桂林市象山區(qū)2024-2025學年高三第二次聯(lián)考數學試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，則下列結論錯誤的是()A．函數的最小正周期為πB．函數的圖象關于點對稱C．函數在上單調遞增D．函數的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到2．已知，是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于兩點.若依次構成等差數列，且，則橢圓的離心率為A． B． C． D．3．已知全集為，集合，則（）A． B． C． D．4．《九章算術》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈，葭生其中，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭各幾何？”，其意思是：有一個直徑為一丈的圓柱形水池，池中心生有一顆類似蘆葦的植物，露出水面兩尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊，問水有多深，該植物有多高？其中一丈等于十尺，如圖若從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為（）A． B． C． D．5．已知函數（，，），將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的部分圖象如圖所示，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．87．已知，則（）A． B． C． D．28．等比數列若則（）A．±6 B．6 C．-6 D．9．某高中高三（1）班為了沖刺高考，營造良好的學習氛圍，向班內同學征集書法作品貼在班內墻壁上，小王，小董，小李各寫了一幅書法作品，分別是：“入班即靜”，“天道酬勤”，“細節(jié)決定成敗”，為了弄清“天道酬勤”這一作品是誰寫的，班主任對三人進行了問話，得到回復如下：小王說：“入班即靜”是我寫的；小董說：“天道酬勤”不是小王寫的，就是我寫的；小李說：“細節(jié)決定成敗”不是我寫的.若三人的說法有且僅有一人是正確的，則“入班即靜”的書寫者是（）A．小王或小李 B．小王 C．小董 D．小李10．國務院發(fā)布《關于進一步調整優(yōu)化結構、提高教育經費使用效益的意見》中提出，要優(yōu)先落實教育投入．某研究機構統(tǒng)計了年至年國家財政性教育經費投入情況及其在中的占比數據，并將其繪制成下表，由下表可知下列敘述錯誤的是（）A．隨著文化教育重視程度的不斷提高，國在財政性教育經費的支出持續(xù)增長B．年以來，國家財政性教育經費的支出占比例持續(xù)年保持在以上C．從年至年，中國的總值最少增加萬億D．從年到年，國家財政性教育經費的支出增長最多的年份是年11．設則以線段為直徑的圓的方程是（）A． B．C． D．12．公元前世紀，古希臘哲學家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜的倍.當比賽開始后，若阿基里斯跑了米，此時烏龜便領先他米，當阿基里斯跑完下一個米時，烏龜先他米，當阿基里斯跑完下-個米時，烏龜先他米....所以，阿基里斯永遠追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜的距離恰好為米時，烏龜爬行的總距離為（）A．米 B．米C．米 D．米二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則________．14．在的展開式中，項的系數是__________（用數字作答）．15．若曲線（其中常數）在點處的切線的斜率為1，則________.16．如圖，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則的最小值為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線：與拋物線切于點，直線：過定點Q，且拋物線上的點到點Q的距離與其到準線距離之和的最小值為.（1）求拋物線的方程及點的坐標；（2）設直線與拋物線交于(異于點P)兩個不同的點A、B，直線PA，PB的斜率分別為，那么是否存在實數，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.18．（12分）在直角坐標系中，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系．曲線的極坐標方程為：，曲線的參數方程為其中，為參數，為常數．（1）寫出與的直角坐標方程；（2）在什么范圍內取值時，與有交點．19．（12分）已知，且．（1）請給出的一組值，使得成立；（2）證明不等式恒成立．20．（12分）已知數列的各項均為正數，且滿足.（1）求，及的通項公式；（2）求數列的前項和.21．（12分）已知拋物線E：y2＝2px（p＞0），焦點F到準線的距離為3，拋物線E上的兩個動點A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2＝1．線段AB的垂直平分線與x軸交于點C．（1）求拋物線E的方程；（2）求△ABC面積的最大值．22．（10分）已知的內角，，的對邊分別為，，，且.（1）求；（2）若的面積為，，求的周長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

由可判斷選項A；當時，可判斷選項B；利用整體換元法可判斷選項C；可判斷選項D.【詳解】由題知，最小正周期，所以A正確；當時，，所以B正確；當時，，所以C正確；由的圖象向左平移個單位，得，所以D錯誤.故選：D.本題考查余弦型函數的性質，涉及到周期性、對稱性、單調性以及圖象變換后的解析式等知識，是一道中檔題.2．D【解析】

如圖所示，設依次構成等差數列，其公差為.根據橢圓定義得，又，則，解得，.所以，，，.在和中，由余弦定理得，整理解得.故選D．3．D【解析】

對于集合,求得函數的定義域,再求得補集；對于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定義求解即可.【詳解】,,.故選:D本題考查集合的補集、交集運算,考查具體函數的定義域,考查解一元二次不等式.4．C【解析】

由題意知：，，設，則，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【詳解】解：由題意知：，，設，則在中，列勾股方程得：，解得所以從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為故選C.本題考查了幾何概型中的長度型，屬于基礎題.5．B【解析】

先根據圖象求出函數的解析式,再由平移知識得到的解析式,然后分別找出和的等價條件,即可根據充分條件,必要條件的定義求出.【詳解】設,根據圖象可知,,再由,取,∴.將函數的圖象向右平移個單位長度,得到函數的圖象,∴.,,令,則,顯然,∴是的必要不充分條件.故選：B．本題主要考查利用圖象求正(余)弦型函數的解析式,三角函數的圖形變換,二倍角公式的應用,充分條件,必要條件的定義的應用,意在考查學生的數學運算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.6．A【解析】

由三視圖還原出原幾何體，得出幾何體的結構特征，然后計算體積．【詳解】由三視圖知原幾何體是一個四棱錐，四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2，直觀圖如圖所示，．故選：A．本題考查三視圖，考查棱錐的體積公式，掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵．7．B【解析】

結合求得的值，由此化簡所求表達式，求得表達式的值.【詳解】由，以及，解得..故選：B本小題主要考查利用同角三角函數的基本關系式化簡求值，考查二倍角公式，屬于中檔題.8．B【解析】

根據等比中項性質代入可得解，由等比數列項的性質確定值即可.【詳解】由等比數列中等比中項性質可知，，所以，而由等比數列性質可知奇數項符號相同，所以，故選：B.本題考查了等比數列中等比中項的簡單應用，注意項的符號特征，屬于基礎題.9．D【解析】

根據題意，分別假設一個正確，推理出與假設不矛盾，即可得出結論.【詳解】解：由題意知，若只有小王的說法正確，則小王對應“入班即靜”，而否定小董說法后得出：小王對應“天道酬勤”，則矛盾；若只有小董的說法正確，則小董對應“天道酬勤”，否定小李的說法后得出：小李對應“細節(jié)決定成敗”，所以剩下小王對應“入班即靜”，但與小王的錯誤的說法矛盾；若小李的說法正確，則“細節(jié)決定成敗”不是小李的，則否定小董的說法得出：小王對應“天道酬勤”，所以得出“細節(jié)決定成敗”是小董的，剩下“入班即靜”是小李的，符合題意.所以“入班即靜”的書寫者是：小李.故選：D.本題考查推理證明的實際應用.10．C【解析】

觀察圖表，判斷四個選項是否正確．【詳解】由表易知、、項均正確，年中國為萬億元，年中國為萬億元，則從年至年，中國的總值大約增加萬億，故C項錯誤．本題考查統(tǒng)計圖表，正確認識圖表是解題基礎．11．A【解析】

計算的中點坐標為，圓半徑為，得到圓方程.【詳解】的中點坐標為：，圓半徑為，圓方程為.故選：.本題考查了圓的標準方程，意在考查學生的計算能力.12．D【解析】

根據題意，是一個等比數列模型，設，由，解得，再求和.【詳解】根據題意，這是一個等比數列模型，設，所以，解得，所以.故選：D本題主要考查等比數列的實際應用，還考查了建模解模的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據雙曲線的標準方程寫出雙曲線的漸近線方程，結合題意可求得正實數的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于該雙曲線的一條漸近線方程為，，解得.故答案為：.本題考查利用雙曲線的漸近線方程求參數，考查計算能力，屬于基礎題.14．【解析】的展開式的通項為：.令，得.答案為：-40.點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數.15．【解析】

利用導數的幾何意義，由解方程即可.【詳解】由已知，，所以，解得.故答案為：.本題考查導數的幾何意義，考查學生的基本運算能力，是一道基礎題.16．.【解析】.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1），（1，2）；（2）存在，【解析】

（1）由直線恒過點點及拋物線C上的點到點Q的距離與到準線的距離之和的最小值為，求出拋物線的方程，再由直線與拋物線相切，即可求得切點的坐標；（2）直線與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數的關系，求得直線PA，PB的斜率，求出斜率之和為定值，即存在實數使得斜率之和為定值.【詳解】（1）由題意，直線變?yōu)?x+1-m(2y+1)=0，所以定點Q的坐標為拋物線的焦點坐標，由拋物線C上的點到點Q的距離與到其焦點F的距離之和的最小值為，可得，解得或（舍去），故拋物線C的方程為又由消去y得，因為直線與拋物線C相切，所以，解得，此時，所以點P坐標為（1，2）（2）設存在滿足條件的實數，點，聯(lián)立，消去x得，則，依題意，可得，解得m<-1或，由（1）知P（1，2），可得，同理可得，所以=，故存在實數=滿足條件.本題主要考查拋物線方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與拋物線方程，應用一元二次方程根與系數的關系進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.18．（1），．（2）【解析】

（1）利用，代入可求；消參可得直角坐標方程.（2）將的參數方程代入的直角坐標方程，與有交點，可得，解不等式即可求解.【詳解】（1）（2）將的參數方程代入的直角坐標方程得：與有交點，即本題考查了極坐標方程與普通方程的轉化、參數方程與普通方程的轉化、直線與圓的位置關系的判斷，屬于基礎題.19．（1）（答案不唯一）（2）證明見解析【解析】

（1）找到一組符合條件的值即可；（2）由可得,整理可得,兩邊同除可得,再由可得,兩邊同時加可得,即可得證.【詳解】解析:（1）（答案不唯一）（2）證明:由題意可知,,因為,所以.所以,即.因為,所以,因為,所以,所以.考查不等式的證明,考查不等式的性質的應用.20．（1）；.；（2）【解析】

（1）根據題意，知，且，令和即可求出，，以及運用遞推關系求出的通項公式；（2）通過定義法證明出是首項為8，公比為4的等比數列，利用等比數列的前項和公式，即可求得的前項和.【詳解】解：（1）由題可知，，且，當時，，則，當時，，，由已知可得，且，∴的通項公式：.（2）設，則，所以，，得是首項為8，公比為4的等比數列，所以數列的前項和為：，即，所以數列的前項和：.本題考查通過遞推關系求數列的通項公式，以及等比數列的前項和公式，考查計算能力.21．（1）y2＝6x（2）．【解析】

（1）根據拋物線定義，寫出焦點坐標和準線方程，列方程即可得解；（2）根據中點坐標表示出|AB|和點到直線的距離，得出面積，利用均值不等式求解最大值.【詳解】（1）拋物線E：y2＝2px（p＞0），焦點F（，0）到準線x的距離為3，可得p＝3，即有拋物線方程為y2＝6x；（2）設線段AB的中點為M（x0，y0），則，y0，kAB，