所以的最大值為，當xy時，，

x23xyy25x23xyy25

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1xy

所以不是的最小值，錯誤；

5x23xyy2

對D，因為a,b0，ab2，所以a1b14，

11111

所以a1b1

a1b14a1b1

1b1a11b1a1

2221，

4a1b14a1b1

b1a1

當且僅當a1b1，即ab1時等號成立，正確.

ab2

故選：BD

22

10.ABC中，A，B，C對邊分別為a，b，c，2sinAsinB2absinB，ABC外接圓半徑

cab

為1，ABC的面積等于，則（）

2

3

A.a2bB.sinA1

2

1

BBABC

C.cossin24D.sinsin1

2222

【答案】ACD

【解析】

22

abb

【分析】對于A，根據(jù)正弦定理邊角互化得22ab，整理即可判斷；對于B，根

222

21π

據(jù)面積關(guān)系得sinA21判斷；對于C，根據(jù)a2b得sinB1，且0B，再根據(jù)

222

2

BBAA1

cossin1sinB求解判斷；對于D，先求得sincos24，再結(jié)合誘導(dǎo)公式與和差角公

2222

式求解判斷.

22

【詳解】因為2sinAsinB2absinB，ABC外接圓半徑為1，

22

abb

所以22ab，整理得：a2b，故A選項正確；

222

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cab

因為ABC的面積等于

2

1cabbc21

所以SbcsinA，即sinA21，故B選項錯誤；

ABC222

2221π

所以由a2b得sinBsinA211，且0B，

22222

2

BB2Bπ

所以cossin1sinB，0

22224

BπBB

因為0,cossin，

2422

1

BB

所以cossin24，故C選項正確；

22

AπAA

因為sinA21，0,，所以sincos0

2222

2

AAAA1

所以sincos1sinA2，即sincos24

2222

CπABAB

因為sinsincos，，

222

所以

ABCABABABAB

sinsinsincoscossincoscossinsin

2222222222

11

ABBABBAABB

sincossincoscossinsincoscossin440，

22222222222221

故D選項正確.

故選：ACD

11.如圖，ABCDA1B1C1D1是正方體，邊長為1，P，M，N為A1D1，AB，CC1的中點，Q是平面PMN

上一點，則（）

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A.平面PMN截正方體所得截面為五邊形

3

B.平面PMN與平面ABCD夾角的余弦值為

3

97

C.若BQ1，則Q點的軌跡長度為π

5

22

D.A1C1，B1D1交于O，繞O將上底面旋轉(zhuǎn)45°得到正方形EFGH，連接得一個十面體，它的體積是

3

【答案】BD

【解析】

【分析】作出正方體被平面MNP截得的截面，得出截面為正六邊形即可判斷A；建系后寫出相關(guān)點的坐標，

求出兩平面的法向量，利用空間向量夾角公式計算即可判斷B；先運用向量法求得點B到平面PMN的距離，

由題意，點Q在以點B(1,1,0)為球心，半徑為1的球面上，而點Q的軌跡即為球B與平面PMN的交線，利

用球的截面性質(zhì)即可求得軌跡長判斷C；作出十面體，將該十面體放在一個四棱臺中，根據(jù)棱臺體積及三

棱錐體積計算公式即可判斷D．

【詳解】對于，因，，為，，的中點，而點同在平面和平面上，

APMNA1D1ABCC1PADD1A1A1B1C1D1

點M同在平面ABCD和平面ABB1A1上，點N同在平面DCC1D1和平面BCC1B1上，

故平面PMN截正方體所得截面為六邊形，可作圖如下：

其中點分別是邊的中點，分別連接，易證，，

R,S,TAA1,BC,C1D1AC,A1C1AC//A1C1PT//A1C1

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MS//AC

故得PT//MS，同理可得PR//SN,RM//TN，故平面PMN截正方體所得截面為六邊形PRMSNT，故

A錯誤；

對于B，如圖建立空間直角坐標系Dxyz.

1111111

則P(,0,1),M(1,,0),N(0,1,)，PM(,,1),PN(,1,)，

2222222

設(shè)平面PMN的法向量為m(x,y,z)，

11

PMmxyz0

22

則，故可取m(1,1,1).

11

PNmxyz0

22

又平面ABCD的一個法向量顯然為n(0,0,1)，

設(shè)平面PMN與平面ABCD夾角為，

|mn|13

則cos|cosm,n|，故B正確；

|m||n|33

對于C，Q是平面PMN上一點，因B(1,1,0)，由BQ1可得點Q在以點B(1,1,0)為球心，半徑為1的球

面上，

1

則點Q的軌跡即為球B與平面PMN的交線.因BM(0,,0)，由B項可得平面PMN的一個法向量為

2

m(1,1,1)，

1

則點到平面的距離為|BMm|3，則點的軌跡圓的半徑為

BPMNd2Q

|m|36

333

r12()2，

66

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3333

故軌跡長為2πr2ππ，故C錯誤；

63

對于D，如圖所示，ABCDEFGH即為側(cè)面均為三角形的十面體，

在平面內(nèi)，分別過點作的平行線，過點作的平行線，

A1B1C1D1E,GFHF,HEG

設(shè)平行線依次相交于點A2,B2,C2,D2，連接AA2,BB2,CC2,DD2，則易得A2B2C2D2為正方形，

而是上底面和下底面都是正方形的四棱臺，底面邊長為和，高為，

ABCDA2B2C2D2211

132

故V12112，

ABCDA2B2C2D2

33

2

因為1121，

VVVV1

AA2EHBB2EFCC2FGDD2GH

32212

所以32122，故正確.

V十面體V4V4D

ABCDA2B2C2D2AA2EH3123

故選：BD.

三、填空

22

12.寫出一條與x2y21和x4y316都相切的直線：______．

【答案】y1（或24x7y250，4x3y50）

【解析】

【分析】由題知兩圓位置關(guān)系為外切，有三條公切線，進而作出圖象，結(jié)合圖象可設(shè)公切線方程為ykxb，

b4k3b

再根據(jù)相切關(guān)系建立方程1，4，兩式作比得4k3b4b，再分類求解即可.

1k21k2

【詳解】由題知x2y21的圓心為O0,0，半徑為r1，

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22

x4y316的圓心為A4,3，半徑為R4，

所以AO5rR，故兩圓位置關(guān)系為外切，有三條公切線.

如圖，由圖可知，公切線方程斜率存在，故設(shè)方程為ykxb，

b

則由直線與x2y21相切得：1，即b21k2，

1k2

224k3b2

由直線與x4y316相切得：4，即4k3b161k2，

1k2

b1

所以，即4b4k3b，

4k3b4

所以4k3b4b，

25

b

b17

當4k3b4b時，4k3b3，代入b21k2整理得7b218b250，解得或，

k024

k

7

2425

此時公切線方程為yx（24x7y250）或y1，

77

5

b

3

當4k3b4b時，4k5b3，代入b21k2整理得9b230b250，解得，此時

4

k

3

45

公切線方程為yx（4x3y50），

33

綜上，所求的公切線方程為24x7y250，4x3y50或y1

故答案為：y1（或24x7y250，4x3y50）

1

13.正項等比數(shù)列an滿足a28，a3a4160，記bn，bn的前20項和為______．

log2anlog2an1

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20

【答案】

41

【解析】

2n1111

【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計算得公比為q4，進而得a2，bn，再結(jié)

n22n12n1

合裂項求和法求解即可.

【詳解】由題，設(shè)正項等比數(shù)列an的公比為q,q0，

因為正項等比數(shù)列an滿足a28，a3a4160，

222

所以a3a4a2qa2q8qq160，即qq200，解得q4或q5（舍），

所以n2n22n1，2n1

ana2q842an12

11111

所以bn，

log2anlog2an12n12n122n12n1

111111111

所以bn的前20項和為b1b2b20

21323523941

11111111120

1

21335394124141

20

故答案為：

41

4x22x

,xa

14.已知fxe2x，存在實數(shù)b，使得fxbx有四個不同的解，則a的取值范圍是______．

3

x4x,xa

【答案】6,02,

【解析】

fx

【分析】首先判斷x0是fxbx的一個解，當x0時，將問題轉(zhuǎn)化為b有三個不同的解，

x

構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，分類討論求解.

4x22x

,xa

【詳解】因為fxe2x，所以f00，

3

x4x,xa

所以x0是fxbx的一個解，則存在實數(shù)b，使得fxbx有四個不同的解，

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fx

即當x0時，b有三個不同的解.

x

4x24x2

fx,xa,xa

e2x，令gxe2x，

x22

x4,xax4,xa

2

當xa時，gxx4，且g62.

4x28x

當xa時，gx，gx，

e2xe2x

所以當x0時，gx0，gx單調(diào)遞減；

當x0時，gx0，gx單調(diào)遞增，且g02,g0.50，當x時，gx0，

4x2

在同一平面直角坐標系中，作出函數(shù)y,yx24的圖象，如圖：

e2x

由圖知：

當a6時，gx的圖象與直線yb至多有兩個交點，不符合題意；

當6a0.5時，gx的圖象與直線yb0b2有三個交點，符合題意；

4a2

當0.5a0時，gx的圖象與直線ybb2有三個交點，符合題意；

e2a

當0a2時，gx的圖象與直線yb至多有兩個交點，不符合題意；

當a2時，存在實數(shù)b，使得gx的圖象與直線yb有三個交點，符合題意.

綜上，a6,02,.

故答案為：6,02,.

四、解答題

15.ABC中，A,B,C對邊分別是a,b,c，asinAbsinB3asinCcsinC．

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（1）求角B．

（2）a4，asinAb，求ABC的面積．

π

【答案】（1）；

6

（2）232或232.

【解析】

【分析】（1）由正弦定理得到a2b23acc2，再由余弦定理求得cosB，即可求得B；

2π3π

（2）由正弦定理得sinA，故A或A，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出C，再由三角形面積公式即

244

可求解.

【小問1詳解】

因為asinAbsinB3asinCcsinC，

所以由正弦定理得a2b23acc2，即a2c2b23ac.

a2c2b23

又cosB，B0,π,

2ac2

π

所以B.

6

【小問2詳解】

因為asinAb，

1

所以由正弦定理得sin2AsinB.

2

2

因為A0,π，所以sinA.

2

2

所以basinA422.

2

因為ba，所以BA，

2π3π

因為sinA，所以A或A.

244

πππ

當A時，CπABπ,

446

11ππ

所以

SABCabsinC422sinπ

2246

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ππ2321

42sin42232.

462222

3π3ππππ

當A時，CπABπ，

44646

11ππ

所以

SABCabsinC422sin

2246

ππ2321

42sin42232.

462222

綜上所述，ABC的面積為232或232.

x2y2

16.橢圓E:1ab0的短軸長2，右焦點F，上頂點P，PF與E的另一個交點為Q，滿足

a2b2

S△POF3S△QOF．

（1）求E的方程．

（2）ykxmk0交E于A,B，且E上存在C使OACB為平行四邊形．

（i）求m范圍；（ii）AB3OC，求k的值．

x2

【答案】（1）y21

2

112

（2）（i）,,；（ii）k

222

【解析】

1

【分析】（1）由題知b1，P0,1，F(xiàn)c,0，進而根據(jù)面積比得y，再結(jié)合直線PF的方程為

Q3

14c1

yx1得Q,，最后代入橢圓方程求解得a22,c1即可得答案；

c33

2

x2

y14km

（2）（）設(shè)，聯(lián)立方程結(jié)合判別式得22，，

iAx1,y1,Bx2,y222k1mx1x22

12k

ykxm

2m222m

xx，yykxx2m，

1212k2121212k2

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22

4km2m4m12k1,②

再根據(jù)即可得，代入橢圓方程后整理得，最后

OCOAOBC2,222

12k12k2k1m,①

解不等式即可；

4km2

（）結(jié)合（）得22，，2m2，再根據(jù)弦長公式與兩點間的距離

iii4m12k1x1x22x1x2

12k12k2

61k22k214k21

公式得，，最后根據(jù)AB3OC，k0，解方程即可得

ABOC2

12k22k1

2

k.

2

【小問1詳解】

解：由題知：短軸長為2b2，即b1，所以P0,1，F(xiàn)c,0，

11

因為S△POF3S△QOF，SFP,SFPy，

POF2QOF2Q

1

所以13y，故y，

QQ3

114c1

因為直線的方程為，將代入得，

PFyx1yQQ,

c333

4c1x2y216c21

故將Q,代入1得1，

33a219a29

因為c2a21，所以a22,c1，

x2

所以E的方程為y21；

2

【小問2詳解】

解：設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，

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2

x2

y1222

聯(lián)立方程2得12kx4kmx2m20，

ykxm

222

所以Δ4km412k2m20，整理得2k21m2①，

4km2m222m

所以x1x2，xx，yykxx2m，

12k21212k2121212k2

因為E上存在C使OACB為平行四邊形，

4km2m4km2m

所以O(shè)COAOB,，即C,，

12k212k212k212k2

222

4km2m216km4m

將