2026屆福建省永安市第三中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.2．已知雙曲線(xiàn)，過(guò)左焦點(diǎn)且與軸垂直的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，若弦的長(zhǎng)恰等于實(shí)鈾的長(zhǎng)，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.3．已知空間向量，，，下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）①若與共線(xiàn)，與共線(xiàn)，則與共線(xiàn)；②若，，非零且共面，則它們所在的直線(xiàn)共面；⑧若，，不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使得；④若，不共線(xiàn)，向量，則可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.A.0 B.1C.2 D.34．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（0,4）關(guān)于直線(xiàn)x－y+1＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（）A.(－1,2) B.(2,－1)C.(1,3) D.(3,1)5．若的解集是，則等于（）A.-14 B.-6C.6 D.146．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，則的面積為（）A. B.C. D.7．（）A.-2 B.-1C.1 D.28．曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.9．已知圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切，則實(shí)數(shù)p的值為（）A.2 B.6C.3或8 D.2或610．《萊茵德紙草書(shū)》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書(shū)中有這樣一道題目：把個(gè)面包分給個(gè)人，使每個(gè)人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（）A. B.C. D.11．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前3項(xiàng)和為21，則()A.84 B.72C.33 D.18912．與空間向量共線(xiàn)的一個(gè)向量的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列中，，，，若數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列，則______14．雙曲線(xiàn)的焦距為_(kāi)___________15．平面內(nèi)n條直線(xiàn)兩兩相交，且任意三條直線(xiàn)不過(guò)同一點(diǎn)，將其交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為，若規(guī)定，則，，_________，_________，（用含n的式子表示）16．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.18．（12分）已知圓：，直線(xiàn)：．圓與圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)（1）求圓的方程；（2）點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為、．求四邊形面積的取值范圍19．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，與交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，（1）求證：平面；（2）求證：平面平面20．（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn)，二面角的余弦值為.（1）求PD的長(zhǎng)；（2）求異面直線(xiàn)BF與PA所成角的余弦值；（3）求直線(xiàn)AF與平面BCF所成角的正弦值.21．（12分）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前10項(xiàng)和；（2）等比數(shù)列滿(mǎn)足，，求和：22．（10分）已知橢圓，四點(diǎn)中，恰有三點(diǎn)在橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)．若直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之和為，證明：直線(xiàn)過(guò)一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】把點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程求出，再化成標(biāo)準(zhǔn)方程可得解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為，方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，故拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.2、B【解析】求出，進(jìn)而求出，之間的關(guān)系，即可求解結(jié)論【詳解】解：由題意，直線(xiàn)方程為：，其中，因此，設(shè)，，，，解得，得，，弦的長(zhǎng)恰等于實(shí)軸的長(zhǎng)，，，故選：B3、B【解析】用向量共線(xiàn)或共面的基本定理即可判斷.【詳解】若與，與共線(xiàn)，，則不能判定，故①錯(cuò)誤；若非零向量共面，則向量可以在一個(gè)與組成的平面平行的平面上，故②錯(cuò)誤；不共面，意味著它們都是非零向量，可以作為一組基底，故③正確；，∴與共面，故不能組成一個(gè)基底，故④錯(cuò)誤；故選：C.4、D【解析】設(shè)出點(diǎn)(0,4)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可【詳解】解：設(shè)點(diǎn)(0,4)關(guān)于直線(xiàn)x－y+1＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(a,b),則，解得：，故選：D5、A【解析】由一元二次不等式的解集，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)a、b，即可得.【詳解】∵的解集為，∴-5和2為方程的兩根，∴有，解得，∴.故選：A.6、A【解析】由余弦定理計(jì)算求得角,根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】由余弦定理得，,∴，∴，故選：A7、A【解析】利用微積分基本定理計(jì)算得到答案.【詳解】.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、A【解析】利用切點(diǎn)和斜率求得切線(xiàn)方程.【詳解】由，有曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，整理為故選：A9、D【解析】由拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)與圓相切，結(jié)合拋物線(xiàn)方程，令求切線(xiàn)方程且拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)方程為，即可求參數(shù)p.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故當(dāng)時(shí)，有或，所以或，得或6故選：D10、A【解析】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，可得，，求出，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到關(guān)于關(guān)系式，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，依題意可得，，，，解得，.故選:A.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和、通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.11、A【解析】分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)前三項(xiàng)的和為列方程，結(jié)合等比數(shù)列中，各項(xiàng)都為正數(shù)，解得，從而可以求出的值.詳解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為3，前三項(xiàng)的和為，，解之得或，在等比數(shù)列中，各項(xiàng)都為正數(shù)，公比為正數(shù)，舍去），，故選A.點(diǎn)睛：本題考查以一個(gè)特殊的等比數(shù)列為載體，通過(guò)求連續(xù)三項(xiàng)和的問(wèn)題，著重考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)，等比數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和等知識(shí)點(diǎn)，屬于簡(jiǎn)單題.12、C【解析】根據(jù)空間向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示即可得出結(jié)果.【詳解】.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)所給條件可歸納出當(dāng)時(shí)，，利用迭代法即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，即，，且是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列或（舍去），，，故可得當(dāng)時(shí)，，故答案為：14、【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的方程求出，再求焦距的值.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)方程為，所以，.雙曲線(xiàn)的焦距為.故答案為：.15、①.6；②..【解析】利用第條直線(xiàn)與前條直線(xiàn)相交有個(gè)交點(diǎn)得出與的關(guān)系后可得結(jié)論【詳解】第4條直線(xiàn)與前三條直線(xiàn)有3個(gè)交點(diǎn)，因此，同理，由此得到第條直線(xiàn)與前條直線(xiàn)相交有個(gè)交點(diǎn)，所以，即所以故答案為：6；16、36【解析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得到，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；【詳解】解：因，所以，所以；故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用可求得結(jié)果；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；經(jīng)檢驗(yàn)：滿(mǎn)足；綜上所述：.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：，.18、（1）（2）【解析】（1）圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，半徑不變，只需求出圓心對(duì)稱(chēng)的坐標(biāo)即可.（2）將四邊形面積分成兩個(gè)全等的直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)，一條直角邊不變時(shí)，斜邊與另外一條直角邊的大小成正相關(guān)，從而得到面積的最小值與最大值.【小問(wèn)1詳解】由題可知的圓心為，圓的半徑與之相同，圓心與之關(guān)于對(duì)稱(chēng)，設(shè)的圓心為，故可根據(jù)中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)上得到①，根據(jù)斜率相乘為-1得到②，聯(lián)立①②可得，所以圓心坐標(biāo)為，且半徑為，故的方程為【小問(wèn)2詳解】連接，將四邊形分割成兩個(gè)全等的直角三角形，所以有，四邊形面積的范圍可轉(zhuǎn)化為MP長(zhǎng)度的范圍，在中，根據(jù)勾股定理可知，因?yàn)榘霃介L(zhǎng)度不變，所以最大時(shí)最大；所以最小時(shí)最??；畫(huà)出如下圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P移動(dòng)至在時(shí)面積最小，時(shí)面積最大；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以有，解得，所以，，所以，所以；，所以.所以19、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線(xiàn)定理、線(xiàn)面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)、菱形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可.【小問(wèn)1詳解】在直三棱柱中，，且四邊形平行四邊形，又，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，故，即：，且平面，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】在直三棱柱中，平面，平面，則，且，，平面，故平面，因?yàn)槠矫?，所以，又在平行四邊形中，，則四邊形菱形，所以，且，平面，故平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?20、（1）（2）（3）【解析】（1）以為軸，為軸，軸與垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，，由空間向量法求二面角，從而求得，得長(zhǎng)；（2）由空間向量法求異面直線(xiàn)所成的角；（3）由空間向量法求線(xiàn)面角【小問(wèn)1詳解】以為軸，為軸，軸與垂直，由于菱形中，軸是的中垂線(xiàn)，建立如圖坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，，，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，令，則，，即，平面的一個(gè)法向量是，因?yàn)槎娼怯嘞抑禐?所以，（負(fù)值舍去）所以；【小問(wèn)2詳解】由（1），，，，所以異面直線(xiàn)BF與PA所成角的余弦值為【小問(wèn)3詳解】由（1）平面的一個(gè)法向量為，又，，所以直線(xiàn)AF與平面BCF所成角的正弦值為21、（1），175（2）【解析】（1）由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出公差，然后結(jié)合通項(xiàng)公式及求和公式即可求解；（2）結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)先求出，然后結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)及求和公式可求【小問(wèn)1詳解】解：等差數(shù)列滿(mǎn)足，，所以，，；【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列滿(mǎn)足，，所以或（舍去），由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以，所以22、（1）（2）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)【解析】（1）先判斷出在橢圓上，再代入求橢圓方程；（2）假設(shè)斜率存在，設(shè)出直線(xiàn)，利用斜率之和為，求出之間的關(guān)系，即可求出定點(diǎn)，再說(shuō)明斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)仍過(guò)該點(diǎn)即可.【