2026屆上海市比樂中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．曲線與曲線的A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B.短軸長(zhǎng)相等C.離心率相等 D.焦距相等2．在三棱錐中，平面；記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A. B.C. D.3．已知，數(shù)列，，，與，，，，都是等差數(shù)列，則的值是（）A. B.C. D.4．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是和，點(diǎn)關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在圓上，則雙曲線的離心率為（）A. B.2C. D.35．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.6．直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，則有（）A.， B.，C.， D.，7．曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F到兩條漸近線的垂線段分別為FA，F(xiàn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形OAFB是菱形，則雙曲線C的離心率等于（）A. B.C.2 D.8．已知，是球的球面上兩點(diǎn)，，為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為（）A. B.C. D.9．已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若，則|QF|＝()A. B.C.3 D.210．若直線a，b是異面直線，點(diǎn)O是空間中不在直線a，b上的任意一點(diǎn)，則（）A.不存在過點(diǎn)O且與直線a，b都相交的直線B.過點(diǎn)O一定可以作一條直線與直線a，b都相交C.過點(diǎn)O可以作無數(shù)多條直線與直線a，b都相交D.過點(diǎn)O至多可以作一條直線與直線a，b都相交11．己知F為拋物線的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A、B兩點(diǎn)，直線與C交于D、E兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.24 B.22C.20 D.1612．等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，且則的實(shí)軸長(zhǎng)為A.1 B.2C.4 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)，，，滿足，，，則的最大值是______14．如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，則下列說法中正確的序號(hào)是___________.①直線與直線垂直；②直線與直線相交；③直線與直線平行；④直線與直線異面；15．某學(xué)校要從6名男生和4名女生中選出3人擔(dān)任進(jìn)博會(huì)志愿者，則所選3人中男女生都有的概率為___________.（用數(shù)字作答）16．已知點(diǎn)，則線段的垂直平分線的一般式方程為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，用符號(hào)表示不超過x的最大數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的值.18．（12分）已知橢圓：的離心率為，，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）為圓上任意一點(diǎn)，過作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，判斷是否為定值?若是，求出定值：若不是，說明理由，19．（12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)W到直線的距離為d，且，.（1）記動(dòng)點(diǎn)W的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，直線與曲線C交于，兩點(diǎn)，直線l與的交點(diǎn)為P（P不在曲線C上），且，設(shè)直線l，的斜率分別為k，.求證：為定值.20．（12分）已知圓，直線.（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與圓相切；（2）當(dāng)直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且時(shí)，求直線的方程.21．（12分）某班名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是、、、.（1）估計(jì)該班本次測(cè)試的平均分；（2）在、中按分層抽樣的方法抽取個(gè)數(shù)據(jù)，再?gòu)倪@個(gè)數(shù)據(jù)中任抽取個(gè)，求抽出個(gè)中至少有個(gè)成績(jī)?cè)谥械母怕?22．（10分）設(shè)AB是過拋物線焦點(diǎn)F的弦，若，，求證：（1）；（2）（為弦AB的傾斜角）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分別求出兩橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦距，即可判斷【詳解】解：曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)10，短軸長(zhǎng)為6，離心率為，焦距為8曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為，焦距為8對(duì)照選項(xiàng)，則正確故選：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題2、A【解析】先得到三棱錐的每一個(gè)面都是直角三角形，然后可得與平面所成的角，二面角的平面角，在直角三角形中算出他們的余弦值，利用向量法計(jì)算直線與直線所成的角為的余弦值，然后比較大小.【詳解】令，由平面，且平面，又，，面三棱錐的每一個(gè)面都是直角三角形.與平面所成的角，二面角的平面角，由已知可得，，，又，則所以，又均為銳角，故選：A.3、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別表示出，，整理即可得答案.【詳解】數(shù)列，，，和，，，，各自都成等差數(shù)列，，，，故選:A4、B【解析】首先求出F1到漸近線的距離,利用F1關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰落在圓上,可得直角三角形,利用勾股定理得到關(guān)于ac的齊次式，即可求出雙曲線的離心率【詳解】由題意可設(shè),則到漸近線的距離為.設(shè)關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為M,F1M與漸近線交于A,∴MF1=2b,A為F1M的中點(diǎn).又O是F1P的中點(diǎn),∴OA∥F2M,∴為直角,所以△為直角三角形，由勾股定理得：，所以，所以，所以離心率故選:B.5、C【解析】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)根，等價(jià)于與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，通過導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，根據(jù)圖象即可求出求出的范圍.【詳解】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，方程有兩個(gè)根，，分離參數(shù)得，與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令，，令，解得當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，且在處取得極大值及最大值，可以畫出函數(shù)的大致圖象如下：觀察圖象可以得出.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.6、B【解析】將直線方程的一般形式化為截距式，由此可得其在x軸和y軸上的截距.【詳解】直線方程化成截距式為，所以，故選：B.7、A【解析】依題意可得為正方形，即可得到，從而得到雙曲線的漸近線為，即可求出雙曲線的離心率；【詳解】解：依題意，，且四邊形為菱形，所以為正方形，所以，即雙曲線的漸近線為，即，所以；故選：A8、C【解析】當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，根據(jù)棱長(zhǎng)與球半徑關(guān)系即可求出球半徑，從而求出表面積.【詳解】當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大.又，則三棱錐體積，解得；故表面積.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三棱錐與球的組合體的綜合問題，本題的關(guān)鍵是判斷當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大.9、C【解析】過點(diǎn)Q作QQ′⊥l交l于點(diǎn)Q′，利用拋物線定義以及相似得到|QF|＝|QQ′|＝3.【詳解】如圖所示：過點(diǎn)Q作QQ′⊥l交l于點(diǎn)Q′，因?yàn)椋詜PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10、D【解析】設(shè)直線與點(diǎn)確定平面，由題意可得直線與平面相交或平行.分兩種情形，畫圖說明即可.【詳解】點(diǎn)是空間中不在直線，上的任意一點(diǎn)，設(shè)直線與點(diǎn)確定平面，由題意可得，故直線與平面相交或平行.(1)若直線與平面相交（如圖1），記，①若，則不存在過點(diǎn)且與直線，都相交的直線；②若與不平行，則直線即為過點(diǎn)且與直線，都相交的直線.（2）若直線與平面平行（如圖2），則不存在過點(diǎn)且與直線，都相交的直線.綜上所述，過點(diǎn)至多有一條直線與直線，都相交.故選：D.11、A【解析】由拋物線的性質(zhì)：過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)直線，的斜率分別為，由拋物線的性質(zhì)可得，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，故選：A.12、B【解析】設(shè)等軸雙曲線的方程為拋物線,拋物線準(zhǔn)線方程為設(shè)等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線的兩個(gè)交點(diǎn),，則,將，代入，得等軸雙曲線的方程為的實(shí)軸長(zhǎng)為故選二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10【解析】采用數(shù)形結(jié)合法，將所求問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)到直線的距離和的倍，結(jié)合梯形中位線性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系可求得答案.【詳解】由，，，可知，點(diǎn)在圓上，由，即為等腰直角三角形，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可理解為圓心到直線的距離，變形得，即所求問題可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)到直線的距離和的倍，作于于，中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，由梯形中位線性質(zhì)可得，，作于，于，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)與重合，三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，由點(diǎn)到直線距離公式可得，由幾何性質(zhì)可得，，此時(shí)，故的最大值為.故答案為：10.14、①④【解析】畫出正方體，，，故，①正確，根據(jù)相交推出矛盾得到②錯(cuò)誤，根據(jù)，與相交得到③錯(cuò)誤，排除共面的情況得到④正確，得到答案.【詳解】如圖所示的正方體中，，，故，①正確；若直線與直線相交，則四點(diǎn)共面，即在平面內(nèi)，不成立，②錯(cuò)誤；，與相交，故直線與直線不平行，③錯(cuò)誤；，與不平行，故與不平行，若與相交，則四點(diǎn)共面，在平面內(nèi)，不成立，故直線與直線異面，④正確；故答案為：①④.15、##0.8【解析】由排列組合知識(shí)求得所選3人中男女生都有方法數(shù)及總的選取方法數(shù)后可計(jì)算概率【詳解】從6名男生和4名女生中選出3人的方法數(shù)是，所選3人中男女生都有的方法數(shù)為，所以概率為故答案為：16、【解析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式可得的中點(diǎn)和直線斜率，由垂直關(guān)系可得垂直平分線的斜率，由點(diǎn)斜式可得直線方程，化為一般式即可【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，的中點(diǎn)為，可得直線的斜率為，由垂直關(guān)系可得其垂直平分線的斜率為，故可得所求直線的方程為：，化為一般式可得故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）9【解析】(1)首先根據(jù)已知條件分別求出的首項(xiàng)和公差，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；(2)首先利用等差數(shù)列求和公式求出，然后利用裂項(xiàng)相消法和分組求和法求出，進(jìn)而可求出的通項(xiàng)公式，最后利用等差數(shù)列求和公式求解即可.【小問1詳解】不妨設(shè)等差數(shù)列的公差為，故，，解得，，從而，即的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由題意可知，，所以，故，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，由可知，，即，解得，即值為9.18、（1）（2）是；【解析】（1）由離心率和焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)可求出，結(jié)合關(guān)系式得出，即可得出橢圓的方程；（2）由平行于軸特殊情況求出，即；當(dāng)平行于軸時(shí)，設(shè)過的直線為，聯(lián)立橢圓方程，令化簡(jiǎn)得關(guān)于的二次方程，由韋達(dá)定理即可求解.【小問1詳解】由題可知，，解得，又，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】如圖所示，當(dāng)平行于軸時(shí)，恰好平行于軸，，，；當(dāng)不平行于軸時(shí)，設(shè)，設(shè)過點(diǎn)的直線為，聯(lián)立得，令得，化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，又，故，即.綜上所述，.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，由即所以化簡(jiǎn)即可得到答案.（2）設(shè)，，設(shè)直線l的方程為：與（1）中W的軌跡方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，求出，同理設(shè)直線的方程為：，得出，再根據(jù)從而可證明結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以所以所以所以所以C的方程為：【小問2詳解】設(shè)，，設(shè)直線l的方程為：，則由得：所以，，所以所以設(shè)直線的方程為：，則同理可得因所以即，即，即解得，即所以為定值.20、（1）；（2）或.【解析】（1）將圓的方程表示為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓心坐標(biāo)與半徑，利用圓心到直線的距離可求得實(shí)數(shù)的值；（2）求出圓心到直線的距離，利用、、三者滿足勾股定理可求得的方程，解出的值，即可得出直線的方程.【詳解】將圓C的方程配方得標(biāo)準(zhǔn)方程為，則此圓的圓心為，半徑為.（1）若直線與圓相切，則有，解得；（2）圓心到直線的距離為，由勾股定理可得，可得，整理得，解得或，故所求直線方程為或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓的弦長(zhǎng)的常用求法（1）幾何法：求圓的半徑為，弦心距為，弦長(zhǎng)為，則；（2）代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式.21、（1）；（2）.【解析】（1）將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果全部相加可得的值；（2）分析可知，所抽取的個(gè)數(shù)據(jù)中，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有個(gè)，分別記為、、、，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有個(gè)，分別記為、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：由頻率分布直方圖可得.【小問2詳解】解：因?yàn)閿?shù)學(xué)成績(jī)?cè)?、?nèi)的頻率分別為、，所以，所抽取的個(gè)數(shù)據(jù)中，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有個(gè)，分別記為、、、，成績(jī)?cè)趦?nèi)的有個(gè)，分別記為、，從這個(gè)數(shù)據(jù)中，任取抽取個(gè)，所有的基本事件有