第9章信道編碼技術信道編碼的基本原理信道編碼的定義信道編碼的基礎概念

檢糾錯能力1235目錄CONTENTS漢明碼46習題信道編碼的基本原理1在數(shù)字通信領域，信道噪聲和干擾是導致信息傳輸錯誤的主要因素。為了應對這一問題，信道編碼技術被廣泛應用于提高數(shù)據(jù)傳輸?shù)目煽啃?。其核心思想在于，在發(fā)送端對原始信息進行預處理，添加特定的冗余信息（又稱校驗位），隨后將處理后的信息送入信道傳輸。這樣，接收端就能利用這些冗余信息來檢測并能糾正傳輸產(chǎn)生的錯誤。以氣象信息的編碼為例，若直接將“晴”和“雨”編碼為“0”和“1”進行傳輸，接收端在收到“0”或“1”時，無法判斷其準確性，因為兩者都可能是有效地發(fā)送信息。但如果在發(fā)送前對編碼進行改進，比如將“0”轉換為“00”，將“1”轉換為“11”，再進行傳輸，接收端就能通過比對接收到的碼字與可能的發(fā)送碼字集合，來識別傳輸錯誤。例如，若收到“01”或“10”，即可斷定傳輸中出現(xiàn)了錯誤，因為發(fā)送端只會發(fā)送“00”或“11”。1信道編碼的基本原理然而，僅僅識別錯誤是不夠的，關鍵在于如何糾正這些錯誤。為此，可以在信息位后增加更多的校驗位。比如，將“0”編碼為“000”，將“1”編碼為“111”。這樣，即使傳輸中發(fā)生個別位的錯誤，接收端也能利用冗余信息來糾正。例如，若發(fā)送“000”而接收“001”，接收端就能判斷發(fā)生了1位的錯誤，并將接收碼字糾正為“000”。1信道編碼的基本原理信道編碼的定義22信道編碼的定義信道編碼的實質是，在信息位（設為k位）后添加校驗位（r位），構成完整的信道編碼碼字（n位），通常表示為（n,k）碼。其中，n代表碼字的總位數(shù)，k代表信息位的位數(shù)，r代表校驗位的位數(shù)。不同的編碼方法會采用不同的編碼規(guī)則和結構。例如，重復碼就是一種簡單的信道編碼方法，它將每位信息位重復n-1次，形成（n,1）分組碼。前面提到的氣象信息的編碼例子即為（2,1）重復碼和（3,1）重復碼的實例。信道編碼可以根據(jù)不同的特征進行分類。例如，根據(jù)編碼方式的不同，可以分為分組碼和卷積碼；根據(jù)是否能糾正錯誤，可以分為檢錯碼和糾錯碼；根據(jù)校驗位與信息位之間的關系，可以分為線性碼和非線性碼等。在實際應用中，需要根據(jù)系統(tǒng)的具體需求和條件，選擇合適的信道編碼類型，并進行優(yōu)化，以適應不同的通信環(huán)境和需求。信道編碼的基礎概念33信道編碼的基礎概念1.信息元與監(jiān)督元的定義

信息元（或信息碼元、信息序列、信息位）：這些是從信源編碼階段直接獲取的數(shù)據(jù)比特，其數(shù)量由k表示。在（n,k）二元碼體系中，k位信息元能夠組合出2k種不同的排列方式。例如，M=[mk-1

mk-2

…m1

m0]即為一個典型的k位信息元序列表示。

監(jiān)督元（或監(jiān)督位、校驗位、附加數(shù)據(jù)比特）：這些是在信道編碼過程中特意添加的，旨在增強錯誤檢測和糾正的能力。監(jiān)督元的數(shù)量以r標記，因此（n,k）碼字實際上由k位信息元和r位監(jiān)督元共同組成，總長度為n=k+r。3信道編碼的基礎概念2.許用碼組與禁用碼組的區(qū)分在信道編碼機制中，每個信息元都唯一對應一個碼字。對于二元碼，由于信息元有2k種可能的組合，理論上應存在2k個相應的碼字。然而，考慮到碼長為n，理論上存在2n種可能的碼字組合。為了實際傳輸，我們需從這2n種可能中挑選出2k個作為有效傳輸?shù)拇a字，即許用碼字（或合法碼字）。這些被選中的碼字構成了許用碼組。相應地，未被選中的碼字則被視為禁用碼字（或非法碼字），它們共有2n-2k種。信道編碼的過程，實質上就是從龐大的碼字空間中精心挑選出合適的許用碼組的過程。接收端在接收到碼字后，會驗證其是否為許用碼組中的成員。一旦發(fā)現(xiàn)接收到的碼字屬于禁用碼組，即可斷定傳輸過程中發(fā)生了錯誤。3信道編碼的基礎概念3.編碼效率編碼效率，作為衡量糾錯碼性能的一項關鍵指標，其計算公式為R=k/n=k/(k+r)。在此，監(jiān)督元的數(shù)量r與編碼效率成反比：r越大，意味著監(jiān)督信息越多，雖然能增強檢糾錯能力，但相應地也會降低編碼效率。4.碼重的概念碼重，指的是碼字中非零碼元的數(shù)量，以w表示。它是衡量碼字中1的密集程度的一個直觀指標。5.漢明碼距（或碼距）定義：漢明碼距，即兩個碼字在對應位置上取值不同的位數(shù)總和，是衡量碼字間差異程度的重要標尺。碼距的大小直接關系到碼字的錯誤檢測和糾正能力。在信道編碼設計中，增大碼距是提升糾錯性能的有效途徑。例如，對于碼字C1=[100101]和C2=[100011]，它們的漢明碼距為d(C1,C2)=2，因為它們在第四位和第五位上存在差異。3信道編碼的基礎概念

3信道編碼的基礎概念以下是一些關于信道編碼的例子，這些例子將幫助我們更好地理解信道編碼的概念和應用：例子1：奇偶校驗碼奇偶校驗碼是一種簡單而常用的信道編碼方式。它分為奇校驗和偶校驗兩種。

奇校驗：在奇校驗中，所有許用碼字中1的個數(shù)為奇數(shù)。如果傳輸過程中發(fā)生錯誤，導致1的個數(shù)變?yōu)榕紨?shù)，接收端就能檢測到這個錯誤。

偶校驗：在偶校驗中，所有許用碼字中1的個數(shù)為偶數(shù)。如果傳輸過程中發(fā)生錯誤，導致1的個數(shù)變?yōu)槠鏀?shù)，接收端就能檢測到這個錯誤。例如：一個3位的二進制信息（k=3），我們使用4位的碼字（n=4）進行奇偶校驗編碼。對于奇校驗，可能的許用碼字包括[1101]、[1110]、[1011]等（注意這些只是示例，實際編碼時會有特定的規(guī)則來選擇許用碼字）。如果接收端收到了一個如[1010]的碼字，由于它包含兩個1（偶數(shù)個），因此可以判斷傳輸過程中出現(xiàn)了錯誤。例子2：重復碼重復碼也是一種常見的信道編碼方式。它通過重復發(fā)送信息元來增強錯誤檢測的能力。

二次重復碼是指每個信息元都發(fā)送兩次相同的比特。例如，信息元[1]被編碼為[11]，信息元[0]被編碼為[00]。這種編碼方式可以檢測到單個比特的錯誤。

三次重復碼是指每個信息元都發(fā)送發(fā)送三次相同的比特。例如，信息元[1]被編碼為[111]，信息元[0]被編碼為[000]。這種編碼方式可以檢測到最多兩個比特的錯誤，或者糾正一個錯誤。

四次重復碼是指每個信息元都發(fā)送四次相同的比特。例如，信息元[1]被編碼為[1111]，信息元[0]被編碼為[0000]。這種編碼方式可以檢測到最多三個比特的錯誤，或者糾正單個比特的錯誤（例如，如果接收到的碼字是[1101]，則可以判斷第三個比特是錯誤的，并將其糾正為[1111]），或者檢測到2個錯誤，同時糾正一個錯誤。3信道編碼的基礎概念檢糾錯能力44檢糾錯能力信道編碼中的檢錯和糾錯能力與最小碼距有密切關系。最小碼距是指碼組中任意兩個合法碼字之間的最小漢明距離。以下通過分組編碼的例子說明最小碼距與檢糾錯能力的關系。

1.最小碼距與檢糾錯能力的關系例3，許用碼組為{0,1}最小碼距

dmin=1。在這種情況下，一位誤碼會導致一個合法碼字變成另一個合法碼字，因此無法檢測或糾正錯誤。許用碼組為{00,11}最小碼距dmin

=2。當發(fā)生一位誤碼時，合法碼字會變?yōu)榉欠ùa字，因此可以檢測錯誤，但無法糾正。當發(fā)生兩位誤碼時，一個合法碼字會變成另一個合法碼字，接收端無法檢測到錯誤。這種情況下，檢錯能力

e=1，糾錯能力t=0。4檢糾錯能力最小碼距dmin=3。分析如下：檢錯能力：當發(fā)生兩位誤碼時，接收端可以檢測到錯誤，因為碼字變成了非法碼字。糾錯能力：當發(fā)生一位誤碼時，錯誤碼字與正確碼字的距離最近，且與其他合法碼字的距離更遠。根據(jù)“少位錯誤概率大于多位錯誤概率”的原則，可以正確糾正一位誤碼。例如，發(fā)送端發(fā)送碼字`000｀如果發(fā)生一位誤碼，可能變?yōu)閌001`010`或`100｀這些都是非法碼字。接收端可以判斷原始碼字是`000`并糾正錯誤。同理，發(fā)送碼字`111`發(fā)生一位誤碼時，也可以根據(jù)同樣的原理糾正。但當誤碼位數(shù)增加到兩位或三位時，可能出現(xiàn)誤糾正甚至無法檢測的情況，例如`000`誤碼為`111`時，接收端完全無法區(qū)分。4檢糾錯能力綜合以上分析，最小碼距與檢糾錯能力的關系可概括為以下幾點：(1)

檢錯能力：要檢測e位誤碼，最小碼距需滿足：

dmin≥

e+1(2)糾錯能力：要糾正t位誤碼，最小碼距需滿足：

dmin≥

2t

+1(3)

同時檢錯和糾錯：若要同時糾正t位誤碼并檢測e位誤碼，

e>t，最小碼距需滿足：

dmin≥

e+t+14檢糾錯能力2.檢糾錯能力與冗余度的關系提高編碼的檢糾錯能力，需要增加碼字間的最小碼距，而最小碼距的增大與冗余度密切相關。冗余度：碼組中多余的碼元增加會提升碼字間的差異程度，從而增加最小碼距。權衡關系：編碼效率R和最小碼距dmin通常是矛盾的。最小碼距越大，編碼的檢糾錯能力越強，但編碼效率越低。因此，構造糾錯編碼時需在dmin

和R之間找到平衡。要實現(xiàn)良好的檢糾錯能力，不僅需要增加冗余度，還需確保碼組間具有足夠的最小碼距。同時，實際應用中無法實現(xiàn)100%檢錯和糾錯可靠性，因此編碼設計需權衡實際需求與編碼效率的矛盾，在保證一定可靠性的前提下提高系統(tǒng)性能。漢明碼55漢明碼漢明碼（HammingCode）是由美國數(shù)學家理查德·漢明在1950年提出的一種具有糾錯功能的線性分組碼，它在通信和數(shù)據(jù)存儲系統(tǒng)中有著廣泛的應用。漢明碼的設計基于特定的參數(shù)和原則，以實現(xiàn)檢測并糾正單個比特錯誤的能力。漢明碼的主要參數(shù)包括碼長n、信息位數(shù)k和監(jiān)督位數(shù)r。這些參數(shù)之間滿足特定的關系：n=2r

-1，且k=n-r。這里的n是碼字的總長度，k是信息組的長度，而r則是用于糾錯的監(jiān)督碼的長度。通過這種設計，漢明碼能夠確保任意兩個合法碼字之間至少有三個不同的位，即最小碼距dmin

=3。dmin=3是漢明碼的一個重要特征，它使得漢明碼能夠檢測并糾正單個比特錯誤。當接收到一個碼字時，漢明碼可以通過計算監(jiān)督碼與信息碼之間的線性關系來檢測是否存在錯誤。如果存在錯誤，且錯誤只發(fā)生在一個比特上，那么漢明碼能夠準確地定位并糾正這個錯誤。這是因為當一個比特出錯時，出錯碼字與最近的一個合法碼字之間的距離恰好為1（只有一個位不同），而與其他合法碼字的距離都至少為3。5漢明碼漢明碼的設計還考慮了監(jiān)督碼和信息碼之間的線性關系。通過精心設計的編碼算法，漢明碼能夠確保監(jiān)督碼能夠準確地反映出信息碼中的錯誤情況。這樣，在解碼過程中，接收端可以通過計算監(jiān)督碼的值來判斷是否存在錯誤，并根據(jù)錯誤的位置和類型來糾正它。總的來說，漢明碼是一種高效、可靠的編碼方式，它通過特定的參數(shù)設計和編碼算法來實現(xiàn)檢測并糾正單個比特錯誤的能力。這使得漢明碼在數(shù)據(jù)傳輸和存儲系統(tǒng)中具有重要的應用價值，能夠提高數(shù)據(jù)的可靠性和完整性。5漢明碼1.漢明碼將信息序列劃分為長度為k的序列段，并附加r位的監(jiān)督碼。這些監(jiān)督碼和信息碼之間構成線性關系，且滿足上述的2r≥n+1條件。2.監(jiān)督碼的計算通?；谔囟ǖ木€性方程組或校驗關系式。舉例說明如下：(1)假設k=4，需要糾正一位錯誤，則根據(jù)2r≥n+1=k+r+1=4+r+1，解得r≥3。取r=3，則碼長為3+4=7。(2)用a6,a5,...,a0表示這7個碼元，其中a6,a5,a4,a3為信息位，a2,a1,a0為監(jiān)督位。(3)根據(jù)特定的校驗關系式（如S1

=a6⊕a5⊕a4⊕a2，S2

=a6⊕a5⊕a3⊕a1，S3

=a6⊕a4⊕a3⊕a0），可以計算出監(jiān)督位的取值。(4)接收端收到碼字后，根據(jù)相同的校驗關系式計算出S1,S2,S3的值，并通過查表確定錯碼的位置。總之，漢明碼具有糾正單個比特錯誤的能力，因此廣泛應用于需要高可靠性的通信系統(tǒng)中。漢明碼的編碼效率較高，當r趨向無窮大時，編碼效率趨向100%。下一節(jié)將通過漢明碼的實驗，來進一步驗證漢明碼編碼和糾錯的方法。5漢明碼實驗8漢明碼編譯碼及糾錯能力驗證實驗三、實驗原理1.漢明碼編碼采用漢明碼，信息位數(shù)，監(jiān)督位數(shù)，可以糾一位錯碼，生成矩陣，編碼情況見表9-1。

表9-1

Hamming編碼表信息位監(jiān)督位信息位監(jiān)督位0000000100011100010111001100001010110100100011110101100101001101100001010110111010100110011111010001110001111111

5漢明碼2,漢明碼譯碼計算校正子，其中校正子的值決定了接收碼元中是否有錯碼，并且指出錯碼的位置，見表9-2。表9-2

錯碼位置示意錯碼位置錯碼位置001101010110100111011000無錯5漢明碼3.舉例說明漢明碼中信息位a6a5a4a3為1001，根據(jù)表格9-1Hamming編碼表，編碼為1001100，如果在信道傳輸?shù)倪^程中產(chǎn)生了一位誤碼，編碼接收時變?yōu)?101100，我們根據(jù)漢明碼規(guī)則，計算校正子如果在信道傳輸?shù)倪^程中產(chǎn)生一位誤碼，編碼接收時變?yōu)?，我們計算校正子：S1=a6十a(chǎn)5十a(chǎn)4十a(chǎn)2=1S2=a6十a(chǎn)5十a(chǎn)3十a(chǎn)1=1S3=a6十a(chǎn)4十a(chǎn)3十a(chǎn)0=0校正子S=110，查找表9-2錯碼位置示意，a5產(chǎn)生誤碼，則譯碼輸出信息位1001100。注意：為了便于分頻，在CPLD實現(xiàn)漢明編碼時，每一編碼組后面插入了一位‘0’碼。例如‘0010’編碼應該為‘0010101’七位比特，插入‘0’碼后則輸出‘00101010’八位比特，插入的‘0’碼在譯碼時將直接舍去。5漢明碼知識拓展：偽隨機序列（

PN碼）的分類1.PN碼的特性PN碼，即偽隨機噪聲碼（PseudorandomNoiseCode），是一種貌似隨機但實際上是有規(guī)律的周期性二進制序列。它雖然由確定的構造方法產(chǎn)生，但卻具有很多類似隨機序列的性質，如{0、1}的個數(shù)接近相等，連續(xù)0或1的子序列比例確定，以及自相關函數(shù)類似白噪聲等。2.PN碼與自然隨機碼的區(qū)別自然生成的任意碼并不等同于隨機碼，更不等同于PN碼。自然隨機碼通常指的是在某種自然過程或物理現(xiàn)象中產(chǎn)生的隨機性序列，如放射性衰變、熱噪聲等。這些序列雖然具有隨機性，但往往難以控制和復制，且其統(tǒng)計特性可能不符合特定通信系統(tǒng)的要求。相比之下，PN碼是通過特定的算法和構造方法產(chǎn)生的，具有確定的周期性和可預測性。這使得PN碼在通信系統(tǒng)中能夠更容易地實現(xiàn)同步和控制，從而滿足系統(tǒng)對隨機性和規(guī)律性的雙重需求。5漢明碼3.偽隨機序列（PN碼）的分類（1）m序列（2）Gold序列4.PN碼在通信系統(tǒng)中的應用加密與擴頻：PN碼的主要用途之一是改變信號的特性，用于加密或擴頻。在CDMA（碼分多址）通信系統(tǒng)中，PN碼被用作地址碼來區(qū)分不同的用戶或信道。通過擴頻技術，PN碼能夠將原始信號擴展到較寬的頻帶上，從而提高信號的抗干擾能力和傳輸可靠性。同步與捕獲：在CDMA擴頻通信中，PN碼序列的同步是關鍵技術之一。接收機需要準確地捕獲和跟蹤發(fā)送的PN碼序列，以確保能夠正確解碼和恢復原始信號。PN碼的同步過程包括捕獲（精同步）和跟蹤（細同步）兩個階段，其中捕獲階段是通過搜索和調整接收機的本地PN碼序列相位來實現(xiàn)的。提高通信質量：PN碼的使用還可以提高通信系統(tǒng)的抗干擾能力和傳輸效率。由于PN碼具有類似白噪聲的自相關函數(shù)特性，它能夠在一定程度上抑制信道中的干擾和噪聲，從而提高信號的傳輸質量。習題6一、選擇題1.

差錯控制的主要目的是什么？

A.提高數(shù)據(jù)傳輸速度B.確保數(shù)據(jù)的準確性和完整性C.減少通信設備的能耗

D.加快數(shù)據(jù)處理速度2.

下列哪種編碼技術常用于提高數(shù)據(jù)傳輸?shù)目煽啃?？A.Huffman編碼B.ASCII編碼C.信道編碼D.曼徹斯特編碼3.

漢明碼是一種什么類型的編碼？A.壓縮編碼B.加密編碼C.差錯檢測與糾正編碼D.數(shù)據(jù)轉換編碼4.

在差錯控制中，檢錯碼與糾錯碼的主要區(qū)別在于？A.檢錯碼只能檢測錯誤，不能糾正B.檢錯碼和糾錯碼都能自動修復錯誤

C.檢錯碼比糾錯碼更復雜

D.檢錯碼通常用于加密數(shù)據(jù)5.

下列哪個不是漢明碼設計中的一個關鍵步驟？

A.確定校驗位的數(shù)量和位置B.對數(shù)據(jù)進行分組C.引入冗余位以檢測錯誤

D.使用復雜的加密算法6習題6.

偽隨機序列在差錯控制中的主要作用是？

A.加密數(shù)據(jù)

B.生成隨機數(shù)用于測試

C.擾碼以改善信號特性

D.提供同步信號7.

下列哪項是衡量編碼效率的一個重要指標？

A.編碼速率B.碼率