壓軸題（解答題一）

1.一個玻璃球體近似半圓O,AB為直徑，半圓0上點(diǎn)C處有個吊燈EF,EF//AB,CO_LAB,EF的中點(diǎn)為

D.0A=4.

圖①圖②圖③

（1）如圖①,CM為一條拉線,M在0B上，OM=1.6,DF=O.8,求CD的長度

⑵如圖②，一個玻璃鏡與圓0相切，H為切點(diǎn)，.M為0B上一點(diǎn)，MH為入射光線，NH為反射光線,

3

NOHM=NOHN=45",tan"0〃=彳求ON的長度.

⑶如圖③,M是線段0B上的動點(diǎn)，MH為入射光線，ZH0M=50°,HN為反射光線交圓。于*N,在M從

O運(yùn)動到B的過程中，求N點(diǎn)的運(yùn)動路徑長.

【答案】（1）2

⑵加亍?0

、“16

(3)4+—^

【分析】（1）由DF=0.8,0M=1.6,DF//OB,可得出DF為VCOM的中位線，可得出D為CO中點(diǎn)，即可

得出CD的長度：

（2）過N點(diǎn)儕DLOH,爻0H于點(diǎn)D,可得出△NHD為等模直角三角形,根據(jù)可得出

vn34

lan/NOQ==設(shè)ND=3x=DH,則OD=4x,根據(jù)OD+DH=OH,即可求得就一國再根據(jù)勾股

OD4等

定理即可得出答案；

（3）依題意得出點(diǎn)N路徑長為：0B+,推導(dǎo)得出NBOT=80。，即可計算給出，即可得出答案.

【詳解】（1）???DF=0.8,0M=1.6,DF"OB

DF為VCOM的中位線

AD為CO的中點(diǎn)

VCO=AO=4

/.CD=2

(2)過N點(diǎn)作ND_LOH,交OH于點(diǎn)D,

c

H

N

AMB

:?NOHN=45。,

???△NHD為等腰直角三角形,即ND=DH,

XVtanZCW/=1,

/.tanZAW=",

4

tanZNOD=^^=-

OD4

/.ND:OD=3:4,

設(shè)ND=3x=DH,則0D=4x,

VOD+DH=OH,

；.3x+4x=4,

解得H

.題匚四酒h避

?￥W

/.^RtANOD中，ON=JND，+OD?==孚

(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時，點(diǎn)N也與點(diǎn)O重合.當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動至點(diǎn)A時，點(diǎn)N運(yùn)動至點(diǎn)T,故點(diǎn)

V^NHO=NMHO、ZTHO=/MHO,/HOM=50°.

???/OHA=/OAH=650.

」^THO=65°,ZTOH=50°.

二/BOT=80°,

,?.L=2/rx4x"="",

36009

，N點(diǎn)的運(yùn)動路徑長為：0B+/*=4+丁”

故答案為：亞卜照率，

妙

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，弧長公式、勾股定理、中位線，利用銳角三角函數(shù)值解三角函數(shù)，掌握以

上知識，并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，AB為OO的弦，D,C為ACB的三等分點(diǎn)，AC//BE.

(1)求證：ZA=ZE;

(2)若BC=3,BE=5,求CE的長.

【答案】(1)腳斤：②施w

【分析】(1)根據(jù)題意，連接AD,通過證明AB〃CE,再由ACI/BE可證四邊形ACEB為平行四邊形，進(jìn)

而即可得到NA=NE;

⑵根據(jù)平行四邊形ACEB的性質(zhì)及D,C為ACB的三等分點(diǎn)可證△CBI)sZ^ED,得到|黃?絲，進(jìn)

BDDE

而求得。￡二5即可得到CE的長

【詳解】(1)如圖連接AD,

VA.D、C、B四點(diǎn)共圓

/.ZBAD+ZBCD=180°

又/BCD+/BCE=180。

.：/BAD=NBCE

VD,C為ACB的三等分點(diǎn)

/.BD=AC

/.ZBAD=^ABC

.：NABC=NBCE

/.AB//CE,XACI/BE

???四邊形ACEB為平行四邊形

AZBAC=ZE即原題中NAnNE;

D

(2)???四邊形ACER為平行四邊形,BE=5

.\BE=AC=5

???D,C為ACB■的三等分點(diǎn)，BC=3

?：BC=CD=AD,BD=AC

?：CD=BC=3,BD=AC=5,/CDB=NCBD=ZBAC

:?/BAC=/E

/.ACBD^ABED

?：BC=AD=BE=5

:?CE=DE-DC=——3=—

33

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓中綜合知識、平行四邊形的性質(zhì)及判定及三角形相似的判定及性質(zhì)，熟練掌握

相關(guān)幾何綜合運(yùn)用知識是解決本題的關(guān)鍵

3.如圖，AB為。O的直徑，點(diǎn)C在Q0上，AD與過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D.連接BC并延長，交

AD的延長線于點(diǎn)E.

E

⑴求證：AE=AB;

（2）若AB=10,BC=6,求CD的長.

【膂窠】9）蝴嘛;⑵CD=y.

【分析】（1）連接UC,由同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出AD//UC,可得NOCB=NE,即可推出NABE=NE,AE=AE.

⑵連接AC,由勾股定理求出AC,由△EDCs/\ECA得出相似比，求出CD即可.

(1)證明：連接0C

VCD與。0相切于C點(diǎn)

?\OCJLCD

又rCD上AE

.'.OC//AE

.,.zOCB=ZE

:?OC=OB

AZABE=ZOCB

.*.ZABE=ZE

.'.AE=AB

（2）連接AC

VAB為。0的直徑

???ZACB=90°

.??AC—/lO2-^

VAB^AE,AC1BE

.?.EC-BC-6

,/ZDEC=ZCEA,ZEDC=ZECA

「?△EDCS/ECA

?DCEC

*'~AC~~EA

【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的綜合性質(zhì)及相似的證明和性質(zhì)，關(guān)鍵在于合理作出輔助線將已知條件轉(zhuǎn)換求

解.

4.（廣東?統(tǒng)考中考真題）如圖1,在aABC中，AB=AC,QO是AABC的外接圓，過點(diǎn)C作NBCD=/ACB

交@0于點(diǎn)D,連接AD交BC于點(diǎn)E,延長DC至點(diǎn)F,使CF=AC,連接AF.

⑴求證:ED=EC;

（2）求證：AF是Q0的切線：

（3）如圖2,若點(diǎn)G是aACD的內(nèi)心，BCBE=25,求BG的￡

【答案】（D證明見解析；（2）證明見解析：（3）BG=5.

【分析】（1）根據(jù)等腰三:角形的性質(zhì)可得NABC=/ACB,再根據(jù)圓周角定理以及NACB二NBCD可得

ZBCD=ZADC,即可得ED二EC;

（2）連接0A,可得OA_LBC,繼而根據(jù)CA=CF以及三角形外角的性質(zhì)可以推導(dǎo)得舀/€AF=ZACB,可得-

AF//BC,從而可得OA_LAF,問題得證：

⑶證明△ABE'^CBA,可得AB2=BCBE,從而求得AB=5,連接AG,結(jié)合三角形內(nèi)心可推導(dǎo)得出

ZBAG=ZBGA,繼而根據(jù)等腰三角形的判定可得BG=AB=5.

【詳解】（1）???AB=AC,，NABC=/ACB,

又:2AC8=NBCD,^ABC=/ADC,

.../BCD=NADC,

?:ED=EC

⑵連接OA、

TAR二AC,，B=C

.\OA1BC,

VCA=CF,?：ZCAF=ZCFA,

/.^ACD=ZCAF+NCFA=2ZCAF.

VZACB=^BCD,.\ZACD=2ZACB,

?：NCAF=NACB,?：AF//BC,

/.OA±AF,

二?AF為OO的切線；

⑶：NABE=NCBA,NBAD=NBCD=/ACB,

AABE'ACBA..：—,

RCAR

?：AB2=BCBE

VBCBE=25,/.AB=5,

連接AG,?：ZBAG=ZBAD+ZDAG

^BGA=ZGAC+^ACB.

???點(diǎn)G為內(nèi)心，.,.ZDAG=ZGAC,

乂7NBAD=NBCD=NACB,

.：ZBAD+/DAG-^GAC+NACB,

?：/BAG=/BGA,

.r.BG=AB=5.

【點(diǎn)睛】本題考杳了等腰三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)心等

知識，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，ZXABC內(nèi)接于Q0,BC=2,AB=AC,點(diǎn)D為AC上的動點(diǎn)，且.cos8=1Q.

10

⑴求AB的長度:

(2)在點(diǎn)D運(yùn)動的過程中，弦AD的延長線交BC的延長線于點(diǎn)E,問AD.AE的值是否變化？若不變，請求

出AD-AE的值：若變化，請說明理由.

(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，過A點(diǎn)作AH_LBD,求證：BH=CD+DH

【答案】⑴AB=J10;(2)AD?AE=10;(3)證明見解析.

【分析】(1)過A作AF1BC,垂足為F,交?0于G,由垂徑定理可得BF=1,再根據(jù)已知結(jié)合RlAAFB

即可求得AB長；

(2)連接DG、則可得AG為Q0的直徑，繼而可證明△DAGS^EAE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

ADAE-AFAG,連接BG,求得AF=3,.抽』\繼而即可求得AD-AE的值；

'寸

(3)連接CD,延長BD至點(diǎn)N,使DN=CD、連接AN.通過證明△ADCgZ\ADN,可得AC=AN,繼而可

得AB二AN,再根據(jù)AH_LBN,即可證得BH=HD+CD.

【詳解】

(1)過A作AFJ_BC,垂足為F,交。O于G,

-AB=AC,AF-LBC,

:?BF=CF=gBC=L

在心△AFB中，BF=1.

—B—E=

?"8=cosB

1()

(2)連接DG,

Al-JBC,Bi'=CF,

AAG為◎€)的直徑,

.,.^ADG=^AFE=90Q,

又；/DAG=NEAE、

/,ADAG^AFAE,

/.AD:AF=AG:AE,

.'.ADAE=AFAG,

連接BG、則/ABG=90。，

VBF±AG,

」.△BFGSAAFB

2

1?BF二AFFG,

VAF=^AB2-BF2=3,

:.FG=；,

?^AD-AE=AFAG=AF.(AF+FG)=3、與=IO；

(3)連接CD,延長BD至點(diǎn)N,使DN二CD,連接AN,

a

1/ADB二ZACB=^ABC,ZADC+ZABC=180,NADN+ZADB=180°,

???/ADC=NADN,

/AD二AD,CD=ND,

/.AADC^AADN,

/?AC=AN,

*4B=4C

?：AB=AN,

VAH1BN,

.：BH;HN=HD+DN=HD+CD.

【點(diǎn)睛】本題考杳了垂徑定理、三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，綜合

性較強(qiáng)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

跟蹤訓(xùn)練

1.（二模）如圖，AB是QO的直徑，C是弧BD的中點(diǎn)，CE_LAB于點(diǎn)E,BD交CE于點(diǎn)F.

⑴求證：CF=BF：

⑵若CD=2,AC=4,求0()的半徑及CE的長

【答案】⑴見解析

⑵?Oft勺半徑為V5,。￡=及

5

【分析】⑴根據(jù)同弧所對?的圓周角相等可證NCAB二NCBD,根據(jù)CELAB證明NCBD+NACE=90。，

再利用直徑所對的圓周角等于90°,證明NBCF+NACE=90°,等量代換即可證明NCBD二NBCF,再利用

等角對等邊即可證明CF=BF;

(2)證明CD=CB=2,再利用5-配.=(/08。=:。從/3即可求出CE.

【詳解】(1)證明：???C是BD的中點(diǎn)，

?：BC=CD,

，/CAB=NCBD,

VCELAB,

ZCAB+^ACE=90°,

?：/CBD+/ACE=90。,

VAB是QO的直徑，

「?/ACB=90。,

?：/BCF+NACE=90。,

?：/CBD=4CF,

.\CF=BF.

⑵解:VCD=BC,

/.CD=CB,

VCD=2,

.\CD=CB=2,

VAB是②O的直徑，

?：/ACB=90。,

VAC=4,

AAB=A/22+42=2A/5,

???30的半徑為JS

VCELAB,

：.S^A8C=-ACBC=-C￡-AB,R|l-x4x2=-CEx2^,

22-—

解津寺.

【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握等弧對等弦，直徑所對的圓周角等于90。，等

角對等邊，勾股定理.

2.（深圳市龍崗區(qū)坪地中學(xué)校考一模）如圖，在4ABC中，以AB為直徑的00交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E在00上，

連接DE,BE,/BED=NCBD.

⑴求證：BC是00的切線：

⑵若M）=4,=；求BC的長.

【答案】（D證明見解析

鱷

【分析】（1）由AB是OO的直徑，得NADB=90。，由NBED=NCBD=NBAD,得

ZABC=ZCBD+ZABD=ZBAD+ZABD=90°,即可證明BC是00的切線；

⑵由NADB=90。,NBAD=NBED=NCBD,得—=sinZfiJD=sinZ.BED=-i^BD=3m,則AB=5m,

AB5

AD=VAB2-BD2=4m,可得m=l,BD=3,由華=sin/CZO二sinN8M=（=貝|j

32+（：8C）=8CL求解即可.

【詳解】（1）證明：:AB是00的直徑，

?：/ADB=90c,

:NBED=NCBD,NBED=/BAD、

.：/BED=NCBD=/BAD.

.：/ABC=/CBD+NABD=/BAD+NABD=90。,

r.EClOB,

VOB是00的半徑，

，BC是00的切線.

⑵解::?NADB=90。,NBAD=NBED=NCBD,s\nZBED=-.

RD3

—=sinZBAD=sinZBED=-.

AH5

設(shè)BD=3m,則AB=5m,

?：ADHAB2?BD5Z(5m戶(3m?=4m

■AD=4

.：4tn=4,

?：BD=3,

；?*/BDC=1800?NADB=180°-90°=90",

：.—=sinZC5D=sin乙BED=-,

BC5

：.CD=-BC,

5

VBD2+CD2=BC2,

???32+(|叼=RC?,

if號’il號

解得：附㈠寸或顏:三七(不符合題意，舍去)，

ABC的長是”.

4

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，證明

ZBAD=ZBED=ZCBD是解題的關(guān)鍵.

3.｛深圳市高級中學(xué)校聯(lián)考二模)“同弧或等弧所對的圓周角相等”，利用這個推論可以解決很多數(shù)學(xué)問題.

圖1圖2圖3

(1)【知識理解】如圖1,圓0的內(nèi)接四邊形ACBD中，ZABC=60°,BC=AC,

①/BDC二:/DAB/DCB(填““<”)

②將D點(diǎn)繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)E,則線段DB,DC,DA的數(shù)量關(guān)系為.

(2)【知識應(yīng)用】如圖2,AB是［5510的直行.lan/,48C'=；,猜想DA,DB.DC的數(shù)量關(guān)系,并證明:

⑶【知識拓展】如圖3,已知AB=2,A,B分別是射線DA,DB上的兩個動點(diǎn)，以AB為邊往外構(gòu)造等邊

△ABC,點(diǎn)C在NMDN內(nèi)部，若ND=120。，直接寫出四邊形ADBC面積S的取值范圍.

［答案］(1)①60。，二;②DC=DB+DA

(2)yl5CD=DB+2AD

(3)萬＜SV華

【分析】(1)①根據(jù)等邊三角形的判定得到^ABC是等邊三角形，同弧同弦所對的圓周角相等即可解答；②

利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到4DBE是等邊三角形，再利用全等三角形的判定即可得到△ABD/4CBE再利用全等

三角形的性質(zhì)即可解答；

⑵在AB上取一點(diǎn)E,使/ADE:/BDC,根據(jù)三角函數(shù)得出AC=\an￡ARC?BC=*BC,求出

AB=JRC2+f-BCT=證明△ADEs^CDB,得出42二任即AD-CB=€D-AE,證明

VUJ2CDCB

RCRF

△BDEs/XCDA,得出==—；；,即BDAC=CDBE,證明ABCD=ACDB+ADBC,即可得出

CDAC

yl5CD=DB+2AD

(3)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)即可得到當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)D重合時，四邊形ADBC面積S最?。寒?dāng)CD_LAB

時，四邊形ADBC面積S最大，進(jìn)而得到解答.

【詳解】(1)解：@VZABC=60°,BC=AC,

???△ABC是等邊三角形，

?：/BAC=60。,

/.ZBDC=60°,

???/DAB和NDCB所對的弦是DB,

?：ZDAB:ZDCB,

故答案為：60°,=;

②連接BD,如圖所示：

???將D點(diǎn)繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)日

/.DB=EB,NDBE=60。,

??.△DBE是等邊:角形,

?：/BDE=/BED=60。,BD=BE=DE,

??NABC=6()o,BC=AC,

???△ABC為等邊說形，

.，.ZBAC=60°,AB=BC,

?:NBDA=180°-^ACB=/20。，

.??NBDA+NBED=180。,

D,E,C三點(diǎn)共線,

7/DRE=ZEBA+/ABD,/ABC=/EBA+NCBE,

?：/ABD=/CBE,

在aABD和4CBE中，

AB=BC

{Z.4BD-ZCBE.

[DB=EB

/.VABD^VCBE(SAS),

.\AD=CE,/BEC=/BDA=120。

VDI3=DE,DC=DE+CE,

?：DC=DB+DA,

DC=DB+DA

(2)解：仆.AB上取?總E,使NADE二NBDC如圖所示:

AB是限iO的HK，lanZABC=；,

??.AC=tanNABC?BC=；BC,

???布?△ACB中,AB=\BCJA-BC\=—BC

\UJ2

?「BD=BD

?：/DAB=NDCB,

VZADE=ZBDC,

/.AADE^ACDB,

.AD_AE

9U~CD~'CR'

?1ADCB=CDAE,

\9AD=AD,

/.ZDBA=ZDCA,

VZADE-ZCDE=NCDB-ZCDE,

即/ADC=NBDE,

/.ABDE^ACDA,

.RDBE

??-=■,

CDAC

???BDAC=CDBE,

.\ADCB+ACBD=CD.AE+CDBE=CD(AE+BE)=CDAB

/.ABCD=AC.DB+AD.BCf

A—5C-CD=-BCDB+ADBC，

22

：?-CD=-DB+AD

22t

:.CD=1DB+AD.

22

即J5CADB+2AD

故答熟:y/5CD=DB+2AD.

⑶解：..?A,B分別是射線DA,DB上的兩個動點(diǎn)，ND=120/ABC是等邊三角形,

???四邊形ADBC的兩個對角NADB+NACB=180°,

???陶造四邊形ADBC的夕媵圓，

.??根據(jù)四邊形夕微圓的性質(zhì)可得：

當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)D重合時，四邊形ADBC面積S最?。?/p>

當(dāng)CDJLAB時，四邊形ADBC面積S最大，

①當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)D重合時，四邊形ADBC面積SUM、，

:△CBD時等邊三角形，且AB=2,

二/CBD=60。,AB=BD=BC=2

%BD-如60-BC-BD=忑,

②當(dāng)CD_LAB時，四邊形ADBC面積S最大,

VACBD時等邊三角形，且AB=2.

AZACD=30°,AC=2,

“一旦2G

/.AD=amZACD.一行~

3：1S"12行,25/3

2鰭=『°℃=丁丁2=亍

:.Sww=2S對’一

【點(diǎn)睛】本題考杳了網(wǎng)內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.(統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，AABC中，AB=AC,以AC為00直徑的與邊AB、BC分別交于點(diǎn)D、E,過E

作直線與AB垂直，垂足為F,且與AC的延長線交于點(diǎn)G.

⑴求證：直線FG是00切線

(2)若GE=4,CG=2,求00半徑.

【答案】(1)見解析；

(2)00的半徑為3.

【分析】(1)證明OE//AB,由FG_LAB,一條直線垂直于兩平行線的一條直線，則這條直線也垂直于

另一條直線，可得OELGF,FG與QO相切.

(2)設(shè)Q0的半徑為r,則OE=OC=r,在RlZ\OGE中用勾股定理列出關(guān)于1?的方程，并求解即可.

VAB=AC,

.\ZB=ZACB.

在QO中,OC=OEf

?：/OEC=/ACB.

?：/B=NOEC,

/.OE//AB.

又ABIGF,

:OELGF.

又OE是QO的半徑，

.:FG與QO相切.

(2)設(shè)00的半徑為r,則OE=OC=r,

:，GE9,CG=2,且/OEG=90°,

OE2+GE2=OG2

即產(chǎn)+42=(r+2)2

解得：i=3,

即Q0的半徑為3.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，在圓中證明一條直線是圓的切線是常考

題型，常運(yùn)用的輔助線為：①判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線隹垂線”；②有

切線時，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”.

5.(統(tǒng)考二模)如圖，Q0的弦AB,CD交于點(diǎn)E,連接AC,BC,延長DC到點(diǎn)P,連結(jié)PB,PB與Q0相

切，且PB=PE.

D

A

?。

B

(1)求證：點(diǎn)A是CD的中點(diǎn)；

(2)若AE=BE,AC=4,求AE的長

【答案】(1)見解析

(2)2V2

【分析】(1)連接OBQAQA交CD「F點(diǎn)，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOBP=90。，再證明/AFE=90。,

則根據(jù)一徑定理得到AC=AD

(2)根據(jù)圓周角定理，rflAC=AD得到NACD=NABC,貝ij可證明△ACEO2kABC,然后利用相似三角形的

性質(zhì)得到AC:AB=AE:AC,從市根據(jù)比例的性質(zhì)可計算出AE的K.

【詳解】(1)證明：連接OBQAQA交CD于F點(diǎn)，如圖，

VPB1QOffl

二?NOBP=90°,

即/OBA+ZPBE=900,

：PB=PE,

???NPBE=/PEB,

T/PEB=NAEF,

/.ZOBA+ZAEF=90°,

,.'OA=OB,

???/OBA=/OAB、

ZOAB+ZAEF=90\

?'?/AFE=900,

?：OAJ.CD,

Z.AC=AD,

即點(diǎn)A是CD的中點(diǎn)：

⑵解：VAC=AD,

/.ZACD=ZABC,

VZCAB=ZEAC,

ZzUCE-zlABC,

AC:AB=AE:AC,

“AC=4,AE=BE

.\4:2AE=AE:4

解得AE=242（負(fù)值舍去），

即AE的長為2J2.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.也考查了垂徑定理和相似三角形的判

定與性質(zhì).

6.（校考模擬預(yù)測）如圖，已知等邊△ABC,以AB為直徑的圓與BC邊交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DFJ_AC,垂

足為F.過點(diǎn)F作FGLAB、垂足為G.連接GD.

⑵若AB=I2,求FG的長.

【答案】（1）見解析

耍0D.由題意可知NA=NB=NC=60°，則OD=OB，可以ill川.ZOBD

導(dǎo)NC=NODB=60°，再運(yùn)用

⑵先說明OD為AABC的中位線，得到BD=CD=6.在RlaCDF中，由NC=60。，得NCDF=3（F,根據(jù)含

30度的立用：地形:邊的關(guān)系得c/則AF=ACQ=9,最后4RaAFG中，根據(jù)正弦的定義即可

解答；

【詳解】(1)如圖所示，連接0D.

?「△ABC是等邊三角形，

.\^A=ZB=ZC=60°

VOD=OB

???△OBD為等邊三角形，

?：/C=/ODB=60。,

/.ACI\OD,

???/CFD;NFDO,

VDFJ.AC,

；?/CFD=/FDO=90。,

，DF是QO的切線

⑵.?,點(diǎn)0是AB的中點(diǎn)，

，OD是AABC的中位線.

'?△ABC是等邊三角形，AB=12,

/.AB=AC=BC=12,CO=80=；8c=6

：?/C=6()o,NCFD=90。,

：.ZCDF=30°,同理可得NAFG=3()。，

/.CF=yCD=3

AAF=12-3=9.

,g/1r9"

??FG———xAF=——x9=-

222

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、等邊三角形的性質(zhì)以及30°角的宜角三角形性質(zhì)，連接圓心與切點(diǎn)的半徑

是解決問題的常用方法.

7.(深圳市南山外國語學(xué)校校考一模)如圖，在AABC中，以邊AB為直徑作◎(),交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為

邊BC上一點(diǎn)，連接DE.給出下列信息：①AB=BC;②NDEC=90°;③DE是Q0的切線.

c

（1）請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，剩F的一條作為結(jié)論，組成一個命題.你選擇的兩個條件

是______，結(jié)論是（只要填寫序號）.判斷此命題是否正確，并說明理由：

（2）在（1）的條件下，若CD=5,CE=4,求?0的直徑.

【答案】（1）①和②，③，真命題，證明見解析：（答案不唯一）

玳

【分析】⑴選擇①和②為條件，③為結(jié)論，連接OD,由等邊對等角可得出NA=NC,NA=NODA,即

可推山NC=NODA,從而可證明OD〃BC,再根據(jù)平行線的性質(zhì)和NDEC=90。，可證明NODE=NDEC=90。,

即OD_LDE,說明DE是@0的切線；

（2）連接BD,由直徑所對圓周角為直角得出DBJ_AC.再結(jié)合等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出

AD=CD=5.又易證△ABD~Z\CDE.即得出任=四代入數(shù)據(jù)即可求出AB的長.

【詳解】（1）解：選擇①和②為條件，③為結(jié)論，且該命題為真命題.

證明：如圖，連接OD,

:'AB=BC,

V0A=0D,

:?NC=NOD'

.'.0D//BC.

/ODE=NDEC=90°,&/JOD1DE

ADE是（DO的切線.

故答案為：①和②，③；（答案不唯一）

（2）解：如圖，連接BD,

〈AB為直徑,

"ADB-90c即DBJ_AC.

VAB=BC,

.\AD=CD=5.

"DB=NDEC=90C

在aABD和△CC€中，,“〃，

Z/l=zc

/.AABD-ACDE,

???絲=絲誦￡

CDCE5'4、

AAH=—.

故E10的直徑為『竽,

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理以及三角形

相似的判定和性質(zhì).解題的關(guān)鍵是連接常用的輔助線.

8.(模擬預(yù)測)如圖1,0為半圓的圓心，C、D為半圓上的兩點(diǎn)，且連接AC并延長，與BD的

延長線相交于點(diǎn)E.

(2)AD與OC,BC分別交于點(diǎn)F,H.

①若CF=CH,如圖2,求證：CF.AF=FO.AH;

②若圓的半徑為2,BD=1,如圖3,求AC的值.

7

【答案】⑴見解析；⑵①見解析；②

一

【分析】（1）連接BC,ffitEZACB=ZBCE=90°,ZECD+ZBCD=90°且BD=CD,則NE=/ECD,即

可掛導(dǎo)出CD=ED;

（2）?CF=CH,則NAFO二NCHF,XBD=CD,ZCAD=ZBAD,則△AFCfZ^AHC,進(jìn)而推導(dǎo)出

CFAF=FOAH;

2連接OD交BC于G.設(shè)OG=x,則DG=2-x,根據(jù)在RtaOGB和RtaBGD中

列式22-X2=12_（2_X）2,進(jìn)而求得X的值，再根據(jù)中位線定理求出AC的長.

【詳解】證明：（1）連接BC,

???AB為直徑

J/ACB二NBCE=90。

/ECD+/BCD=90。

VBD=CD

?：/EBC=/BCD

???4=ZECD

.\CD=ED.

）VCF=CH

?：/CFH:NCHF

（：NAFO=NCFH

???NAFO=NCHF

又?.,BD=CD

，/CAD=/BAD

/.AAFO^AAHC

,AFOF

**=

./IFOF

''7H~~CF

/.CFAF=OF.AH

E

c

一

AOB

②連接0D交BC于G.

設(shè)OG=x,則DG=2-x

VCD=BD

?：/COD=/BOD

又???OC=OB

/.OD工BC,CG=BG

在RtAOGB和RtZXBGD中

22-x2=l2-(2-x)2

?7

,Z.、OG=_

?即4

VOA=08

AOG是AABC的中位線

工在嫌?工月焚

【點(diǎn)睛】本題考杳了等弧對等角、相似三角形、等腰三角形、中位線等有關(guān)知識點(diǎn)，屬于綜合題型，借助

輔助線是解決這類問題的關(guān)鍵.

9.（統(tǒng)考三模）如圖，在4ABC中，AC=BC,以BC為直徑作乳，交AC于點(diǎn)F,過C點(diǎn)作CD_LAC交

AB延長線于點(diǎn)D,E為CD上一點(diǎn)，且EB=ED.

F,()E

AH

⑴求證：BE為OO的切線：

（2）若AF=2,tanA=2,求BE的長

【答案】（1）見解析

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得NA=/ABC,ZD=ZEBD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/A二/ABC,

ND二NDBE,推出NCBE=90。，于是得到結(jié)論；

（2）連接BF,根據(jù)圓周角定理得到BF_LAC,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BF=4,設(shè)CF=x,列出關(guān)于x的方

程并求解，再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）證明：：AC=BC,EB=ED

?4=/EBD

VCD!AC

:./A+/D=900

.：/ABC+/EBD=90。

.：NCBE=90。

??力(2是?0的直徑

ABE是OO的切線.

(2)解:連接BF

?「BC是?O的直徑.

."./BFC=/BFA=90°

一人,BEBF、

在RtAABF中.taivf--；=—=2

Ar2

.".BF=4

設(shè)CF=x,則AC=BC=x+2

在RiZXBCF中,BC2=CF2+BF2

即(x+2)2=x2+42

:?CF=3,BC=5

VZACB=^AFB=90°

.,.BF//CD

.*.zl=Z2

又丁/CFB:ZEBO90。

/.ACFB^AEBC

.FCFB

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相彳以三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，正確地作出

輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.（?？级＃┤鐖D，在半徑為5cm的QO中，AB是QO的直徑，CD是過QO上點(diǎn)C的直線，且AD_LDC

于有、D,NC平分/BAD,E是BC的中點(diǎn),OE=3cm.

C

【答案】⑴證明見解析;⑵

￡

【分析】（1）連接OC,由題意知NDAC=NOAC=NOCA,據(jù)此得AD//OC,根據(jù)AD_LDC即可得證;

⑵連接BC,證△ADCs/XACB即可得.

【詳解】解：（1）如圖，連接OC

VOA=OC,

/.ZOAC=^OCA,

VAC平分/DAO,

/.ZDAC=^OAC,

/.ZDAC=^OCA,

/.AD//OC,

■AD1DC,

?：0C上DC,

又?「OC是?o的半徑，

，CD是。O的切線：

(2)如圖，連接BCQE,

???E是BC的中點(diǎn)，OE=3cm,

AC=6cm,

TAB是OO的直徑，AD±DC,半徑0A=5cm,

丁?/ADC=/ACB=900,AB=10cm,

XVZDAC=ZCAB,

/.AADC^AACB,

ADAC

則H1一=—

ACAB

2

?.?A"八D=-A-C=—6=—18.

AB105

【點(diǎn)睛】木題考查了切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識；

熟練掌握切線的判定和圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

11.（統(tǒng)考二模）如圖，AB是QO的直徑，弦AC=BC,E是OB的中點(diǎn)，連接CE并延長到點(diǎn)F,使EF=CE,

連接AF交QO于點(diǎn)D,連接BD,BF.

c

(1)求證：直線BF是OO的切線;

(2)若AF長為5J2,求BD的長.

【答案】⑴見解析；

(2)BD=2<2

【分析】(1)連接OC、OF,證明四邊形OFBC是平行四邊形，則BF〃OC,根據(jù)AC=BC,得到OC_LAB,

ZABF=ZBOC=90°,可證明BF是QO的切線；

艇AB嬲糖齦般承照跚氣6維刪則眄8=0舊桶.根據(jù)勾

股定理求出AB、BF的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出BD的長.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OC、OF,

VEF=CE,OE=BE,

???內(nèi)邊形OFBC是平行四邊形，

/.BF//OC,

VAC=BC,OA=OB.

?：OC」AB,

?：/ABF=/BOC=90。,

VOB是?O的半徑，且BF_LOB,

.,.直線BF是QO的切線；

(2)如圖，TAB是QO的直徑，

B

；?」ADB=/ACB=90°,

.NCAB=NCBA=45°,

-*OC=OB,

???/OCB=/OBC=45°,

?：/BFO=NOCB=45。,

VOF//BC;

:?/BOF=NOBC=45。,

.\ZBFO=ZBOFt

:?FB=OB=OA=』AB,

7FB2+AB2=AF2,且AF=5、2

???(；力8)2+/爐=(5亞產(chǎn)，

???AB=2山()

???怯二而，

??.。的半徑為J10

VSDBFH；AB?BF=9AF?BD,

:2由()E10=5XBD,

?：BD=K2.

【點(diǎn)睛】此題考查圓的切線的判定、圓的弦與弧及圓心角的關(guān)系、圓周角定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、

勾股定理等知識，根據(jù)題意正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

12(深圳市觀瀾第二中學(xué)校考模擬預(yù)濺如圖，必XB為直徑的制B中，點(diǎn)是圓心，點(diǎn)C是半圓上一^點(diǎn)(不

與點(diǎn)A,B重合)，點(diǎn)E是0C的中點(diǎn)，連接AE并延長到點(diǎn)D,滿足ED=AE,連接CD、BD.

AB

(1)求證：四邊形OBDC是菱形；

(2)連接BC,交AD于點(diǎn)F.

①當(dāng)NABC=_度時?，CD是。O的切線;

②若DF=2,求EF的長.

【答案】(1)見解析：

⑵045;②1

【分析】(1)連接0D,易得四邊形AODC是平行四邊形，進(jìn)而可得CD〃OB,CD=OB,得得四邊形OCDB

是平行四邊形，由鄰邊相等即可得出結(jié)論；

⑵①由CD是?O的切線；可知/0CD=9()。，由棱形性質(zhì)即可得出結(jié)論；

仁介r\ci

②由相似三角形性質(zhì)可得線段比—結(jié)合DE=AE=EF+DF,列方程即可解答，

ABAF2

(1)

證明：如圖，連接0D,

，四邊形AODC是平行四邊形,

/.CD//OB,CD=OA,

又'??OB=OA

?：CD=OB,

???四邊形OCDB是平行四邊形，

又*OC=OB,

???平行四邊形OCDB是菱形；

⑵

解：?ZABC=45°

理由：若CD是◎。的切線；則/OCD=90。，

又“四邊形OCDB是菱形；

/OBD=NOCD=90。,ZABC=1/OBD=45。：

7

②；CD〃OB,

/.ACDF'ABAF

.DFCD\

??---=---=-?

AFAB2

DE=EF+DF,FD=2,

.2_l

2+2EF2

.\EF=L

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓得基本性質(zhì)、特殊四邊形的性質(zhì)和判定、相似三角形判定和性質(zhì).思路比較簡

單，涉及知識點(diǎn)較多，掌握幾何圖形的法本性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

13.（二模）如圖，Q0是^畋的外接圓，AD是Q0的直徑，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，連接CD,CF,且

/DCF=NCAD.

⑴求證：CF是◎€）的切線；

（2）若cos4Pj,AD=2,求FD的長

【答案】（1）見解析；（2）y

【分析】（1）根據(jù)切線的判定，連接0C,證明出OC_LFC即可，利用直徑所得的圓周角為直角，三角形

的內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)可得答案；

⑵由cosB=（根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義和勾股定理可得CD:AC:AD=3:4:5,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

可求出答案.

【詳解】解：⑴連接OC,

TAD是QO的直徑，

ZACD=90°,

^ADC+^CAD=90°,

又?.?OC=OD,

^ADC=^OCD,

XrZDCF=ZCAD.

.-.^DCF+^OCD=90\

即0C_LFC,

.,.FC是00的切線;

(2)VZB=ZADC,cos5=1

?9

.*.cosZ/lDC=-

5

在RlZ\ACD中,

3CD

COSZ.ADC=-=—,AD=2,

5AD

CD=^DcosZ/f￡X7=2x-=-(

S5

*.=CD'/(￥=2

CD_3

1C~4

；/FCD=NFAC,NF=NF,

；2FCDs△卜AC.

CDFCFD3

.-----------——

ACFAFC4(

設(shè)FD=3x,貝I]FC=4x,AF=3x+2,

又,FC2=FDFA

即(4x)2=3x(3x+2),

fi

解得律(取正值),

s'

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形，掌握切線的

判無方法，直角二角形的邊角關(guān)系以及相似二角形的性質(zhì)是正確解答的前提.

14.(統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，AB為Q0的宜徑，C為Q0上一點(diǎn)，D為AB上一點(diǎn)，BD=BC,過點(diǎn)A作AE_LAB

交CD的延長線于點(diǎn)E,CE交Q0于點(diǎn)G,連接AC,AG,在EA的延長線上取點(diǎn)F,使NFCA=2/E.

(1)求證：CF是Q0的切線；

(2)若AC=6,AG=Y10,求00的半徑.

c

Er

【答案】（1）見解析；（2）5

【上析】（1）根據(jù)題意判定△ADGs^DCB,然向性質(zhì)求得NAGD=2NE,從而「

ZFCA=ZAGD,然后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得NFCO=90。，從而判定CF是QO的切線；

⑵111切線長定理可得AF=CF,從而可價NFAC=2NE,儲到AC=AE,然后利用勾腹定理解H用

形可求得圓的半徑.

【詳解】⑴證明:VZB=ZAGC,4DG=/CDB,

/.AADG^ADCB,

BDBC

~GD~~GA'

TBD=BC

.\CD=GA,

.\ZADG=^DAG,

又：AE上AB.

?：/EAD=90。,

?：ZGAE+NDAG=NE+NADG=90。;

?：NGAE=/E,

?：AG=DG=EG,/AGD=2/E,

：/FCA=2NE,

:.NFCA=NAGD=NB,

TAB是00的直徑，

ZCAB+ZB=90Q,

VQ0A=0C,

.*.^ACO=^CABf

.^^FCA+^ACO=90°,

?：NFCO=90°,

即CF是QO的切線；

（2）VCF是OO的切線，AE±AB,

/.AF=CF,

.?./FAC=NFCA=2ZE,

?\AC=AE=6y

又：?AG=DG=EG=7IO

在RtAADE中，AD=^DE2-AEM(2^10)-62=2,

設(shè)00的半徑為X,則AB=2x,BD=BC=2x-2,

在Rtz^ABC中，62+(2x-2)2=(2xH

解得：x=5,

???QO的半徑為5.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等，熟練掌握

相關(guān)定理與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

15.(統(tǒng)考二模)如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,點(diǎn)O在AC上，NOBC=NA,點(diǎn)D在AB上，以點(diǎn)O

為圓心，OD為半徑作圓，交DO的延長線于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,NE=%OC.

2

⑴求證：AB為。。的切線；

⑵若。0的半徑為3,tanZO^C=-,求BD的長.

2

【答案】(1)見解析；(2)4

【分析】(1)先證出NBOC=NDOF,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余得NA+NDOF=90。，即可證明；

(2)先利用止切得出AD,再設(shè)OC二k,表示出BC、AC,利用AOOA+OC,解出k,再由勾股定理得

出他即可計算出結(jié)果；

【詳解】(1)證明：如圖.

B

VZE=-Z50C,ZE=-ADOF,

22

?：/BOC=/DOF,

在RMiOBC中，ZC=90°,

.：/OBC+NBOC=90。,