自考?xì)v年線性代數(shù)考試試題及答案解析精選

第壹部分選擇題(共28分)

一、軍項(xiàng)選擇題［本大題共14小題,每題2分,共28分］在每題列出的四低

選項(xiàng)中只有壹種是符合題目規(guī)定的將其代碼填在題彳爰的括號(hào)內(nèi).金普選或未選均

^分.

1、設(shè)行列式/，二n,則行列式等于口

A、m+nB、一(m+n)

C^n—mD、m-n

2、設(shè)矩陣A二,則Ar等于口

A、B、

C、D、

3、設(shè)矩陣A二,A*是A的伴隨矩陣,則A*中位于［1,2］的元素是口

A、-6B、6

C、2D、一2

4、設(shè)A是方陣,如有矩陣關(guān)系式AB二AC,則必有口

A、A=0B、3c畤A=0

C、AOB=CD、|A|OH$B=C

5、已知3X4矩陣A的行向量組線性瓢關(guān)，則秩［A］等于口

A、1B、2

C、3D、4

6、設(shè)兩佰I向量組ai,a2,…,一和03,…，氏均線性有關(guān)，則口

A、有不全懸0的數(shù)入1,入2,…，入s使人Ia1+入2。2+…+入5。s=0和入1B1+入282+…

入凡二0

有不全懸0的數(shù)21,人力…，入'使人』Q1+B1+入21a2+B2】+…+入」Qs-B51=0

+，+a

C、有不全卷0的數(shù)入2,…，入s使入Ja1-P)］+X2［a2—P2］**s—B

s］=0

D、有不全卷0的數(shù)人】，入2,…，入6和不全卷0的數(shù)PI,口2,…，入使入1。廿入2

a2+…+-,a尸0和rIBi+口2B2+,??+UsB?=0

7、設(shè)矩陣A的秩卷r,則A中口

A、所有r-1階子式都不懸0B、所有r-1階子式全卷0

C、至少有青種r階子式不等于0D、所有r階子式都不卷0

8、設(shè)Ax二b是壹非齊次線性方程組，入，n2是其任意2倜解，則下面盆?論^誤的是

A^n1+「2是Ax=o的壹種解B、n1+。2是Ax=b的壹種解

C、口「42是A*二0的壹種解D、2n「是Ax二b的壹種解

9、設(shè)n階方陣A不可逆，則必有口

A、秩(A)<nB、秩(A)=n—1

C、A=0D、方程組Ax=O只有零解

10、設(shè)A是壹種n(23)階方陣,下面陳^中封的的是口

A、如存在數(shù)A和向量a使Aa二人。，則。是A的屬于特罷占值人的特黠向量

B、如存在數(shù)X和非零向量Q,使(AE-A)a=0,則人是A的特粘,值

C、A的2偃|不壹樣的特黠值可以有同壹種特黑占向量

D、如入1,入2,入3是A的3(0互不相似的特黠值，aba2,a3依次是A的屬于人

i,入2,入3的特黠向量，則ai,a2,s有也^線性有關(guān)

11、設(shè)入。是矩陣A的特粘方程的3重根,A的屬于入。的線性輾關(guān)的特黠向量的

他數(shù)卷k,則必有口

A、kW3B、k<3

C、k=3D、k>3

12、設(shè)A是正交矩陣則下面結(jié)論金昔誤的是口

A、|A「必卷1B、|A|必卷1

C、AfiD、A的行［列］向量組是正交軍位向量組

13、設(shè)A是實(shí)封稱矩陣,C是實(shí)可逆矩陣,B=C'AC、則口

A、A和B相似

B、A和B不等價(jià)

C、A和B有相似的特黠值

D、A和B協(xié),議

14、下面矩陣中是正定矩陣的卷口

A、B、

C、D、

第一部分非選擇題［共72分］

二、填空題［本大題共10小題,每題2分,共20分］不寫解答謾程,將封的的答

案寫在每題的空格內(nèi).余昔填或不填均瓢分.

15>_________

16、設(shè)A=,B=、則A+2B=

17、設(shè)A=(aij)3x3,IA|=2,A“表達(dá)|A|中元素a”的代數(shù)余子式[i,j=l,2,3],則

(anAzi+a】2A22+a]3AJ+(Ai+a22A22+a23A23)+(a31A21+a32A22+a33A23)=

18、設(shè)向量⑵-3,5］和向量［-4,6,a］線性有關(guān),則a二、

19、設(shè)A是3X4矩陣,其秩卷3,若明,n2卷非齊次線性方程組Ax二b的2彳固不

壹樣的解,則它的通解卷、

20、設(shè)A是mXn矩陣,A的秩卷r(<n),則齊次線性方程組Ax=0的壹種基礎(chǔ)解系

中具有解的低1數(shù)懸、

21、設(shè)向量Q、B的畏度依次卷2和3,則向量a+B和a—B的內(nèi)積［a+B,a

—P］=、

22、設(shè)3階矩陣A的行列式A|=8,已知A有2他特黠值一1和4,則另壹特黠值

23、設(shè)矩陣A二，已知a二是它的壹種特黠向量，則a所封應(yīng)的特黠值卷

24、設(shè)實(shí)二次型f(xbX%x3,xi,x5)的秩懸4,正慣性指數(shù)卷3,則其規(guī)范形

_______、

三、計(jì)算題［本大題共7小題,每題6分，共42分］

25、設(shè)A=,B=、求⑴AB\［2］|4A|、

26、試計(jì)算行列式、

27、設(shè)矩陣A=,求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B、

28、幺合定向量組a,=,a2=,a3=,a產(chǎn)、

試判斷Q,與否卷J,a2,Q.的線性組合；若是，則求出組合系數(shù).

29、設(shè)矩陣A=、

求：［1］秩［A］；

［2］A的列向量紀(jì)的壹種最大線性輾關(guān)組.

30、設(shè)矩陣A二的所有特黠值懸1,1和一8、求正交矩陣T和封角矩陣D,使『AT二D、

31、試用配措施化下面二次型卷原則形

f(X1,x2,x3)=,

并寫出所用的滿秩線性變換.

四、證明題［本大題共2小題,每題5分，共10分］

32、設(shè)方陣A滿足AW),試證明E-A可逆，且［E—A］T=E+A+A2、

33、設(shè)n。是非齊次線性方程組Ax二b的壹種特解，工上是其導(dǎo)出組Ax=0的壹

種基礎(chǔ)解系、試證明

［1］ni=n0+C1,一二八+一均是人乂丸的解;

［2］n。，nI,n2線性融關(guān).

答案：

壹、甲.項(xiàng)選擇題［本大題共14小題,每題2分，共28分］

1、D2、B3、B4、D5、C

6、D7、C8、A9、A10、B

11、A12、B13、D14、C

二、填空題［本大題共10空,每空2分，共20分］

15、6

16、

17、4

18、-10

19、ni+c(n2—ni)［或n2+c(n2—ni)］,c■^任意常數(shù)

20>n一r

21、-5

22、-2

23、1

24、

三、計(jì)算題［本大題共7小題,每題6分，共42分］

25、解⑴ABJ

一、

⑵14Al=41A］=64|A|,而

|A|=>

因此14Al=64-［-2］=—128

26、解

27、解AB=A+2B即[A-2E]B=A,而

[A-2E]-'=

因此B二(A—2E)-A二

28、解壹

因此Q4=2ai+a2+a3,組合系數(shù)而2,1,1］、

解二考慮a4=Xia］+x2。2+X3Q3,

即

方程組有唯壹解［2,L組合系數(shù)卷［2,1,1］、

29、解封矩陣A施行初等行變換

A

二B、

⑴秩皿=3,因此秩[A]:秩此秋3、

[2]由于A和B的列向量組有相似的線性關(guān)系,而B是階梯形,B的第1、

2、4列是B的列向量組的壹種最大線性輾關(guān)組，故A的第1、2、4列是A的

列向量組的壹種最大線性輾關(guān)組.

[A的第1、2、5列或1、3、4歹U,或1、3、5列也是]

30、解A的屬于特黠值入=1的2倜線性輾關(guān)的特黠向量卷

"=[2,—1,0了，，=⑵。,UT>

正交原則化得n2=.

入二-8的壹種特黠向量卷

g3二,位化得n3=

所求正交矩陣^T二、

封角矩陣D=

[也可取T=、]

=222

31、解f(Xi,x2,X3)[XI+2X2—2X3]—2X2+4X2X3—7x3

22

=[XI+2X2-2x3]—2[x2-x3]-5X3\

設(shè)，即，

因其系數(shù)矩陣O可逆，故此線性變換滿秩.

^此變換即得f(xb羽x3)的原則形

22

Yi-2y2—5yA

四、證明題[本大題共2小題，每題5分，共10分]

32、證由于[E—A][E+A+A2]=E—A3=E,

因此E-A可逆,且

[E—A]-1=E+A+A\

33、證由假設(shè)An產(chǎn)b,AL=0,AW2=0、

[1]An,=A[no+Ci]=An0+A€i=b,同理An2二b,

因此n1,n2是Ax=b的2他I解.

[2]考慮loHo+1)ni+12H2=0,

即[I0+L+I2]no+L&i+k82=0、

則lo+L+b=O,否貝iJn0將是Ax=0的解，矛盾.因此

liCi+l2C2=0、

又由假設(shè)，",€2線性輾關(guān),因此1尸0,1尸0,彳花而1。=0、

因此n0,n1,n2線性輾關(guān).

線性代數(shù)期末考試題

壹、填空題[將封的答案填在題中橫線上.每題2分，共10分]

1>若,則?

2、若齊次線性方程組只有零解，則應(yīng)滿足.

3、已知矩陣，滿足，則和分別是階矩陣.

4、矩陣的行向量組線性.

5、階方陣滿足，則.

二、判斷正誤[封的的在括號(hào)內(nèi)填"誤的在括號(hào)內(nèi)填"X”.每題2分，共

10分]

1、若行列式中每值1元素都不小于零，則.口

2、零向量壹定可以表到達(dá)任意壹組向量的線性組合.口

3、向量組中，假如和封應(yīng)的分量成比例，則向量組線性有關(guān).口

4、,貝IJ.□

5、1卷可逆矩陣的特罷占值，則的特粘值卷<>

三、單項(xiàng)選擇題（每題僅有壹種封的答案，將封的答案題號(hào)填入括號(hào)內(nèi).

每題2分，共10分）

1、設(shè)懸階矩陣，且，則口.

①②③④4

2、維向量組［3?sVn］線性輾關(guān)的充要條件是口.

①中任意兩保I向量都線性罪關(guān)

②中存在壹種向量不能用其他向量線性表達(dá)

③中任壹種向量都不能用其他向量線性表達(dá)

④中不含零向量

3、下面命題中封的的是?.

①任意倜維向量線性有關(guān)

②任意彳固維向量線性輾關(guān)

③任意倜維向量線性有關(guān)

④任意他I維向量線性輾關(guān)

4、設(shè)，均懸n階方陣，下面結(jié)論封的的是?.

①若，均可逆，則可逆②若，均可逆，則可逆

③若可逆,則可逆④若可逆，則,均可逆

5、若是線性方程組的基礎(chǔ)解系，則是的口

①解向量②基礎(chǔ)解系③通解④A的行向量

四、計(jì)算題（每1S9分，共63分）

1、計(jì)算行列式.

解?

2、設(shè),且求.

解、，

3、設(shè)且矩陣滿足關(guān)系式求.

4、冏取何值畤，下面向量組線性有關(guān)?.

5、卷何值H寺,線性方程組有唯壹解,輾解和有輾窮多解?常方程組有輾窮多解畤求

其通解.

①常且畤,方程組有唯壹解；

②常畤方程組輾解

③常畤，有瓢窮多組解,通解卷

6、設(shè)求此向量組的秩和壹種極大輾關(guān)組,并將其他向量用該極大輾關(guān)組線件表達(dá).

7、設(shè)，求的特黠值及封應(yīng)的特黠向量.

五、證明題（7分）

若是階方陣,且證明.其中四單位矩陣.

XXX大摯線性代數(shù)期末考試題答案

壹、填空題

1、52、3、4、有關(guān)

5、

二、判斷正誤

1、X2、J3、J4、J5、X

三、單項(xiàng)選擇題

1、③2、③3、③4、②5、①

四、計(jì)算題

1、

2、

3、

4、

?；蚩谒?，向量組線性有關(guān).

5、

①富且H寺,方程組有唯壹解；

②常疇方程組輾解

③常畤，有瓢窮多組解,通解卷

6、

則，其中構(gòu)成極大輾關(guān)組，

7、

特黠值，封于入1=1,,特黠向量懸

五、證明題

【線性代數(shù)】復(fù)習(xí)提綱

第壹部分:基本規(guī)定［計(jì)算方面］

四階行列式的計(jì)算；

N階特殊行列式的計(jì)算［如有行和、列和相等］;

矩陣的運(yùn)算［包括加、減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、逆等的混合運(yùn)算］;

求矩陣的秩、逆［兩種措施］;解矩陣方程；

含參數(shù)的線性方程組解的狀況的討論；

齊次、非齊次線性方程組的求解［包括唯壹、輾窮多解］;

討論壹種向量能否用和向量組線性表達(dá)；

討論或證明向量組的有關(guān)性；

求向量組的極大輾關(guān)組,并將多出向量用極大輾關(guān)組線性表達(dá)；

將輾關(guān)組正交化、軍位化；

求方陣的特粘值和特粘向量；

討論方陣能否封角化如能,要能寫出相似變換的矩陣及封角陣；

通謾正交相似變換［正交矩陣］將封稱矩陣封角化；

寫出二次型的矩陣,并將二次型原則化,寫出變換矩陣；

鑒定二次型或封稱矩陣的正定性.

第二部分:基本知識(shí)

堂、行列式

1、行列式的定義

用Z2俯I元素aij構(gòu)成的記號(hào)稱懸n階行列式.

口］它表達(dá)所有也言午的取自不壹樣行不壹樣列的n值I元素乘積的代數(shù)和;

［2］展^式共有n!項(xiàng),其中符號(hào)正負(fù)各半；

2、行列式的計(jì)算

壹階IQI二a行列式，二、三階行列式有封角線法則；

N階［n>=3］行列式的計(jì)算：降階法

定理:n階行列式的值等于它的任意壹行［列］的各元素和其封應(yīng)的代數(shù)余子式乘

積的和.

措施:選用比較簡(jiǎn)樸的壹行［列］，保保留壹種非零元素,其他元素化懸0,運(yùn)用定

理展^降階.

特殊狀況

上、下三角形行列式、封角形行列式的值等于主封角線上元素的乘積；

［2］行列式值卷0的幾種狀況：

I行列式某行［列］元素全卷0;

II行列式某行［列］的封應(yīng)元素相似；

III行列式某行［列］的元素封應(yīng)成比例；

IV奇數(shù)階的反封稱行列式.

二、矩陣

1、矩陣的基本概念［表達(dá)符號(hào)、某些特殊矩陣一一如罩位矩陣、封角、封稱矩

陣等］;

2、矩陣的運(yùn)算

［1］加澗；、數(shù)乘、乘法運(yùn)算的條件、成果；

［2］有關(guān)乘法的幾種結(jié)論：

①矩陣乘法壹般不滿足互換律［若AB=BA,稱A、B是可互換矩陣］；

②矩陣乘法壹般不滿足消去律、零因式不存在；

③若A、B懸同階方陣，則|AB|=|A|*|B|；

?|kA|=k"n|A|

3、矩陣的秩

［1］定義非零子式的最大階數(shù)稱卷矩陣的秩；

［2］秩的求法壹般不用定義求,而用下面皓論：

矩陣的初等變換不變化矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的數(shù)［每行的第壹

種非零元所在列,徙此元卻始往下全懸0的矩陣稱卷行階梯陣］.

求秩:運(yùn)用初等變換將矩陣化卷階梯陣得秩.

4、逆矩陣

［1］定義:A、B卷n階方陣,若AB=BA=I,稱A可逆,B是A的逆矩陣［滿足半邊也

成立］;

［2］性質(zhì)：(AB)=1=(B(A'廠-1=(A、1)'；(AB的逆矩陣,您懂

的)［注意次序］

［3］可逆的條件：

①|(zhì)A|W0；②r(A)=n;③A->1;

［4］逆的求解

伴隨矩陣法A、1=(1/|A|)A*；(A*A的伴隨矩陣~)

②初等變換法(施行初等變換)

5、用逆矩陣求解矩陣方程：

AX=B,則X=［AA-1］B；

XB=A,則X=B(A^-1)；

AXB=C,則X=(A^1)C(B*-1)

三、線性方程組

1、瘋生方程向解的鑒定

定理：

(l)r(A,b)Wr(A)輾解；

(2)r(A,b)=r(A)二n有唯壹解；

(3)r(A,b)=r(A)<n有輾窮多組解;

尤其地:封齊次線性方程組AX=O

(l)r(A)=n只有零解：(2)r(A)〈n有非零解：

再尤其,若懸方陣，(1)IA|#0只有零解(2)|A|=0有非零解

2、齊次線性方程組

［1］解的狀況:r(A)=n,［或系數(shù)行列式DW0］只有零解；

r(A)<n,［或系數(shù)行列式D=O］有題窮多組非零解.

［2］解的構(gòu)造：

X=clcil+c2a2+***+Cn-ran-r.

［3］求解的措施和環(huán)節(jié)：

①將增廣矩陣通謾行初等變換化卷最簡(jiǎn)階梯陣；

②寫出封應(yīng)同解方程組；

③移項(xiàng),運(yùn)用自由未知數(shù)表達(dá)所有未知數(shù)；

④表達(dá)出基礎(chǔ)解系；

⑤寫出通解.

3、非齊次線性方程組

［1］解的狀況:運(yùn)用鑒定定理.

［2］解的構(gòu)造：X=u+clal+c2a2+…+Cn-ran-r.

［3］輾窮多組解的求解措施和環(huán)節(jié)：和齊次線性方程組相似.

［4］唯宜解的解法:布?克萊姆法則、逆矩陣法、消元法［初等變換法］.

四、向量組1、N維向量的定義注響量實(shí)際上就是特殊的矩陣［行矩陣和列矩陣］.

2、向量的運(yùn)算：

［1］加減、數(shù)乘運(yùn)算［和矩陣運(yùn)算相似］;

［2］向量?jī)?nèi)積a'B=albl+a2b2+…+anbn；

［3］向量辰度|a|=Va'a=J(al"2+a2c2+…+arT2)(J根號(hào))

［4］向量罩位化(1/|aI)a；

5］向量組的正交化［施密特措施］

設(shè)a1,a2,…，Qn線性輾關(guān),則

3l=a1,

B2=Q2-［a2'Bl/Bl'P］*P1,

B3=a3-［a3‘P1/PP一［a3‘62/B2'B2］*B2,......

3、線性組合

［1］定義若B=klQ1+1<2。2+~+101&11,則稱8是向量組。1,。2,…，Qn的壹種

線性組合，或稱B可以用向量組a1,a2,…，an的壹種線性表達(dá).

［2］鑒別措施將向量組合成矩陣，記

A=(a1,a2,???,an),B=(a1,a2,…，Qn,6)

若r(A)=r(B),則B可以用向量組a1,a2,…，Qn的壹種線性表達(dá)；

若r(A)#r(B),則6不可以用向量組a1,Q2,…，an的壹種線性表達(dá).

［3］求線性表達(dá)體琪式的措施：

將矩陣B施行行初等變換化卷最簡(jiǎn)階梯陣,則最終壹列元素就是表達(dá)的系數(shù).

4、向量組的線性有關(guān)性

［1］線性有關(guān)和線性輾關(guān)的定義設(shè)klal+k2a2+…+knan=0若kl,k2,…,kn

不全卷0,稱線性有關(guān)；若kl,k2,…,kn全為0,稱線性輾關(guān).

［2］鑒別措施:①r(a1,a2,???,an)<n,線性有關(guān)；r(a1,a2,????an)=n,線性輾

關(guān).②若有nn維向量,可用行列式鑒別：n階行列式aij=O,線性有關(guān)［WO輾

關(guān)］(行列式太不好打了)

5、極大輾關(guān)組和向量組的秩

［1］定義極大瓢關(guān)組所含向量f0數(shù)稱卷向量組的秩

⑵求法設(shè)A=(a1,a2,…，an),將A化卷階梯陣，則A的秩即卷向量組的秩，

而每行的第壹種非零元所在列的向量就構(gòu)成了極大瓢關(guān)組.

五、矩陣的特鉆值和特罷占向量

1、定義封方陣A,若存在非零向量X和數(shù)A使AX=NX,則稱入是矩陣A的特黠

值，向量X稱卷矩陣A的封應(yīng)于特黠值X的特黠向量.

2、特黠值和特黠向量的求解：求出特黠方程|入I-A=0的根即卷特黠值，將特黠

值X代入封應(yīng)齊次線性方程組(入I-A)X=O中求出方程組的所有非零解即卷特粘向量.

3、重要結(jié)論.

［1］A可立’的充要條件是A的特黠值不等于0；［2］A和A的轉(zhuǎn)置矩陣A'有相似的特

粘值；［3］不壹樣特黠值封應(yīng)的特罷占向量線性輾關(guān).

六、矩陣的相似

1、定義封同階方陣A、B,若存在可逆矩陣P,使P'lAP二B,則稱A和B相似.

2、求A和封角矩陣A相似的措施和環(huán)節(jié)［求P和八］:

求出所有特鉆值；求出所有特黠向量；

若所得線性輾關(guān)特粘向量低I數(shù)和矩陣階數(shù)相似,則A可封角化［否則不能封角化］,

將造n倜線性輾關(guān)特黠向量構(gòu)成矩陣即卷相似變換的矩陣P,依次將封應(yīng)特黠值構(gòu)成封

角陣即卷A.

3、求通謾正交變換Q和實(shí)封稱矩陣A相似的封角陣：

措施和環(huán)節(jié)和壹般矩陣相似，只是第三步要將所得特黠向量正交化且軍位化.

七、二次型1、定義n元二次多項(xiàng)式f(xl,x2,…，xn)=Eaijxixj稱懸二次型，若

aij=O(i^j),則稱卷二交型的原則型.i,j=l

2、二次型原則化：配措施和正交變換法.正交變換法環(huán)節(jié)和上面封角化完全相似,

道是由于封正交矩陣Q,Q~T=Q',即正交變換既是相似變換又是協(xié)議變換.

3、二次型或封稱矩陣的正定性：［1］定義［略］；［2］正定的充要條件:①A正定的

充要條件是A的所有特黠值都不小于0；②A卷正定的充要條件是A的所有次序主子式

都不小于0

高等教育自孥考試

試題部分

闡明：本卷中,A「表達(dá)矩陣A的轉(zhuǎn)置，屋表達(dá)向量a的轉(zhuǎn)置,E表達(dá)罩位矩陣，|A|表

達(dá)方陣A的行列式,A1表達(dá)方陣A的逆矩陣,r［A］表達(dá)矩陣A的秩、

壹、罩項(xiàng)選擇題［本大題共10小題,每題2分，共30分］

在每題列出的四他備選項(xiàng)中只有壹種是符合題目規(guī)定的將代碼填寫在題彳爰

的括號(hào)內(nèi)選、多選或未選均輾分.

1、設(shè)行列式口

A、B、1

C、2D、

2、設(shè)A,B,C卷同階可逆方陣，則［ABC「二口

A、A^B'C1B、C'B'A-'

C、C-,A'B-1D、At'B1

3、設(shè)Qha2,a以a1是4維列向量,矩陣A=［Q］，a*a*a］、假如IA|=2,則

|-2A|=［］

A、—32B、-4

C、4D、32

4、設(shè)ai,a方a的a4是三維實(shí)向量,則口

A、aa力a力a4壹定線性輾關(guān)B、a?壹定可由a力a力。4線性表出

C、aI,a2,a3,a4宜定線性有關(guān)D、ai,a2,a3壹定線性瓢關(guān)

5、向量組Q尸[1,0,0向a2=[1,1,0],Q3=[1,1,1]的秩卷口

A、1B、2

C、3D、4

6、設(shè)A是4X6矩陣,r[A]=2,則齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中所含向量的他

數(shù)是口

A、1B、2

C、3D、4

7、設(shè)A是mXn矩陣已知Ax二0只有零解，則如下結(jié)論封的的是口

A、m2nB、Ax=b[其中b是m維實(shí)向量]必有唯壹解

C、r[A>mD、Ax=0存在基礎(chǔ)解系

8、設(shè)矩陣A=，則如下向量中是A的特黠向量的是口

A、[1,1,1]TB、[1,1,3]T

C、[1,l,0]TD、[1,0,-3]T

9、設(shè)矩陣A二的三他特黠值分別懸入I,入2,入3,則入冬人2+入3=口

A、4B、5

C、6D、7

10、三元二次型f[xi,X2,xj=的矩陣卷口

A、B、

C、D、

二、填空題[本大題共10小題,每題2分，共20分]

^在每題的空格中填上封的答案.余昔填、不填均瓢分.

11、行列式=、

12、設(shè)A=，則內(nèi)二、

13、設(shè)方陣A滿足A3-2A+E=0,則[A2-2E]"=、

14、實(shí)數(shù)向量空間V={[xbx2,x3]IX]+x2+x3=0t的維數(shù)是、

15、設(shè)ai,a2是非齊次線性方程組Ax=b的解、則A[5c(2-4aJ三_______、

16、設(shè)A是mXn實(shí)矩陣,若r[ATA]=5,則r[A]=、

17、設(shè)線性方程組有輾窮多種解，則"______、

18、設(shè)n階矩陣A有壹種特黠值3,則|-3E+A|=、

19、設(shè)向量a=[1,2,-2],P=⑵a,3],且a和B正交,則a二、

20、二次型的秩懸、

三、計(jì)算題[本大題共6小題,每題9分，共54分]

21、計(jì)算4階行列式D二、

22、設(shè)A=，判斷A與否可逆,若可逆，求其逆矩陣A，

23、設(shè)向量a=[3,2],求[a%”、

24、設(shè)向量組a尸口,2,3,6],a2=[l,-l,2,4],c3=[-l,1,-2,-8],。產(chǎn)[1,2,3,2設(shè)

[1]求該向量組的壹種極大線性輾關(guān)組；

[2]將其他向量表達(dá)懸該極大線性輾關(guān)組的線性組合、

線性代數(shù)試題

程代碼：04184

壹、單項(xiàng)選擇82[本大題共20小題,每題1分，共20分]

在每列出的四值I備選項(xiàng)中只有壹種是符合題目規(guī)定的，言青將其代碼填寫在題

彳爰的括號(hào)內(nèi).工普選、多選或未選均輾分.

1、已知2階行列式二m,二n,則二口

A、m-nB>n-mC>m+n。、-[m+n]

2、設(shè)A,B,C均卷n階方陣,AB=BA,AC=CA,則ABC二口

A、ACBB、CABC、CBAD、BCA

3、設(shè)3階方陣萬卷4階方陣，且行列式列|=1"B|=-2,則行列式||B|A|之值卷

[]

A、-8B、-2C、2D、8

4、口知A=,B=,P=,Q=,則B=[]

A、PAB、APC、QAD、AQ

5、已知A是壹種3X4矩陣，下面命題中封的的是口

A、若矩陣A中所有3階子式都卷0,則秩[A]=2B、若A中存在2階子式不卷0,則

秩[A]=2

C、若秩[A]=2,則A中所有3階子式都卷0D、若秩[A]=2,則A中所有2階子式都不

篇0

6、下面命題中鰭煲的是口

A、只具有壹種零向量的向量組線性有關(guān)B、由3他2維向量構(gòu)成的向量組線性

有關(guān)

C、由登種非零向量構(gòu)成的向量組線性有關(guān)D、兩低I成比例的向量構(gòu)成的向量組線

性有關(guān)

7、已知向量組aba2,a3線性輾關(guān)，□ba2,a3,3線性有關(guān),則口

A、a?必能由a2,a3,B線性表出B、a2必能由a?a3,S線性表出C、a必能

由aa力[3線性表出D、B必能由aba2,a3線性表出

8、設(shè)A卷mXn矩陣,m^n,則齊次線性方程組Ax二0只有零解的充足必要條件是A

的秩口

A、不不小于mB、等于mC、不不小于nD、等于n

9、設(shè)A卷可逆矩陣,則和A必有相似特黠值的矩陣卷口

A、A「B、A2C.A-D、A"

10、二次型f[x?x2,x]二的正慣性指數(shù)卷口

A、OB、IC、2D、3

二、填空題[本大題共10小題,每題2分，共20分]^在每題的空格中填上封的答

案填、不填均輾分.

11>行列式的值卷、

12,設(shè)矩陣A=,B=，則4B二、

13、設(shè)4維向量[3,7,0,2了,B=[3,1,T,4]T,若向量y滿足2丫=3B,則

Y=、

14、設(shè)A懸n階可逆矩陣,且|A|二,則|A-'|=、

15、設(shè)A卷n階矩陣,Bn階非零矩陣,若B的每壹種列向量都是齊次線性方程

組Ax=0的解,則|A|=、

16、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的低I數(shù)卷、

17、設(shè)n階可逆矩陣A的壹種特黠值是-3,則矩陣必有壹種特罷占值卷

18、設(shè)矩陣A二的特黠值卷4,1,-2,則數(shù)x=

19、已知A二是正交矩陣，則a+b=.

20>二次型f[xbx2,X31=-4X1X2+2X1X3+6X2X3的矩陣是

三、計(jì)算題[本大題共6小題,每題9分，共54分]

21、計(jì)算行列式D二的值.

22、已知矩陣8=[2,1,3],C=[1,2,3],求[1]A=Bt；[2"2.

23、設(shè)向量組求向量組的秩及宜種極大線性瓢關(guān)組,并用該極大線性輾關(guān)組表達(dá)

向量組中的其他向量.

24、已知矩陣A=,B=、[1]求AZ[2]解矩陣方程AX=B.

25、冏a檢何值H寺，線性方程組有惟壹解?有輾窮多解?并在有解H寺求出其解[在

有輾窮多解畤，規(guī)定用壹種特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表達(dá)所有解].

26、設(shè)矩陣A=的三偃|特黠值分別卷1,2,5,求正的常數(shù)a的值及可逆矩陣P,使

P'*AP=.

四、證明題[本題6分]

27、設(shè)A,B,A+B均。舄n階正交矩陣，證明[A+B]-'=AH+B

全國7月高等教育自季考試

試卷闡明:在本卷中，不表達(dá)矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣；A*表達(dá)A的伴隨矩陣；R(A)表達(dá)矩

陣A的秩；|A|表達(dá)A的行列式；E表達(dá)單位矩陣.

1、設(shè)3階方陣后[a-a2,QJ其中Qi(i=l,2,3)卷A的列向量，

若|B|=|[ai+2a一方&3]|=6,則|A|=[]A、-12B、-6C、6D、12

2、計(jì)算行列式[]A、-180B、-120C>120D、180

3、設(shè)A二,則|2A*|二[]A、-8B、-4C、4D、8

4、設(shè)al，a2,a3,ai都是3維向量,則必有

A、a”a幻a3,Q3線性輾關(guān)B、a”a幻a必Q，線性有關(guān)

C、a?可由a力a3,a?線性表達(dá)D、a?不可由a2,a3,?！咕€性表達(dá)

5、若A卷6階方陣，齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中解向量的他數(shù)卷2,則

R(A)=[]A>2B3C、4D、5

6、設(shè)A、B卷同階矩陣，且R(A)=R(B),則[]A、4和B相似B、|A|二|B|C、A和B

等價(jià)D、A和B協(xié)議

7、設(shè)A^3階方陣，其特鉆值分別卷2,1,0則|A+2E|=[]A、0B、2C、3D、24

8、若A、B相似，則下面^法?誤?的是[]A、A和B等價(jià)B、A和B協(xié)議C、|A|二|B|

D、A和B有相似特黠

9、若向量。=(1,-2,1)和8=(2,3,1)正交,則1=["、-2B、0C、2D、4

10、設(shè)3階實(shí)封稱矩陣A的特黠值分別卷2,1,0,則[]A、A正定B、A半正定C、A

負(fù)定D、A半負(fù)定

二、填空題(本大題共10小題,每題2分，共20分)耨在每題的空格中填上封的答

案.金昔填、不填均輾分.

|]、設(shè)A三R=,則AR=、

12、設(shè)A卷3階方陣且|A|=3,則|3AT=、

13、三元方程Xi+x2+x3=0的構(gòu)造解是、

14、設(shè)a=(-1,2,2),則和a反方向的^位向量是______、

15、設(shè)A懸5階方陣,且R(A)=3,則線性空間W={x|AxR}的維數(shù)是、

16、設(shè)A卷3階方陣,特黠值分別卷-2,,1,則15.「|=、

17、若A、B卷同階方陣，且Bx=0只有零解，若R(A)=3,則R(AB)=、

18、二次型f(Xi,X2,X3)=-2X]X2+-X2X3所封應(yīng)的矩陣是、

19、設(shè)3元非齊次線性方程組Ax=b有解a尸，a2=,且R(A)=2,則Ax=b的通解是

20、設(shè)a二，則A二aa1的非零特黠值是

三、計(jì)算題(本大題共6小題,每題9分,共54分)

21、計(jì)算5階行列式D=22、設(shè)矩陣X滿足方程X二求X、

23、求非齊次線性方程組

的構(gòu)造解、

24、求向量組a尸口,2,3,4],a2=[0,-1,2,3],o3=[2,3,8,11],

a4=[2,3,6,8]的秩、

25、己知A二的壹種特黠向量二[1,1,求a,b及所封應(yīng)的特黠值,并寫出封應(yīng)于

道他I特黠值的所有特粘向量、

26、用正交變換化二次型f(x?x2,xj二卷原則形,并寫出所用的正交變換、

四、證明題[本大題共1小題,6分]

27、設(shè)a”a2,Q3是齊次線性方程組Ax=o的壹種基礎(chǔ)解系、證明a),a1(a2,a2+

a3也是Ax=0的基礎(chǔ)解系、

全國10月高等教育自阜考試

線性代數(shù)(蟀管類)試題

程代碼:04184

闡明:在本卷中,N表達(dá)矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,A*表達(dá)矩陣A的伴隨矩陣,E是軍位矩

陣，IA|表達(dá)方陣A的行列式,