湖南省重點(diǎn)中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直四棱柱的棱長(zhǎng)均為，則直線(xiàn)與側(cè)面所成角的正切值為（）A. B.C. D.2．設(shè)是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，滿(mǎn)足，若，則（）A. B.C. D.a，b的大小無(wú)法判斷3．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，函數(shù)，若在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于（）A. B.C. D.4．已知遞增等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則與的關(guān)系是（）A. B.C. D.5．雙曲線(xiàn)的焦距是（）A.4 B.C.8 D.6．已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，若，則的公差為（）A.4 B.3C.2 D.17．函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，，則的解集為（）A. B.C. D.8．圓心在x軸上且過(guò)點(diǎn)的圓與y軸相切，則該圓的方程是（）A. B.C. D.9．直線(xiàn)是雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，，分別是雙曲線(xiàn)左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，且，則（）A.2 B.6C.8 D.1010．若命題p為真命題，命題q為假命題，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.11．一組“城市平安建設(shè)”的滿(mǎn)意度測(cè)評(píng)結(jié)果，，…，的平均數(shù)為116分，則，，…，，116的（）A.平均數(shù)變小 B.平均數(shù)不變C.標(biāo)準(zhǔn)差不變 D.標(biāo)準(zhǔn)差變大12．命題：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等差數(shù)列的公差，是其前n項(xiàng)和，給出下列命題：若，且，則和都是中的最大項(xiàng)；給定n，對(duì)于一些，都有；存在使和同號(hào)；.其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)__________.14．圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為_(kāi)_________.15．已知為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，為拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____.16．若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線(xiàn)方程為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)某一目標(biāo)射擊，已知甲、乙能擊中的概率分別為，求：（1）甲、乙恰好有一人擊中的概率；（2）目標(biāo)被擊中的概率18．（12分）如圖，AC是圓O的直徑，B是圓O上異于A，C的一點(diǎn)，平面ABC，點(diǎn)E在棱PB上，且，，.（1）求證：；（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.19．（12分）浙江省新高考采用“3+3”模式，其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科為必考科目，另外考生根據(jù)自己實(shí)際需要在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)7門(mén)科目中自選3門(mén)參加考試．下面是某校高一200名學(xué)生在一次檢測(cè)中的物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)，以組距20分成7組：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，畫(huà)出頻率分布直方圖如下圖所示（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）由頻率分布直方圖，求物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)的第60百分位數(shù)；（3）若小明決定從“物理、化學(xué)、生物、政治、技術(shù)”五門(mén)學(xué)科中選擇三門(mén)作為自己的選考科目，求小明選中“技術(shù)”的概率20．（12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，和分別是和的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且.（1）證明：無(wú)論取何值，總有；（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線(xiàn)相切.（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)與曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，問(wèn)：在軸上是否存在定點(diǎn)，使？若存在，求點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn).（1）證明：AB1//面BC1D；（2）若AA1=AB，求二面角B1-AC-C1的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意把直線(xiàn)與側(cè)面所成角的正切值轉(zhuǎn)化為在直角三角形中的正切值，即可求出答案.【詳解】由題意可知直四棱柱如下圖所示：取的中點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)，連接，在直四棱柱中，面，面，，在四邊形中，，，故且.面，面，面，.故直線(xiàn)與側(cè)面所成角的正切值為.故選：D.2、A【解析】首先構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng).【詳解】設(shè)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，即，所以，那么，即.故選：A3、A【解析】分別由矩形面積公式與微積分幾何意義計(jì)算陰影部分和矩形部分的面積，最后由幾何概型概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】由已知，矩形的面積為4，陰影部分的面積為，由幾何概型公式可得此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于，故選：A4、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知列式求得，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，所以，又，所以，所以，，所以即故選：D5、C【解析】根據(jù)，先求半焦距，再求焦距即可.【詳解】解：由題意可得，，∴，故選：C【點(diǎn)睛】考查求雙曲線(xiàn)的焦距，基礎(chǔ)題.6、A【解析】由已知，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式列方程組求公差即可.詳解】由題設(shè)，，解得.故選：A7、D【解析】分析可知函數(shù)在上為增函數(shù)，且有，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，則該函數(shù)在上為增函數(shù)，且，由可得，所以，，可得或，解得或.因此，不等式的解集為.故選：D.8、A【解析】根據(jù)題意設(shè)出圓的方程，列式即可求出【詳解】依題可設(shè)圓的方程為，所以，解得即圓的方程是故選：A9、C【解析】根據(jù)漸近線(xiàn)可求出a，再由雙曲線(xiàn)定義可求解.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)是雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，所以，，又或，或（舍去），故選：C10、B【解析】根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”，一假則假，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷直接即可判斷.【詳解】邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”，一假則假.因?yàn)槊}p為真命題，命題q為假命題，所以為假命題，為真命題.所以，為假，故A錯(cuò)誤；為真，故B正確；為假，故C錯(cuò)誤；為假，故D錯(cuò)誤.故選：B11、B【解析】利用平均數(shù)、方差的定義和性質(zhì)直接求出，，…，，116的平均數(shù)、方差從而可得答案.【詳解】，，…，的平均數(shù)為116分，則，，…，，116的平均數(shù)為設(shè)，，…，的方差為則所以則，，…，，116的方差為所以，，…，，116的平均數(shù)不變，方差變小.標(biāo)準(zhǔn)差變小.故選：B12、D【解析】利用全稱(chēng)量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由全稱(chēng)量詞命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】對(duì)，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性和可判斷；對(duì)和，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可直接推導(dǎo)；對(duì)，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和可直接推導(dǎo).【詳解】不妨設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為對(duì)，，可得：，解得：，即又，則是遞減的，則中的前5項(xiàng)均為正數(shù)，所以和都是中的最大項(xiàng)，故正確；對(duì)，，故有：，故正確；對(duì)，，又，則，說(shuō)明不存在使和同號(hào)，故錯(cuò)誤；對(duì)，有：故并不是恒成立的，故錯(cuò)誤故答案為：14、【解析】先求得圓心到直線(xiàn)的距離，結(jié)合圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為，即可求解.【詳解】由題意，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到直線(xiàn)的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為.故答案為：15、【解析】由拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)知：，由圖知為的最小值，求長(zhǎng)度即可.【詳解】點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線(xiàn)方程為，作于，作于，∴，當(dāng)且僅當(dāng)為與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)取得等號(hào)，∴的最小值為.故答案為：.16、【解析】因?yàn)闉閳A的弦的中點(diǎn)，所以圓心坐標(biāo)為，，所在直線(xiàn)方程為，化簡(jiǎn)為，故答案為.考點(diǎn)：1、兩直線(xiàn)垂直斜率的關(guān)系；2、點(diǎn)斜式求直線(xiàn)方程.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）分為甲擊中且乙沒(méi)有擊中，和乙擊中且甲沒(méi)有擊中兩種情況，進(jìn)而根據(jù)獨(dú)立事件概率公式求得答案；（2）先考慮甲乙都沒(méi)有擊中，進(jìn)而根據(jù)對(duì)立事件概率公式和獨(dú)立事件概率公式求得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)甲、乙分別擊中目標(biāo)為事件，，易知，相互獨(dú)立且，，甲、乙恰好有一人擊中的概率為.【小問(wèn)2詳解】目標(biāo)被擊中的概率為.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由圓的性質(zhì)可得，再由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得，從而由線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面PAB，所以得，再結(jié)合已知條件可得平面PBC，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由已知條件結(jié)合基本不等式可得當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，是等腰直角三角形，，從而以O(shè)B，OC所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，以過(guò)點(diǎn)O且垂直于圓O平面的直線(xiàn)為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)锳C是圓O的直徑，點(diǎn)B是圓O上不與A，C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以.因?yàn)椋褹B，平面PAB，所以平面PAB.因?yàn)槠矫鍼AB，所以.因?yàn)?，，且BC，平面PBC，所以平面PBC.因?yàn)槠矫鍼BC，所以.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以三棱錐的體積，（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立）.所以當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，是等腰直角三角形，.所以以O(shè)B，OC所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，以過(guò)點(diǎn)O且垂直于圓O平面的直線(xiàn)為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.因?yàn)椤?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以?設(shè)向量為平面的一個(gè)法向量，則即令得，.向量為平面ABC的一個(gè)法向量，.因?yàn)槎娼鞘卿J角，所以二面角的余弦值為.19、（1）=0.005（2）232（3）【解析】（1）由頻率和為1列方程求解即可，（2）由于前3組的頻率和小于0.6，前4組的頻率和大于0.6，所以三科總分成績(jī)的第60百分位數(shù)在第4組內(nèi)，設(shè)第60百分位數(shù)為，則0.45+0.0125×(?220)=0.6，從而可求得結(jié)果，（3）利用列舉法求解即可【小問(wèn)1詳解】由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.0075++0.0025)×20=1，解得=0.005【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.6，(0.002+0.0095+0.011+0.0125)×20=0.7>0.6，所以三科總分成績(jī)的第60百分位數(shù)在[220，240)內(nèi)，設(shè)第60百分位數(shù)為，則0.45+0.0125×(?220)=0.6，解得=232，即第60百分位數(shù)為232【小問(wèn)3詳解】將物理、化學(xué)、生物、政治、技術(shù)5門(mén)學(xué)科分別記作．則事件A表示小明選中“技術(shù)”，則，所以P(A)=20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）不存在，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算得出，即可得出結(jié)論；（2）計(jì)算出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，所以，，則，因此，無(wú)論取何值，總有；（2），設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，平面的一個(gè)法向量為，易知平面的一個(gè)法向量為，由題意可得，整理可得，，此方程無(wú)解，因此，不存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的角為.21、（1）；（2）存在，.【解析】（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式和直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)即可得出；（2）假設(shè)存在點(diǎn)，滿(mǎn)足題設(shè)條件，設(shè)直線(xiàn)的方程，根據(jù)韋達(dá)定理即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)【小問(wèn)1詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心，依題意：化簡(jiǎn)得：，即為動(dòng)圓的圓心的軌跡的方程【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在點(diǎn)，滿(mǎn)足條件，使①，顯然直線(xiàn)斜率不為0，所以由直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，可設(shè)，由得設(shè)，，，，則，由①式得，，即消去，，得，即，，，存在點(diǎn)使得22、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1），連接，證明，再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可得證；（2）說(shuō)明平面，取的中點(diǎn)F，連接，以D為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所