2026屆高三數(shù)學(xué)測(cè)試題（四）姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，每題四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知，則（）A. B. C. D.3.已知，為單位向量，且，則（）A. B. C. D.4.已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為（）A. B. C. D.5.已知數(shù)列滿足，，則此數(shù)列前項(xiàng)的和為（）A. B. C. D.6.已知，則（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)若對(duì)于任意的，都有，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知正實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)部分得分，有選錯(cuò)得0分9.已知函數(shù)與函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心完全相同，則（）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.C.直線是圖象的一條對(duì)稱軸D.是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心10.已知正方體棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是面上的動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為B.三棱錐體積的取值范圍為C.當(dāng)三棱錐體積取最大值時(shí)，其外接球的表面積為D.當(dāng)三棱錐體積取最小值時(shí)，其外接球的表面積為11.在年巴黎奧運(yùn)會(huì)藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國(guó)隊(duì)以分的成績(jī)奪得金牌，這是中國(guó)藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會(huì)上獲得的第一枚金牌．藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)、、后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），、為與其中兩條曲線的交點(diǎn)，若，則（）A.開口向上拋物線的方程為B.C.直線截第一象限花瓣的弦長(zhǎng)最大值為D.陰影區(qū)域的面積不大于三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12.已知函數(shù)奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)______．13.的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為．（用數(shù)字作答）14.若函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.如圖，四棱柱棱長(zhǎng)均為，且，，是中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值．16.網(wǎng)絡(luò)搜索已成為人們獲取信息或解決問題的重要手段.為研究某傳染性疾病的未來流行趨勢(shì)，收集得到該疾病某月號(hào)至號(hào)的網(wǎng)絡(luò)搜索量（單位：萬次）如下，用頻率估計(jì)概率.時(shí)間1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)6號(hào)7號(hào)8號(hào)9號(hào)10號(hào)11號(hào)12號(hào)13號(hào)14號(hào)15號(hào)搜索量6.25.16.17.26.17.46.26.36.46.37.16.37.37.67.9時(shí)間16號(hào)17號(hào)18號(hào)19號(hào)20號(hào)21號(hào)22號(hào)23號(hào)24號(hào)25號(hào)26號(hào)27號(hào)28號(hào)29號(hào)30號(hào)搜索量8.511.210.39.19.610.110.610.98.810.48.211.512.112.813.6（1）從號(hào)至號(hào)中任取天，求該天的搜索量比其前后兩日的搜索量都低的概率；（2）假設(shè)該疾病每天的搜索量變化是相互獨(dú)立的.在未來的日子里任取天，試估計(jì)這天該疾病搜索量的數(shù)據(jù)中既有高于萬又有低于萬的概率；（3）記表中天的搜索量的平均數(shù)為，去除搜索量中最大的個(gè)和最小的個(gè)后剩余個(gè)搜索量的平均數(shù)為，試給出與的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）17.在中，角所對(duì)邊分別為，已知，且滿足（1）求角的大?。?）的內(nèi)心為，求周長(zhǎng)的取值范圍.18.已知函數(shù)（1）若，討論函數(shù)在的單調(diào)性；（2）若，求證：．（3）若在上有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的最小值．19.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和兩個(gè)頂點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且與直線相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若四邊形為正方形，求的值.2026屆高三數(shù)學(xué)測(cè)試題參考答案（四）一、單選題1.【解析】因?yàn)?，所以，故選：B2.【解析】由，得，則，即，故選：A3.【解析】因?yàn)椋?，即，所以，因此，即，故選：C4.【解析】由題意正態(tài)分布均值，結(jié)合對(duì)稱性可知：，可得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．所以最小值為8，故選：B5.【解析】由，得，所以，，故數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，又，，且，則此數(shù)列前項(xiàng)的和，故選：D6.【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故選：C7.【解析】若，即，此時(shí)，滿足要求；若，則，此時(shí)，故恒成立，其中，故；若且，即，此時(shí)，對(duì)稱軸為，若，此時(shí)在上單調(diào)遞增，故只需，即，解得，故；若，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，令，解得，與取交集得，若，此時(shí)在上單調(diào)遞減，故只需，即，解得，與取交集得；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B8.【解析】由，得．因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù)，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），所以，即令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），因此，即.由和可得，則有，解得，所以，故選：C二、多選題9.【解析】ABD對(duì)稱中心完全相同，則周期相同，，則，，是的一個(gè)對(duì)稱中心，故，，即，又，故當(dāng)，時(shí)滿足條件，故，對(duì)選項(xiàng)A：，函數(shù)定義域?yàn)?，為偶函?shù)，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，正確；對(duì)選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，不是的對(duì)稱軸，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，,故是的對(duì)稱中心，正確，故選：ABD10.【解析】BCD對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連接，所以，又易證，所以，又平面，平面，所以平面，又因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且平面，所以為的軌跡，又，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，其中為到的距離，所以最小時(shí)，最小，顯然在點(diǎn)處時(shí)，最小，此時(shí)，最大時(shí)，最大，顯然在點(diǎn)處時(shí)，最大，此時(shí)，故B正確；對(duì)于C，如圖，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，在處，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心為，外接球的半徑為，易知，所以①，②，③，④，聯(lián)立①②③④解得，，所以，故外接球的表面積為，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，因?yàn)槭侵苯侨切?，所以外接球的球心在過中點(diǎn)且與平面垂直的直線上，設(shè)外接球的球心為，由，可得，所以，解得，解得，所以外接球的表面積為，故D正確，故選：BCD11.【解析】BCD對(duì)于A，由題意，開口向右的拋物線方程為，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為,將其逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的拋物線開口向上，焦點(diǎn)為，則其方程為，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)A項(xiàng)分析，由可解得，或，即，代入可得，由圖象的對(duì)稱性，可得、，故，即B正確；對(duì)于C，設(shè)直線與拋物線相切，聯(lián)立可得，由可得，且方程即為，解得，，此時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線與拋物線相切，聯(lián)立可得，由可得，此時(shí)方程即為，解得，，此時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，兩切點(diǎn)連線的斜率為，即切點(diǎn)的連線與直線平行或重合，故當(dāng)、時(shí)，取最大值，且其最大值為，C對(duì)；對(duì)于D，根據(jù)對(duì)稱性，每個(gè)象限的花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值.如圖，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，則拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，即，該切線交軸于點(diǎn)，所以，半個(gè)花瓣的面積必小于，故原圖中的陰影部分面積必小于，故D正確，故選：BCD三、解答題12.【解析】因?yàn)?，可知函?shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)是奇函數(shù)，則，解得，則，又因?yàn)椋?，可知函?shù)是奇函數(shù)，所以符合題意，故答案為：113.【解析】，展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：25214.【解析】，令，原式可化為，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值1，所以有解，即有解，記，當(dāng)在單調(diào)遞增，當(dāng)在單調(diào)遞減，故，且當(dāng)，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：四、解答題15.【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，如下圖：由題可知為的中點(diǎn)，且為邊長(zhǎng)是2的等邊三角形，因此，可得，在中，由，可得：，即；同理可得；又，所以為等腰直角三角形，所以；易知，又，，接滿足，所以；又，平面，所以平面；又因?yàn)槠矫?，所以平面平面?）由（1）可知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：顯然，可得；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，；所以；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，解得，令，則；所以；可得，由圖可知，二面角的大小為銳角，所以二面角的余弦值為16.【解析】（1）記事件A為“從2號(hào)至14號(hào)中任取1天，且該天搜索量比其前后兩日的搜索量都低”，根據(jù)數(shù)據(jù)，知僅有2，5，7，10，12號(hào)這5天的搜索量比其前后兩日的搜索量都低，所以從2號(hào)至14號(hào)中任取1天，該天搜索量比其前后兩日的搜索量都低的概率．（2）記事件B為“在未來的日子里任取3天，且這3天該疾病搜索量的數(shù)據(jù)中既有高于10萬又有低于8萬”，根據(jù)數(shù)據(jù)，知在未來的日子里某天該疾病的搜索量高于10萬的概率可估計(jì)為，低于8萬的概率可估計(jì)為．則．所以在未來日子里任取3天，估計(jì)這3天該疾病捜索量的數(shù)據(jù)中既有高于10萬又有低于8萬的概率為．（3）最大的三個(gè)數(shù)為：，最小的三個(gè)數(shù)為：，這6個(gè)數(shù)之和為故故.17.【解析】（1）由，得，由，則，即,而，故，又，所以由（1）可得，即，設(shè)的內(nèi)心為，即，故.設(shè)，則，在中，由正弦定理得，所以，所以的周長(zhǎng)為因?yàn)椋?，所以，所以，故的周長(zhǎng)取值范圍為18.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，由，，令，則，所以，或，令，則，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（2）令，則，可得，令，則，，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，即，所以；（3）令，即，在上有唯一的零點(diǎn)，即與有唯一的交點(diǎn)，，由（2）知，，在上單調(diào)遞增，故，，，所以，的