課程導(dǎo)入：從生活到數(shù)學(xué)的折疊之美演講人2025九年級數(shù)學(xué)上冊圓的折疊問題處理課件目錄01課程導(dǎo)入：從生活到數(shù)學(xué)的折疊之美02知識儲備：圓與折疊的基礎(chǔ)聯(lián)結(jié)03核心方法：折疊問題的處理邏輯鏈核心方法：折疊問題的處理邏輯鏈典型例題：從單一到綜合的實戰(zhàn)演練04總結(jié)提升：折疊問題的本質(zhì)與思維進階05課程導(dǎo)入：從生活到數(shù)學(xué)的折疊之美課程導(dǎo)入：從生活到數(shù)學(xué)的折疊之美各位同學(xué)，當我們將一張圓形紙片輕輕對折，觀察折痕與圓的交點時，是否注意到這一簡單動作背后隱藏著豐富的幾何關(guān)系？去年秋季的一次手工課上，有位同學(xué)將圓形窗花折疊后剪出對稱圖案，興奮地問我：“老師，為什么折痕總能把圓分成兩半？折痕和圓心有什么關(guān)系？”這個問題，正是我們今天要探討的“圓的折疊問題”的起點。折疊，本質(zhì)是軸對稱變換；圓，是最完美的軸對稱圖形。當兩者相遇，折痕（對稱軸）與圓的半徑、弦、弧、圓心角等元素之間會產(chǎn)生怎樣的聯(lián)系？這節(jié)課，我們將從基礎(chǔ)出發(fā)，逐步揭開這類問題的解決密碼。06知識儲備：圓與折疊的基礎(chǔ)聯(lián)結(jié)知識儲備：圓與折疊的基礎(chǔ)聯(lián)結(jié)要解決圓的折疊問題，必須先明確兩個核心模塊的知識關(guān)聯(lián)：圓的基本性質(zhì)與折疊（軸對稱）的特征。1圓的核心性質(zhì)回顧圓是平面內(nèi)到定點（圓心）距離等于定長（半徑）的點的集合，其核心性質(zhì)可歸納為“三線兩角一關(guān)系”：三線：半徑（r）、直徑（d=2r）、弦（連接圓上兩點的線段）；兩角：圓心角（頂點在圓心的角）、圓周角（頂點在圓上的角，且兩邊與圓相交）；一關(guān)系：垂徑定理——垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧（逆定理也成立）。例如，若圓O中，直徑CD垂直于弦AB于點E，則AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。這一定理是解決折疊問題中“折痕與弦的位置關(guān)系”的關(guān)鍵工具。2折疊（軸對稱）的特征折疊操作中，原圖形與折疊后的圖形關(guān)于折痕成軸對稱，因此滿足以下特征：對應(yīng)點對稱：原圖形上的點P與折疊后的點P'關(guān)于折痕l對稱，即l是PP'的垂直平分線；線段等長：OP=OP'（若O是定點，如圓心），PP'⊥l，且l上任意一點到P和P'的距離相等；角度相等：原圖形中的角與折疊后的對應(yīng)角相等，對應(yīng)弧的度數(shù)相等。例如，將圓上一點A沿折痕l折疊到點A'，則l是AA'的垂直平分線，OA=OA'（因OA和OA'均為半徑），且弧AB與弧A'B'（若B對應(yīng)B'）的度數(shù)相等。3圓與折疊的聯(lián)結(jié)紐帶兩者的核心聯(lián)結(jié)在于：折痕既是對稱軸，又是圓的某些特殊線（如弦的垂直平分線、直徑等）。例如，當折疊后圓心的對應(yīng)點落在圓上時，折痕必是該對應(yīng)點與原圓心連線的垂直平分線，且這條垂直平分線本身可能是圓的弦或直徑。07核心方法：折疊問題的處理邏輯鏈核心方法：折疊問題的處理邏輯鏈解決圓的折疊問題，需遵循“定對象—找對稱—聯(lián)性質(zhì)—建方程”的四步邏輯鏈，每一步都需細致分析。1第一步：確定折疊的“對象”與“目標”折疊問題中，通常有兩類研究對象：弧的折疊：一段弧沿折痕l折疊后與另一段弧重合或相交，可能涉及圓心角的變化。點的折疊：圓上某點（如A）沿折痕l折疊后落在另一點（如A'），可能在圓上、圓內(nèi)或圓外；例如，題目中若說“將⊙O沿折痕AB折疊，點C落在⊙O上的點C'”，則對象是點C，目標是找到折痕AB與圓的關(guān)系。2第二步：利用軸對稱性質(zhì)，標記“對應(yīng)量”根據(jù)軸對稱特征，需明確以下對應(yīng)關(guān)系：點的對應(yīng)：原點點P?折疊點P'，折痕l是PP'的垂直平分線；線段的對應(yīng)：OP=OP'（若O是定點），PP'的中點M在l上，且l⊥PP'；角度的對應(yīng)：∠AOB=∠A'OB'（若A、B對應(yīng)A'、B'），弧AB的度數(shù)=弧A'B'的度數(shù)。例如，若⊙O的半徑為5，點A折疊后到點A'，且OA'=5（因A'在圓上），則AA'的中點M到O的距離可通過勾股定理計算（若已知AA'的長度）。3第三步：結(jié)合圓的性質(zhì)，建立“幾何關(guān)系”這一步是關(guān)鍵，需將折疊的對稱性質(zhì)與圓的垂徑定理、圓心角定理等結(jié)合，常見關(guān)系包括：折痕與半徑的關(guān)系：若折痕l是弦AB的垂直平分線，則l過圓心O（垂徑定理逆定理）；折疊后點的位置與半徑的關(guān)系：若折疊后點P'在圓上，則OP'=r（半徑），結(jié)合OP=r（原半徑），可得△OPP'為等腰三角形；弧的折疊與圓心角的關(guān)系：若弧AB折疊后與弧A'B'重合，則圓心角∠AOB=∠A'OB'，且折痕l是這兩個角的角平分線。4第四步：通過代數(shù)或幾何方法，求解未知量最終需將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程或直接計算，常見方法有：勾股定理：在涉及直角三角形（如折痕與半徑構(gòu)成的直角三角形）時使用；方程思想：設(shè)未知量（如折痕到圓心的距離、弦長等），利用線段相等列方程；角度計算：通過圓心角與圓周角的關(guān)系（如圓周角是圓心角的一半）求解角度。例如，若已知⊙O半徑為5，弦AB長6，將⊙O沿AB折疊后，求圓心O到折痕AB的距離。此時，折痕AB是弦，根據(jù)垂徑定理，圓心到AB的距離d滿足d2+(AB/2)2=r2，即d2+32=52，解得d=4。08典型例題：從單一到綜合的實戰(zhàn)演練典型例題：從單一到綜合的實戰(zhàn)演練為幫助同學(xué)們深入理解，我們選取三類典型問題，逐步提升難度。1基礎(chǔ)型：點折疊后落在圓上例1：已知⊙O的半徑為6，點A在⊙O上，將⊙O沿折痕l折疊，使點A落在⊙O上的點A'處，且AA'=6√3。求折痕l到圓心O的距離。分析步驟：確定對稱關(guān)系：折痕l是AA'的垂直平分線，設(shè)AA'的中點為M，則l⊥AA'，且M在l上；利用垂徑定理：OA=OA'=6（半徑），△OAA'為等腰三角形，OM為底邊AA'的高；計算OM長度：在△OMA中，AM=AA'/2=3√3，OA=6，由勾股定理得OM=√(OA2-AM2)=√(36-27)=3；1基礎(chǔ)型：點折疊后落在圓上折痕l到O的距離：因M在l上，且l⊥AA'，所以O(shè)到l的距離即為OM=3（或考慮l是AA'的中垂線，O到l的距離等于OM，因M在l上）。答案：3。易錯點提醒：部分同學(xué)易混淆“折痕到圓心的距離”與“中點到圓心的距離”，需明確折痕是AA'的中垂線，中點M在折痕上，因此O到折痕的距離即為OM的長度。2提升型：弧折疊后與直徑重合例2：如圖，⊙O的直徑AB=10，將⊙O沿弦CD折疊，使弧AC折疊后恰好經(jīng)過點O。求弦CD的長度。分析步驟：標記折疊后的對應(yīng)點：設(shè)弧AC折疊后對應(yīng)弧A'C，A'為A的對應(yīng)點，因弧AC折疊后過O，故A'=O；確定對稱關(guān)系：折痕CD是AA'（即AO）的垂直平分線，設(shè)AO的中點為M，則M在CD上，且CD⊥AO；計算相關(guān)線段長度：AO=AB/2=5（因AB是直徑，半徑為5），所以O(shè)M=AO/2=2.5（M是AO中點）；2提升型：弧折疊后與直徑重合利用垂徑定理求CD：CD是⊙O的弦，圓心O到CD的距離為OM=2.5，半徑r=5，由垂徑定理得CD=2√(r2-OM2)=2√(25-6.25)=2√18.75=2×(5√3)/2=5√3。答案：5√3。關(guān)鍵思路：弧折疊后過圓心，說明原弧上的點A折疊后對應(yīng)圓心O，因此折痕是AO的垂直平分線，結(jié)合垂徑定理即可求解。3綜合型：多次折疊與角度結(jié)合例3：如圖，⊙O中，∠AOB=120，將⊙O沿弦AC折疊，使點B落在弧AB上的點B'處，求∠B'AC的度數(shù)。分析步驟：折疊性質(zhì)應(yīng)用：折疊后，∠BAC=∠B'AC（對稱軸AC平分∠BAB'），且AB=AB'（軸對稱對應(yīng)線段相等）；圓心角與圓周角關(guān)系：∠AOB=120，則弧AB的度數(shù)為120，圓周角∠ACB=60（圓周角是圓心角的一半）；構(gòu)造等腰三角形：OA=OB=OA=OB'=r（半徑），△OAB中，OA=OB，∠AOB=120，故∠OAB=∠OBA=30；3綜合型：多次折疊與角度結(jié)合求∠B'AC：設(shè)∠BAC=α，則∠BAB'=2α，弧BB'的度數(shù)=2α×2=4α（圓心角是圓周角的2倍）；原弧AB度數(shù)為120，折疊后弧AB'=弧AB-弧BB'=120-4α；同時，弧AB'的度數(shù)也等于2∠ACB'（圓周角定理），而∠ACB'=∠ACB=60（折疊后角度不變），故弧AB'=120；因此120-4α=120，解得α=0？這顯然矛盾，說明分析有誤。修正思路：正確方法應(yīng)為——折疊后，點B關(guān)于AC的對稱點B'在弧AB上，故AC是BB'的垂直平分線，OB=OB'=r，△OBB'為等腰三角形；∠AOB=120，設(shè)∠B'AC=θ，則∠BAC=θ，∠BAB'=2θ，弧BB'的度數(shù)=2×2θ=4θ（圓心角為2×圓周角）；原弧AB度數(shù)為120，故弧AB'=弧AB-弧BB'=120-4θ；另一方面，OB'=OB=r，△OBB'中，3綜合型：多次折疊與角度結(jié)合∠BOB'=弧BB'的度數(shù)=4θ，由等腰三角形性質(zhì)，∠OBB'=(180-4θ)/2=90-2θ；又∠OBA=30（△OAB中），故∠ABB'=∠OBA+∠OBB'=30+90-2θ=120-2θ；而折疊后，∠AB'C=∠ABC（對應(yīng)角相等），∠ABC=∠OBA=30（因OB=OC？不，C是弦AC上的點，需重新考慮）。正確解答：連接OB'，因折疊，AC是BB'的中垂線，故AB=AB'，∠BAC=∠B'AC=θ；OA=OB=OB'=r，△OAB和△OAB'均為等腰三角形；∠AOB=120，∠AOB'=∠AOB-∠BOB'=120-∠BOB'；又AB=AB'，故△ABO≌△AB'O（SSS），∠OAB=∠OAB'=30；因此∠BAB'=∠OAB'-∠OAB=0？顯然錯誤，說明需換用另一種方法：3綜合型：多次折疊與角度結(jié)合設(shè)圓心為O，連接OC，因AC是折痕，故OC⊥BB'（垂徑定理），且OB=OB'=r；∠AOB=120，設(shè)∠B'AC=θ，則∠BAC=θ，∠OAC=∠OAB-θ=30-θ（因∠OAB=30）；在△AOC中，OA=OC=r，∠AOC=2∠ABC=2×(180-120)/2=60（圓周角定理），故△AOC為等邊三角形，AC=r；折疊后，AB'=AB=2r×sin60=√3r（△OAB中，AB=2r×sin(120/2)=√3r）；在△AB'C中，AC=r，AB'=√3r，∠B'AC=θ，由余弦定理：B'C2=AB'2+AC2-2AB'×AC×cosθ=3r2+r2-2×√3r×r×cosθ=4r2-2√3r2cosθ；另一方面，B'C=BC（折疊對應(yīng)線段相等），BC在△OBC中，∠BOC=∠AOB-∠AOC=120-60=60，故BC=r（等邊三角形），因此4r2-2√3r2cosθ=r2，解得cosθ=√3/2，θ=30。3綜合型：多次折疊與角度結(jié)合答案：30。總結(jié)：綜合題需結(jié)合折疊的對稱性、圓周角定理、余弦定理等，關(guān)鍵是找到對應(yīng)線段和角度的等量關(guān)系，必要時通過輔助線（如連接圓心與對應(yīng)點）構(gòu)造特殊三角形。09總結(jié)提升：折疊問題的本質(zhì)與思維進階1核心本質(zhì)圓的折疊問題，本質(zhì)是軸對稱變換與圓的幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用。折痕作為對稱軸，既是對應(yīng)點連線的垂直平分線，又可能是圓的直徑、弦或其他特殊線；而圓的半徑相等、垂徑定理、圓心角與圓周角的關(guān)系，則為建立幾何方程提供了關(guān)鍵依據(jù)。2思維進階建議畫圖標記：遇到折疊問題，先畫出原圖形和折疊后的圖形，用不同顏色標記對應(yīng)點（如A→A'）、折痕l，明確已知量（半徑、弦長、角度）和未知量；逆向推導(dǎo)：若直接求解困難，可從目標出發(fā)，思考需要哪些條件（如求弦長需圓心到弦的距離，求角度需找對應(yīng)圓心角）；積累模型：常見模型包括“點折疊后落圓心”“弧折疊后過直徑端點”“多次折疊角度疊加”，熟悉這些模型可快速找到解題突破口。3