浙江省浙東北ZDB聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于直線的斜率為，即為傾斜角的正切值，故該直線的傾斜角為，故選：B．2.若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】由題可知圓心為，因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A．3.著名天文學(xué)家開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)：地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道是一個(gè)橢圓，太陽(yáng)為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．我們將地球在該橢圓軌道上距離太陽(yáng)最近和最遠(yuǎn)的位置分別稱為近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)．已知近日點(diǎn)到太陽(yáng)的距離約為，遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽(yáng)的距離約為，則該橢圓的焦距約為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸為2a，焦距為2c，易知，解得，所以橢圓的焦距約為，故選：B．4.若空間向量，，則下列向量可以與，構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】A選項(xiàng)：若空間向量，，則，故、、共面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：若空間向量，，則，故、、共面，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：若空間向量，，，設(shè)，即，方程無(wú)解，即不存在實(shí)數(shù)對(duì)使，即、、不共面，可以作為基底，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：為零向量，與，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C.5.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以有，，，所以，根?jù)雙曲線的定義，，設(shè)，則，又因?yàn)?，所以，即，，解得或（舍去），所以．故選：A.6.已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓化為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線和直線垂直時(shí)，圓心到過(guò)點(diǎn)的直線的距離最大，所求的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)圓心到直線的距離，此時(shí)弦長(zhǎng)為，故選：B．7.已知橢圓，為上的一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最大值為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】橢圓，即，又為上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則點(diǎn)到直線距離，又，所以當(dāng)時(shí)有最大值，即點(diǎn)到直線距離的最大值為．故選：D．8.如圖，正方形與正方形所在平面互相垂直，，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】建立上圖所示坐標(biāo)系，則，，，，即，，則，，可得，，則，即，所以當(dāng)，且時(shí)，取得最小值為，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分．9.已知直線和直線，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若表示與軸平行或重合的直線，則B.若表示與軸平行或重合的直線，則C.若，則D.若，則【答案】AD【解析】A，B選項(xiàng)：斜率為時(shí)，與軸平行或重合，則，故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：若，且或時(shí)，若且或時(shí)，與重合，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：若，則，D選項(xiàng)正確；故選：AD.10.已知定圓和定點(diǎn)，點(diǎn)為圓上動(dòng)點(diǎn)，的中垂線交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡可能為（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】ABC【解析】①若與重合，如圖1，則點(diǎn)為中點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，長(zhǎng)度為半徑的圓；②若在圓內(nèi)時(shí)，由中垂線可知，則，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定點(diǎn)距離之和為定值，滿足橢圓定義，則點(diǎn)的軌跡為橢圓，③若在圓上，則的中垂線過(guò)點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合；④在圓外，由中垂線可知，則，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為定值，滿足雙曲線的定義，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線；故選：ABC．11.底面為直角梯形的直四棱柱中，，，動(dòng)點(diǎn)滿足．則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則點(diǎn)在平面上B.若，則點(diǎn)在平面上C.若，則點(diǎn)到直線的距離為D.若時(shí)，直線與面所成角的正弦值取值范圍是【答案】BCD【解析】對(duì)于A：時(shí)，，由共面向量定理知，共面，所以點(diǎn)不在面上，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，所以，共面，所以，點(diǎn)在面上，故B正確；對(duì)于C：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建系，則，，，，，所以，則，故，故C正確；對(duì)于D：根據(jù)C選項(xiàng)可知，又設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線與平面的夾角為，則因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)有最大值，當(dāng)時(shí)有最小值，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.雙曲線一條漸近線方程為，則其離心率為_(kāi)__________．【答案】【解析】雙曲線的一條漸近線方程為，則，離心率，故答案為：.13.設(shè)拋物線被直線截得的弦的長(zhǎng)為，則___________．【答案】或【分析】聯(lián)立直線與拋物線，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)可得解.【解析】設(shè)，，由，得，則，由弦長(zhǎng)公式得，即，解得或（舍），故答案為：.14.已知為任意實(shí)數(shù)，是圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，到直線距離的取值范圍是___________．【答案】【解析】由已知圓，則圓心，，，令，解得，則直線過(guò)定點(diǎn)，且直線不為，即圓心到直線的距離的最大值為，所以圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值，令，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以點(diǎn)到直線距離的取值范圍為，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，在平行六面體中，所有棱長(zhǎng)均為1，底面為正方形，，記．（1）求證：；（2）求和夾角的余弦值．（1）證明：因?yàn)椋?，所以，所?（2）解：因?yàn)?，，所以?又，所以.16.已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作圓切線，求切線方程．解：（1）由題意設(shè)圓心，因?yàn)椋?，解得，即，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，則切線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，符合條件；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)的切線方程為，即，則圓心到切線的距離，解得，此時(shí)切線的方程為：，即，綜上所述：過(guò)的切線方程為或．17.已知正方體的棱長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，G在線段上，且（1）求證∶面;（2）求平面EBF與平面EBG夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)D到平面EBF的距離．（1）證明：（1）法一、在正方形中，由條件易知，所以，則，故，即，在正方體中，易知平面，且，所以平面，又平面，∴，∵，平面，∴平面；法二、如圖以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)是平面的法向量，則，令，則，所以是平面的一個(gè)法向量，易知，則也是平面的一個(gè)法向量，∴平面；（2）解：同上法二建立的空間直角坐標(biāo)系，所以，由（1）知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，所以平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面EBF與平面EBG的夾角的余弦值為；（3）解：因?yàn)?，所以，又是平面的一個(gè)法向量，則D到平面的距離為.所以點(diǎn)D到平面EBF的距離為.18.已知橢圓過(guò)，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且為線段中點(diǎn)，設(shè)直線和直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為和．（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線和直線的斜率分別為和都存在時(shí)，證明：為定值；（3）若關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，證明：的面積為定值．（1）解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：過(guò)；（2）證明：設(shè)，則，，則，兩式作差可得，所以；（3）解：①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，則直線的方程為，根據(jù)對(duì)稱性，取直線的方程為，則，解得，即，此時(shí)；②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，同理可得；③當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，因?yàn)樗?，在橢圓上，所以，即，設(shè)到直線的距離為，則，，所以.19.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線上有一動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為．（i）若且直線經(jīng)過(guò)的內(nèi)心，求直線的方程；（ii）是否存在點(diǎn)，使得對(duì)任意直線都滿足經(jīng)過(guò)的內(nèi)心且同時(shí)滿足、同時(shí)與相切？若存在，則加以證明．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）解：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，故拋物線的方程為.（2）（i）解：易知點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)、，若直線的斜率不存在，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，所以直線的斜率存在，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，