試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)廈門六中2025屆高三第二次模擬數(shù)學(xué)滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．設(shè)全集是實(shí)數(shù)集，，，則等于?（）A． B．C． D．2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知圓錐的側(cè)面積為，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的底面圓半徑為（

）A． B． C． D．4．已知，則（

）A． B． C． D．5．函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，有，則（

）A．0 B．1 C． D．6．設(shè)函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．7．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，且，則（

）A．且 B．C． D．10．關(guān)于函數(shù)，下列描述正確的有（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．若則 D．有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)11．已知函數(shù)的圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是B．C．將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象D．函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)12．已知是第三象限角，則.13．若函數(shù)存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．14．已知存在，使得函數(shù)與的圖象存在相同的切線，且切線的斜率為1，則b的最大值為.四、解答題(本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求時(shí)，函數(shù)的值域.16．在中，角的對(duì)邊分別為．已知．(1)若，，求；(2)若，求的值.17．已知函數(shù)．(1)若在定義域上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的最小值；(2)當(dāng)時(shí)，①判斷曲線是否為中心對(duì)稱圖形，若是，求出函數(shù)的對(duì)稱中心，若不是，說(shuō)明理由；②解不等式．18．已知函數(shù).（Ⅰ）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若，證明：.19．青島膠東國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是彎曲曲線的運(yùn)用，衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率．考察圖所示的光滑曲線上的曲線段，其弧長(zhǎng)為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從A沿曲線段運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義曲線在點(diǎn)處的曲率計(jì)算公式為，其中．(1)求單位圓上圓心角為的圓弧的平均曲率；(2)已知函數(shù)，求曲線的曲率的最大值；(3)已知函數(shù)，若曲率為0時(shí)x的最小值分別為，求證：．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．A【分析】先求出，再根據(jù)集合的交集的運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所?故選：A.2．C【分析】由得，進(jìn)而根據(jù)充分不必要條件求解即可.【詳解】若則，若，只有當(dāng)時(shí)才可推出，則，故是的充要條件.故選：C.3．A【分析】設(shè)出圓錐底面圓半徑，表示出圓錐母線長(zhǎng)，再利用圓錐側(cè)面積公式計(jì)算即得.【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為，母線長(zhǎng)為，則，解得，由圓錐的側(cè)面積為，得，即，所以.故選：A4．A【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及正弦函數(shù)的單調(diào)性，借助媒介數(shù)比較大小.【詳解】依題意，所以.故選：A5．C【分析】先結(jié)合已知及奇函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)的周期為6，然后利用周期性代入對(duì)數(shù)函數(shù)求解即可.【詳解】由題意，函數(shù)是R上的奇函數(shù)，所以，所以，又，所以，所以，因此函數(shù)為周期函數(shù)，周期，所以.故選：C6．B【分析】先分段作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象得函數(shù)為上的增函數(shù)，再判斷函數(shù)的奇偶性，再利用單調(diào)性與奇偶性性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為，化簡(jiǎn)求解可得.【詳解】，，則，作出函數(shù)的圖象，可知是上的增函數(shù).又，是奇函數(shù).不等式可化為，所以，則，即，解得，不等式的解集是.故選：B.7．C【分析】先利用正弦定理求出，再利用余弦定理結(jié)合正弦定理得：，再利用平方和公式，結(jié)合三角函數(shù)的符號(hào)求的值.【詳解】因?yàn)?，，由正弦定理得?由余弦定理可得：，即，所以，所以，又，，所以.故選：C.8．B【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)時(shí)，恒成立，不妨設(shè)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在單調(diào)遞減，再結(jié)合利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍．【詳解】，所以得.進(jìn)而，故，由于對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，，不妨設(shè)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化成在單調(diào)遞減，所以其中，解得.故選：B9．AD【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷A；利用特值法判斷BC；利用不等式的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】∵，且，∴，∴且，故A正確；取，則，故B錯(cuò)誤；取，則，故C錯(cuò)誤；∵且，，∴，∴，∴，故D正確.故選：AD.10．ABD【分析】作出函數(shù)的圖象，由圖象觀察性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．【詳解】根據(jù)圖象變換作出函數(shù)的圖象（，作出的圖象，再作出其關(guān)于軸對(duì)稱的圖象，然后向右平移2個(gè)單位，最后把軸下方的部分關(guān)于軸翻折上去即可得），如圖，由圖象知在是單調(diào)遞增，A正確，函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；，直線與函數(shù)圖象相交可能是4個(gè)交點(diǎn)，如圖，如果最左邊兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別是，則不成立，C錯(cuò)誤，與軸僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，即函數(shù)僅有兩個(gè)零點(diǎn)，D正確．故選：ABD．11．BC【分析】根據(jù)圖象求得函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由題圖可知，，所以，所以，由，得，由，解得，所以．對(duì)于A，令，則，,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)變換后的解析式為，因?yàn)?，即為函?shù)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，令，則，由正弦函數(shù)圖象可知，，解得，故D錯(cuò)誤．故選：BC12．##【分析】利用正弦的差角公式先計(jì)算，結(jié)合誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系再利用正弦的和角公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋覟榈谌笙藿?，所以，所?故答案為：13．【分析】求導(dǎo)，根據(jù)題意知方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，可得出，從而得解.【詳解】因?yàn)?，可得，因?yàn)楹瘮?shù)存在極值點(diǎn)，所以有兩不等實(shí)根，則，解得或，所以的取值范圍是.故答案為：.14．-3【分析】分別求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由切線斜率為1求得切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出曲線在切點(diǎn)處的切線方程，把的切點(diǎn)代入，可得b與a的關(guān)系式，再由導(dǎo)數(shù)求最值即可【詳解】解:令，得，切點(diǎn)為，令，得，切點(diǎn)為.切線方程為代入，可得則令，則,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴即b的最大值為-3.故答案為：-3.15．（1）；（2）【解析】（1）先根據(jù)降冪公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)，令即可得出答案；（2）由得，由此即可求出答案．【詳解】解：；（1）令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由得，∴，從而函數(shù)的值域?yàn)椋军c(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)以及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16．(1)(2)【分析】（1）將已知邊角等式通過(guò)正弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)等式，約去共同因子后得到角B的正切值，從而確定角B的具體大??；接著根據(jù)已知的兩邊和其中一邊的對(duì)角，運(yùn)用余弦定理建立關(guān)于第三邊的一元二次方程計(jì)算求值.（2）根據(jù)邊長(zhǎng)比例和正弦定理得到角的正弦值比例關(guān)系，結(jié)合三角形內(nèi)角和消去角C，將等式展開并化簡(jiǎn)得到角A的正切值；然后利用兩角差的正切公式，代入已知的角B的正切值，直接計(jì)算得到所求正切值；或采用余弦定理先求出第三邊，再求角A的三角函數(shù)值，最后用兩角差公式得到結(jié)果.【詳解】（1）由及正弦定理得，．因?yàn)?，所以，則，即．因?yàn)?，所以，根?jù)余弦定理得，即，解得或(舍去)，故．（2）方法一：由和正弦定理，得，即．，即，則得．所以．方法二：根據(jù)余弦定理得，則，，則角A是銳角，故，則，所以．17．(1)．(2)①是，對(duì)稱中心為；②．【分析】（1）求導(dǎo)，分析可得在上恒成立，根據(jù)恒成立問(wèn)題結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解；（2）①根據(jù)題意計(jì)算的值，結(jié)合中心對(duì)稱的定義分析證明；②結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性整理可得，在結(jié)合單調(diào)性列式求解，注意函數(shù)的定義域.【詳解】（1），其中，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，又，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為，所以，得到，所以，即，所以a的最小值．（2）①當(dāng)時(shí)，，其中，，所以，故曲線為中心對(duì)稱圖形，函數(shù)的對(duì)稱中心為．②不等式可化為，即，由第一問(wèn)可知時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以不等式的解集為．18．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析.【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)，由，得或，討論兩者大小關(guān)系確定的正負(fù)得單調(diào)性即可；（Ⅱ）證，等價(jià)為整理得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定其最小值即可證明【詳解】（Ⅰ）依題意，，.令，則或.當(dāng)時(shí)，，由得，由得；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且，即時(shí)，由得，由得或；當(dāng)，即時(shí)，由得，由得或.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（Ⅱ）要證：.即證：，即證：，即證：.令..因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即.故當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，是中檔題19．(1)1(2)(3)證明見解析；【分析】（1）根據(jù)平均曲率的定義，代入計(jì)算可得結(jié)果；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，代入曲率計(jì)算公式并化簡(jiǎn)變形利用基本不等式可求得曲線的曲率的最大值為；（3）根據(jù)曲率為0可求得，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，可知的兩解分別為，且，令可得，對(duì)整理變形并構(gòu)造函數(shù)可得出證明.【詳解】（1）易知單位圓上圓心角為的圓弧，根據(jù)定義可得平均曲率（2）由可得，又可得；所以，易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立；所以，即曲線的曲率的最大值為.（3）由可得，記，則；同理由