上海市東昌中學(xué)2026屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．與的等差中項(xiàng)是（）A. B.C. D.2．已知是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.3．若方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則角所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是19世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析作出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間內(nèi)恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為“凸函數(shù)”，則下列函數(shù)在其定義域內(nèi)是“凸函數(shù)”的是（）A. B.C. D.5．已知圓與直線，則圓上到直線的距離為1的點(diǎn)的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.46．?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合也可以組成世間萬物的絢麗畫面，-些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對稱美、和諧美的產(chǎn)物.曲線C：為四葉玫瑰線.①方程(xy<0)表示的曲線在第二和第四象限；②曲線C上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離都不超過2；③曲線C構(gòu)成的四葉玫瑰線面積大于4π；④曲線C上有5個整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)).則上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.47．已知，分別是圓和圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（）A. B.C. D.8．某高中學(xué)校高二和高三年級共有學(xué)生人，為了解該校學(xué)生的視力情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從三個年級中抽取一個容量為的樣本，其中高一年級抽取人，則高一年級學(xué)生人數(shù)為（）A. B.C. D.9．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F,雙曲線C的右支上有一點(diǎn)P滿是(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)),那么雙曲線C的離心率為()A. B.C. D.10．設(shè)命題，則為A. B.C. D.11．過原點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A B.C. D.12．若雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一個原理“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，則該幾何體的體積為________.14．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則面積的最大值為__________.15．已知圓，圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________16．在數(shù)列中，，，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則=___.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知動圓過點(diǎn)，且與直線：相切（1）求動圓圓心的軌跡方程；（2）若過點(diǎn)且斜率的直線與圓心的軌跡交于兩點(diǎn)，求線段的長度18．（12分）已知函數(shù)在處有極值.（1）求的值；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值.19．（12分）已知圓M的圓心在直線上，且圓心在第一象限，半徑為3，圓M被直線截得的弦長為4.（1）求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線上的動點(diǎn)，證明：以MP為直徑的圓必過定點(diǎn)，并求所有定點(diǎn)的坐標(biāo).20．（12分）在數(shù)列中，,，數(shù)列滿足（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足，求的表達(dá)式；（3）令，對于大于的正整數(shù)、（其中），若、、三個數(shù)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，求符合條件的數(shù)組.21．（12分）已知點(diǎn)，直線：，直線m過點(diǎn)N且與垂直，直線m交圓于兩點(diǎn)A，B.（1）求直線m的方程；（2）求弦AB的長.22．（10分）有一種魚的身體吸收汞，當(dāng)這種魚身體中的汞含量超過其體重的1.00ppm（即百萬分之一）時，人食用它，就會對人體產(chǎn)生危害．現(xiàn)從一批該魚中隨機(jī)選出30條魚，檢驗(yàn)魚體中的汞含量與其體重的比值（單位：ppm），數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：0.070.240.390.540.610.660.730.820.820.820.870.910.950.980.981.021.021.081.141.201.201.261.291.311.371.401.441.581.621.68（1）求上述數(shù)據(jù)的眾數(shù)，并估計(jì)這批魚該項(xiàng)數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)；（2）有A，B兩個水池，兩水池之間有8個完全相同的小孔聯(lián)通，所有的小孔均在水下，且可以同時通過2條魚①將其中汞的含量最低的2條魚分別放入A水池和B水池中，若這2條魚的游動相互獨(dú)立，均有的概率進(jìn)入另一水池且不再游回，求這兩條魚最終在同一水池的概率；②將其中汞的含量最低的2條魚都先放入A水池中，若這2條魚均會獨(dú)立地且等可能地從其中任意一個小孔由A水池進(jìn)入B水池且不再游回A水池，求這兩條魚由不同小孔進(jìn)入B水池的概率

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】代入等差中項(xiàng)公式即可解決.【詳解】與的等差中項(xiàng)是故選：A2、B【解析】令，再結(jié)合，和已知條件將問題轉(zhuǎn)化為，最后結(jié)合單調(diào)性求解即可.【詳解】解：令，則，因?yàn)?，所以，即函?shù)為上的增函數(shù)，因?yàn)椋坏仁娇苫癁?，所以，故不等式的解集為故選：B3、D【解析】根據(jù)題意得出的符號，進(jìn)而得到的象限.【詳解】由題意，，所以在第四象限.故選：D.4、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)公式求各函數(shù)二階導(dǎo)函數(shù)，判斷其在定義域上是否恒有，即可知正確選項(xiàng).【詳解】A：，則，顯然定義域內(nèi)有正有負(fù)，故不是“凸函數(shù)”；B：，則，故是“凸函數(shù)”；C：，則，故不是“凸函數(shù)”；D：，則，顯然定義域內(nèi)有正有負(fù)，故不是“凸函數(shù)”；故選：B5、B【解析】根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷.【詳解】由得，則圓的圓心為，半徑，由，則圓心到直線的距離，∵，∴在圓上到直線距離為1的點(diǎn)有兩個.故選：B.6、B【解析】對于①，由判斷，對于②，利用基本不等式可判斷，對于③，以為圓心，2為半徑的圓的面積與曲線圍成的面積進(jìn)行比較即可，對于④，將和聯(lián)立，求解出兩曲線的切點(diǎn)，從而可判斷【詳解】對于①，由，得異號，方程(xy<0)關(guān)于原點(diǎn)及y=x對稱，所以方程(xy<0)表示的曲線在第二和第四象限，所以①正確，對于②，因?yàn)椋?，所以，所以，所以由曲線的對稱性可知曲線C上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離都不超過2，所以②正確，對于③，由②可知曲線C上到原點(diǎn)的距離不超過2，而以為圓心，2為半徑的圓的面積為，所以曲線C構(gòu)成的四葉玫瑰線面積小于4π，所以③錯誤，對于④，將和聯(lián)立，解得，所以可得圓與曲線C相切于點(diǎn)，，，，而點(diǎn)（1，1）不滿足曲線方程，所以曲線在第一象限不經(jīng)過任何整數(shù)點(diǎn)，由曲線的對稱性可知曲線在其它象限也不經(jīng)過任何整數(shù)點(diǎn)，所以曲線C上只有1個整點(diǎn)（0，0），所以④錯誤，故選：B7、B【解析】由已知可得，，求得關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則解得，則因?yàn)?，分別在圓和圓上，所以，，則因?yàn)?，所以故選：B.8、B【解析】先得到從高二和高三年級抽取人，再利用分層抽樣進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)高一年級學(xué)生人數(shù)為，因?yàn)閺娜齻€年級中抽取一個容量為的樣本，且高一年級抽取人，所以從高二和高三年級抽取人，則，解得，即高一年級學(xué)生人數(shù)為.故選：B9、D【解析】分析焦點(diǎn)三角形即可【詳解】如圖,設(shè)左焦點(diǎn)為,因?yàn)?所以不妨設(shè),則離心率故選:D10、C【解析】特稱命題的否定為全稱命題，所以命題的否命題應(yīng)該為，即本題的正確選項(xiàng)為C.11、A【解析】直線AC、BD與坐標(biāo)軸重合時求出四邊形面積，與坐標(biāo)軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，由橢圓性質(zhì)知，四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)為橢圓頂點(diǎn)時，而，四邊形ABCD的面積，當(dāng)直線AC斜率存在且不0時，設(shè)其方程為，由消去y得：，設(shè)，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A12、A【解析】首先求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)可得雙曲線方程中的的值，然后可得答案.【詳解】橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，，因?yàn)椋?，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，由，求得底面半徑，進(jìn)而得到高，再利用錐體的體積公式求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l，高為h，底面半徑為r，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，所以，解得，所以，所以圓錐的體積為：，故該幾何體的體積為，故答案為：14、##【解析】先求出的范圍，再利用面積公式可求面積的最大值.【詳解】圓即為，直線為過原點(diǎn)的直線，如圖，連接，故，解得，此時，故的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時即，故答案為：.15、【解析】根據(jù)題干求得圓的圓心及半徑，再利用圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上確定圓的圓心及半徑.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，半徑為由圓心在直線上，可設(shè)因?yàn)榕c軸相切，與圓外切，于是圓的半徑為，從而，解得因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：【點(diǎn)睛】判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．兩圓相切注意討論內(nèi)切外切兩種情況.16、930【解析】當(dāng)為偶數(shù)時，，所以數(shù)列前60項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和，當(dāng)為奇數(shù)時，，因此數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為2等差數(shù)列，前60項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為，所以.考點(diǎn)：遞推數(shù)列、等差數(shù)列.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由題意分析圓心符合拋物線定義，然后求軌跡方程；（2）直接聯(lián)立方程組，求出弦長.【詳解】解：（1）圓過點(diǎn)，且與直線相切點(diǎn)到直線的距離等于由拋物線定義可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、以為準(zhǔn)線的拋物線，依題意，設(shè)點(diǎn)的軌跡方程為，則，解得，所以，動圓圓心的軌跡方程是（2）依題意可知直線，設(shè)聯(lián)立，得，則，所以，線段的長度為【點(diǎn)睛】（1）待定系數(shù)法、代入法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.18、（1），；（2）最大值為，最小值為【解析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在處取極值得出，再由極值為，得出，構(gòu)造一個關(guān)于的二元一次方程組，便可解出的值；（2）由（1）可知，求出，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在上的單調(diào)性，比較極值和端點(diǎn)值的大小，即可得出在上的最大值與最小值.【詳解】解：（1）由題可知，，的定義域?yàn)?，，由于在處有極值，則，即，解得：，，（2）由（1）可知，其定義域是，，令，而，解得，由，得；由，得，則在區(qū)間上，，，的變化情況表如下：120單調(diào)遞減單調(diào)遞增可得，，，由于，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查已知極值求參數(shù)值和函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值問題，考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)在給定閉區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，以及通過比較極值和端點(diǎn)值確定函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值，考查運(yùn)算能力.19、（1）；（2）證明見解析，定點(diǎn)和.【解析】(1)根據(jù)給定條件設(shè)出圓心坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算作答.(2)設(shè)點(diǎn)，求出圓的方程，結(jié)合方程求出其定點(diǎn).【小問1詳解】因圓M的圓心在直線上，且圓心在第一象限，設(shè)圓心，且，圓心到直線的距離為，又由解得，從而，而，解得，所以圓M的方程為.【小問2詳解】由(1)知：，設(shè)點(diǎn)，，設(shè)動圓上任意一點(diǎn)當(dāng)與點(diǎn)P，M都不重合時，，有，當(dāng)與點(diǎn)P，M之一重合時，對應(yīng)為零向量，也成立，，，，化簡得：，由，解得或，所以以MP為直徑的圓必過定點(diǎn)和.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：待定系數(shù)法求圓的方程，由題設(shè)條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個獨(dú)立等式20、（1）證明見解析，；（2）；（3）.【解析】（1）由已知等式變形可得，利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立，確定等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，然后分、兩種情況討論，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可得出的表達(dá)式；（3）求得，分、、三種情況討論，利用奇數(shù)與偶數(shù)的性質(zhì)以及整數(shù)的性質(zhì)可求得、的值，綜合可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：由可得，，則，，以此類推可知，對任意的，，則，故數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，故，可得.【小問2詳解】解：由（1）知，所以，所以，當(dāng)n＝1時，，