第二十二章

二次函數(shù)

22.1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)22.1.2二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)3.能根據(jù)圖象說出拋物線y=ax2的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，能根據(jù)a的符號(hào)說出頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)還是最低點(diǎn).1.正確理解拋物線的有關(guān)概念.2.會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=ax2的圖象，概括出圖象的特點(diǎn)，知道拋物線y=ax2的開口方向與a的符號(hào)有關(guān).（1）你們喜歡打籃球嗎？（2）你們知道投籃時(shí)，籃球運(yùn)動(dòng)的路線是什么曲線？怎樣計(jì)算籃球達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)的高度？x…-3-2-10123…y=x2…

…

畫出二次函數(shù)y=x2的圖象.94101941.列表：在y=x2中自變量x可以是任意實(shí)數(shù)，列表表示幾組對(duì)應(yīng)值：二次函數(shù)y=ax2的圖象的畫法知識(shí)點(diǎn)12.描點(diǎn)：根據(jù)表中x,y的數(shù)值在坐標(biāo)平面中描點(diǎn)（x,y）3.連線：

如圖，再用平滑曲線順次連接各點(diǎn)，就得到y(tǒng)=x2的圖象.369yO-33x

二次函數(shù)y=x2的圖象形如物體拋射時(shí)所經(jīng)過的路線,我們把它叫做拋物線.這條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱,y軸就是它的對(duì)稱軸.對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).369yO-33x畫出函數(shù)y=-x2的圖象.x…-3-2-10123…y=-x2…-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

…

y24-2-40-3-6-9x

根據(jù)你以往學(xué)習(xí)函數(shù)圖象性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，說說二次函數(shù)y=x2的圖象有哪些性質(zhì)，并與同伴交流.二次函數(shù)y=ax2的圖象性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)21.y＝x2的圖象是一條拋物線;2.圖象開口向上;3.圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;4.頂點(diǎn)（0，0）;5.圖象有最低點(diǎn)．1.y＝-x2的圖象是一條拋物線;2.圖象開口向下;3.圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;4.頂點(diǎn)（0，0）;5.圖象有最高點(diǎn)．說說二次函數(shù)y=-x2的圖象有哪些性質(zhì)，并與同伴交流.1.頂點(diǎn)都在原點(diǎn)（0,0）;3.當(dāng)a>0時(shí)，開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，開口向下．2.圖像關(guān)于y軸對(duì)稱;二次函數(shù)y=ax2的圖象性質(zhì)1.觀察圖形，y隨x的變化如何變化？(-2,4)(-1,1)(2,4)(1,1)二次函數(shù)y=ax2的增減性知識(shí)點(diǎn)3對(duì)于拋物線y=ax2（a＞0）

當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x取值的增大而增大；

當(dāng)x<0時(shí)，y隨x取值的增大而減小.二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)2.觀察圖形，y隨x的變化如何變化？對(duì)于拋物線y=ax2（a＜0）

當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x取值的增大而減小；

當(dāng)x<0時(shí)，y隨x取值的增大而增大.二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2的開口大小與a的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)4

解：分別填表，再畫出它們的圖象，如圖：x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········84.520.5084.520.584.520.5084.520.5xyO-222464-48【思考】二次函數(shù)的圖象開口大小與a的大小有什么關(guān)系？當(dāng)a>0時(shí)，a越大，開口越小.【練一練】在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象．x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········-8-4.5-2-0.50-8-4.5-2-0.5-8-4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5O－22－2－4－64－4－8當(dāng)a<0時(shí)，a越小（即a的絕對(duì)值越大），開口越小.【思考】二次函數(shù)的圖象開口大小與a的大小有什么關(guān)系？對(duì)于拋物線y=ax2，｜a｜越大，拋物線的開口越?。畑yy＝ax2a>0a<0圖象位置開口方向?qū)ΨQ性頂點(diǎn)最值增減性開口向上,在x軸上方開口向下,在x軸下方a的絕對(duì)值越大，開口越小關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是直線x＝0頂點(diǎn)坐標(biāo)是原點(diǎn)（0，0）當(dāng)x=0時(shí)，y最小值=0當(dāng)x=0時(shí)，y最大值=0在對(duì)稱軸左側(cè)遞減在對(duì)稱軸右側(cè)遞增在對(duì)稱軸左側(cè)遞增在對(duì)稱軸右側(cè)遞減yOxyOx1.函數(shù)y=2x2的圖象的開口

,對(duì)稱軸

,頂點(diǎn)是

;在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而

,在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨x的增大而

.

向上y軸(0,0)減小增大xyO基礎(chǔ)鞏固題2.函數(shù)y=-3x2的圖象的開口

,對(duì)稱軸

,頂點(diǎn)是

;在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨x的增大而

,在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨x的增大而

.向下y軸(0,0)減小增大xyO

3.如右圖，觀察函數(shù)y=（k-1）x2的圖象,則k的取值范圍是

.xyk>1O1.已知二次函數(shù)y=x2，若x≥m時(shí)，y最小值為0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：在二次函數(shù)y=x2中，a=1＞0

因此當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值.

∵當(dāng)x≥m時(shí)，y最小值=0，

∴m≤0．能力提升題2.

已知

y=(m+1)xm2+m是二次函數(shù),且其圖象開口向上,求m的值和函數(shù)解析式解:依題意有:m+1>0,①m2+m=2,②解②,得m1=－2,m2=1.由①,得m>－1.因此m=1.

此時(shí),二次函數(shù)為

y=2x2.(1)若點(diǎn)(－2，y1)與(3，y2)在此二次函數(shù)的圖象上，則y1_____y2；(填“>”“＝”或“<”)；(2)如圖，此二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0，0)，長方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在x軸上，C、D恰好在二次函數(shù)的圖象上，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求圖中陰影部分的面積之和．<3.已知二次函數(shù)y＝2x2.

(2)解：∵二次函數(shù)y＝2x2的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2×22＝8.∵拋物線和長方形都是軸對(duì)稱圖形，且y軸為它們的對(duì)稱軸，∴OA＝OB,∴在長方形ABCD內(nèi)，左邊陰影部分面積等于右邊空白部分面積，∴S陰影部分面積之和＝2×8＝16.方法點(diǎn)撥

二次函數(shù)y＝ax2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，因此左右兩部分折疊可以重合，在二次函數(shù)比較大小中，我們根據(jù)圖象中點(diǎn)具有的對(duì)稱性轉(zhuǎn)變到同一變化區(qū)域中(全部為升或全部為降)，根據(jù)圖象中函數(shù)值高低去比較；對(duì)于求不規(guī)則的圖形面積，采用等面積割補(bǔ)法，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形以方便求解．已知拋物線y=ax2(a＞0)過點(diǎn)A（-2，y1）,B（1，y2）兩點(diǎn)，則下列關(guān)系式一定正確的是（

）A.y1＞0＞y2

B.y2＞0＞y1

C.y1＞y2＞0

D.y2＞y1＞0C二次函數(shù)y=ax2的圖象及性質(zhì)畫法描點(diǎn)法以對(duì)稱軸為中心對(duì)稱取點(diǎn)圖象拋物線軸對(duì)稱圖形性質(zhì)重點(diǎn)關(guān)注4個(gè)方面開口方向及大小對(duì)稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性1.一般地,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象叫做_________

y=ax2+bx+c.

2.下列各點(diǎn):(-1,2),(-1,-2),(-2,-4),(-2,4),其中在二次函數(shù)y=-2x2的圖象上的是

.

2.一般地,拋物線y=ax2的對(duì)稱軸是

,頂點(diǎn)是

.當(dāng)a>0時(shí),拋物線的開口

,頂點(diǎn)是拋物線的最

點(diǎn);當(dāng)a<0時(shí),拋物線的開口向下,頂點(diǎn)是拋物線的最

點(diǎn).對(duì)于拋物線y=ax2,|a|越大,拋物線的開口越

.

3.拋物線y=-x2的對(duì)稱軸是

,頂點(diǎn)是

,開口

,頂點(diǎn)是最

點(diǎn).

4.請(qǐng)寫出二次函數(shù)y=2x2和y=-3x2具有的兩個(gè)共同性質(zhì):(1)

;(2)

.

拋物線

(-1,-2)y軸

原點(diǎn)

向上

低

高

小

y軸

原點(diǎn)

向下

高

圖象頂點(diǎn)都是原點(diǎn)

圖象都關(guān)于y軸對(duì)稱

1.畫二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象【例1】

在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出下列函數(shù)的圖象.(1)y=-x2;

(2)y=3x2.分析:在這兩個(gè)二次函數(shù)中,當(dāng)x=0時(shí),y的值都等于0,故在列表取值時(shí)應(yīng)從原點(diǎn)(0,0)的左右對(duì)稱取值,先列表,再描點(diǎn)、連線.解：列表如下:描點(diǎn)、連線,畫圖如下:點(diǎn)撥:在列表取值時(shí),一般取5~10組數(shù)據(jù)為點(diǎn)的坐標(biāo)描點(diǎn)即可,描的點(diǎn)越多,圖象就越精確.2.二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的性質(zhì)【例2】

已知函數(shù)y=ax2(a>0)的圖象上有A(2,y1),B(3,y2),C(-1,y3)三個(gè)點(diǎn),試比較y1,y2,y3的大小.分析:要比較y1,y2,y3的大小,可直接求出y1,y2,y3的值進(jìn)行比較,也可以先判斷各點(diǎn)是否在對(duì)稱軸的同一側(cè),再利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較.解法一由題意知,y1=4a,y2=9a,y3=a.又a>0,故y2>y1>y3.解法二因?yàn)閽佄锞€y=ax2(a>0)的對(duì)稱軸是y軸,點(diǎn)C(-1,y3)在函數(shù)y=ax2(a>0)的圖象上,所以點(diǎn)(1,y3)也在該拋物線上.因?yàn)閍>0,所以當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大.又因?yàn)?>2>1,所以y2>y1>y3.點(diǎn)撥:要比較拋物線上多個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小,也可以先比較各點(diǎn)到對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近.若拋物線開口向上,則離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小;若拋物線開口向下,則離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大.67123451.拋物線y=x2不具有的性質(zhì)是(

)A.開口向上B.對(duì)稱軸是y軸C.當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小D.函數(shù)有最小值答案答案關(guān)閉C6712345答案答案關(guān)閉A2.若點(diǎn)M(m,n)(mn≠0)在二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象上,則下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)也在該拋物線上的是(

)A.(-m,n) B.(n,m)C.(m2,n2) D.(m,-n)67123453.已知物體從空中自由下落過程中,下落高度h關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式為h=gt2,其中g(shù)是一個(gè)常數(shù),則這個(gè)函數(shù)的圖象是(

)答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉67123454.已知二次函數(shù)y1=-4x2,y2=-x2,y3=-x2,它們的圖象的開口大小由小到大的順序是(

)A.y1,y2,y3 B.y3,y2,y1C.y2,y1,y3 D.y3,y1,y2答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉6712345答案解析解析關(guān)閉答