專題06導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）考點01導(dǎo)數(shù)的幾何意義1．（2023·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程．(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．2．（2022·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．3．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．4．（2021·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標(biāo)原點的切線與曲線的公共點的坐標(biāo)．5．（2025·北京·高考真題）已知函數(shù)的定義域是，導(dǎo)函數(shù)，設(shè)是曲線在點處的切線．(1)求的最大值；(2)當(dāng)時，證明：除切點A外，曲線在直線的上方；(3)設(shè)過點A的直線與直線垂直，，與x軸交點的橫坐標(biāo)分別是，，若，求的取值范圍．考點02利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值6．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知．(1)若，求不等式的解集；(2)若函數(shù)滿足在上存在極大值，求m的取值范圍；7．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．8．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點個數(shù)．9．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）（1）證明：當(dāng)時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．10．（2023·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.考點03利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題11．（2025·全國一卷·高考真題）（1）設(shè)函數(shù)，求在的最大值；（2）給定，設(shè)a為實數(shù)，證明：存在，使得；（3）設(shè)，若存在使得對恒成立，求b的最小值．12．（2024·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，證明：當(dāng)時，恒成立．13．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對稱圖形；(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．14．（2024·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的極值；(2)當(dāng)時，，求的取值范圍．15．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．16．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．17．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．考點04利用導(dǎo)數(shù)證明不等式18．（2025·天津·高考真題）已知函數(shù)(1)時，求在點處的切線方程；(2)有3個零點，且.（i）求a的取值范圍；（ii）證明．19．（2024·天津·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若對任意成立，求實數(shù)的值；(3)若，求證：．20．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線斜率；(2)求證：當(dāng)時，；(3)證明：．21．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時，．22．（2022·天津·高考真題）已知，函數(shù)(1)求曲線在處的切線方程；(2)若曲線和有公共點，（i）當(dāng)時，求的取值范圍；（ii）求證：．23．（2022·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：（?。┤簦瑒t；（ⅱ）若，則．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）24．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．25．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．26．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．27．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.考點05利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點28．（2021·全國甲卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.29．（2025·全國二卷·高考真題）已知函數(shù)，其中．(1)證明：在區(qū)間存在唯一的極值點和唯一的零點；(2)設(shè)分別為在區(qū)間的極值點和零點.（i）設(shè)函數(shù)·證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；（ii）比較與的大小，并證明你的結(jié)論．30．（2022·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．31．（2022·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．32．（2022·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．33．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．34．（2021·浙江·高考真題）設(shè)a，b為實數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足.(注：是自然對數(shù)的底數(shù))35．（2021·全國甲卷·高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．考點06導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合36．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．37．（2023·上?！じ呖颊骖}）令，取點過其曲線作切線交y軸于，取點過其作切線交y軸于，若則停止，以此類推，得到數(shù)列．(1)若正整數(shù)，證明；(2)若正整數(shù)，試比較與大??；(3)若正整數(shù)，是否存在k使得依次成等差數(shù)列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，試說明理由．考點07導(dǎo)數(shù)與概率的綜合38．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．考點08導(dǎo)數(shù)新定義39．（2024·上?！じ呖颊骖}）對于一個函數(shù)和一個點，令，