北京大學(xué)研究生考試數(shù)學(xué)試卷考試時長：120分鐘滿分：100分班級：__________姓名：__________學(xué)號：__________得分：__________北京大學(xué)研究生考試數(shù)學(xué)試卷考核對象：報考北京大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生考生題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。2.級數(shù)∑_{n=1}^∞(1/n^p)收斂當(dāng)且僅當(dāng)p>1。3.若向量組α?,α?,α?線性無關(guān)，則向量組α?+α?,α?+α?,α?+α?也線性無關(guān)。4.奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)只含正弦項。5.若A為n階可逆矩陣，則det(A)=0。6.二次型f(x?,x?,...,xn)正定的充分必要條件是其對應(yīng)矩陣的順序主子式均大于0。7.若事件A與B互斥，則P(A|B)=0。8.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)是偶函數(shù)。9.若函數(shù)f(x)在x?處可導(dǎo)，則f(x)在x?處必連續(xù)。10.線性方程組Ax=b有解的充要條件是增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(x)=|x|在x=0處（）。A.可導(dǎo)B.左右導(dǎo)數(shù)存在但不相等C.不連續(xù)D.連續(xù)但不可導(dǎo)2.級數(shù)∑_{n=1}^∞((-1)^n/n^2)的收斂性是（）。A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對收斂D.無法判斷3.矩陣A=[12;34]的特征值是（）。A.1,2B.3,4C.-1,-2D.-1,54.若向量組α?,α?,α?線性相關(guān)，則下列說法正確的是（）。A.α?,α?,α?中任意兩個向量線性無關(guān)B.α?可以由α?,α?線性表示C.α?不可以由α?,α?線性表示D.α?一定為零向量5.函數(shù)f(x)=e^(-x^2)在[-1,1]上的最小值是（）。A.0B.e^-1C.1D.e^-26.若事件A的概率為0.6，事件B的概率為0.7，且P(A∪B)=0.8，則P(A|B)是（）。A.0.4B.0.5C.0.6D.0.87.矩陣A=[10;01]的逆矩陣是（）。A.[10;01]B.[-10;0-1]C.[01;10]D.[10;0-1]8.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則f(x)在(a,b)內(nèi)的原函數(shù)是（）。A.∫[a,x]f(t)dtB.∫[b,x]f(t)dtC.f(x)D.f'(x)9.線性方程組Ax=b有唯一解的條件是（）。A.A可逆B.A不可逆C.b=0D.b≠010.若隨機變量X服從N(μ,σ^2)，則P(X>μ)是（）。A.0.5B.0.7C.0.3D.1三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中在x=0處可導(dǎo)的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=|x|C.f(x)=x^3D.f(x)=sin(x)2.級數(shù)∑_{n=1}^∞(1/(n+1)ln(n))的收斂性是（）。A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對收斂D.無法判斷3.矩陣A=[10;02]的特征向量可以是（）。A.[10]^TB.[01]^TC.[11]^TD.[1-1]^T4.若向量組α?,α?,α?線性無關(guān)，則下列說法正確的是（）。A.α?可以由α?,α?線性表示B.α?不可以由α?,α?線性表示C.α?一定不為零向量D.α?,α?,α?的秩為35.函數(shù)f(x)=ln(x)在[1,2]上的積分值是（）。A.ln(2)B.ln(1)C.ln(2)-ln(1)D.16.若事件A與B獨立，則下列說法正確的是（）。A.P(A∩B)=P(A)P(B)B.P(A|B)=P(A)C.P(A∪B)=P(A)+P(B)D.P(A|B)=07.矩陣A=[11;11]的秩是（）。A.0B.1C.2D.38.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞減，則f(x)在(a,b)內(nèi)的原函數(shù)是（）。A.∫[a,x]f(t)dtB.∫[b,x]f(t)dtC.-∫[a,x]f(t)dtD.-∫[b,x]f(t)dt9.線性方程組Ax=b無解的條件是（）。A.A可逆B.A不可逆且b不在A的列空間內(nèi)C.b=0D.b≠010.若隨機變量X服從N(0,1)，則P(X^2>1)是（）。A.0.3B.0.5C.0.7D.1四、案例分析（每題6分，共18分）1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值。2.設(shè)向量組α?=[111]^T,α?=[123]^T,α?=[135]^T，判斷α?,α?,α?是否線性無關(guān)，并說明理由。3.已知矩陣A=[12;34]，求A的特征值和特征向量。五、論述題（每題11分，共22分）1.證明：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上有界。2.解釋線性方程組Ax=b有解的幾何意義，并說明為何增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩是充要條件。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√（拉格朗日中值定理）2.√（p-級數(shù)判別法）3.√（線性無關(guān)組的線性組合仍無關(guān)）4.√（奇函數(shù)的傅里葉系數(shù)b?≠0，a?=0）5.×（det(A)≠0）6.√（慣性定理）7.√（互斥則A∩B=?，P(A|B)=P(?)=0）8.√（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)=f(-x)）9.√（可導(dǎo)必連續(xù)）10.√（有解的秩判別法）二、單選題1.D（絕對值函數(shù)在0處不可導(dǎo)）2.C（絕對收斂）3.D（det(A)=-2，特征值λ=-1,5）4.B（線性相關(guān)則至少一個向量可由其余表示）5.B（e^-1≈0.3679最?。?.A（P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0.4）7.A（單位矩陣的逆仍為單位矩陣）8.A（原函數(shù)定義）9.A（A可逆則Ax=b有唯一解）10.A（對稱分布，P(X>μ)=0.5）三、多選題1.A,C,D（x^2,x^3,sin(x)在0處可導(dǎo)）2.A（發(fā)散，調(diào)和級數(shù)變形）3.A,C（特征值1,2對應(yīng)特征向量[10]^T,[11]^T）4.B,C,D（線性無關(guān)組的秩為3，α?不可由α?,α?表示）5.A,C（ln(2)-ln(1)=ln(2)）6.A,B（獨立定義）7.B（秩為1，非零行[11]）8.A,C（單調(diào)遞減原函數(shù)為負(fù)積分）9.B（秩不等且b不在列空間）10.A,C（P(X^2>1)=P(|X|>1)=2Φ(-1)=2(1-0.8)=0.4）四、案例分析1.解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，駐點x=0,2。f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。最大值2，最小值-2。2.解：矩陣=[α?α?α?]，行簡化為[111;012;001]，秩為3，線性無關(guān)。3.解：det(λI-A)=λ^2-5λ-2=0，λ=-0.4,5.4。λ=-0.4時，[A+0.4I][x]=0→[-0.62;3.2-3.6][x