第第頁專題07數(shù)列求和方法總結(jié)：1.等差數(shù)列求和公式：2.等比數(shù)列求和公式：3.錯位相減法：特點：等差等比對“錯位相減法”的深層理解：通項公式的特點在錯位相減法的過程中體現(xiàn)了怎樣的作用？通過解題過程我們可以發(fā)現(xiàn)：等比的部分使得每項的次數(shù)逐次遞增，才保證在兩邊同乘公比時實現(xiàn)了“錯位”的效果。而等差的部分錯位部分“相減”后保持系數(shù)一致（其系數(shù)即為等差部分的公差），從而可圈在一起進(jìn)行等比數(shù)列求和。體會到“錯位”與“相減”所需要的條件，則可以讓我們更靈活的使用這一方法進(jìn)行數(shù)列求和4.裂項相消：特點：的表達(dá)式能夠拆成形如的形式（），從而在求和時可以進(jìn)行相鄰項（或相隔幾項）的相消。(5）分類求和：如果通項公式是前幾種可求和形式的和與差，那么在求和時可將通項公式的項分成這幾部分分別求和后，再將結(jié)果進(jìn)行相加。例：可知通項公式為，那么在求和的過程中可拆成3部分：分別求和后再相加5.分組求和（1）利用周期性求和：如果一個數(shù)列的項按某個周期循環(huán)往復(fù)，則在求和時可將一個周期內(nèi)的項歸為一組求和，再統(tǒng)計前項和中含多少個周期即可（2）通項公式為分段函數(shù)（或含有，多為奇偶分段。若每段的通項公式均可求和，則可以考慮奇數(shù)項一組，偶數(shù)項一組分別求和，但要注意兩點：一是序數(shù)的間隔（等差等比求和時會影響公差公比），二是要對項數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論（可見典型例題）；若每段的通項公式無法直接求和，則可以考慮相鄰項相加看是否存在規(guī)律，便于求和6.倒序相加：若數(shù)列中的第項與倒數(shù)第項的和具備規(guī)律，在求和時可以考慮兩項為一組求和，如果想避免項數(shù)的奇偶討論，可以采取倒序相加的特點，例1．已知數(shù)列的前項和為，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使得包括與在內(nèi)的這個數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，求的前項和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到，兩式相減求得，進(jìn)而得到數(shù)列是首項為1公比為3的等比數(shù)列，即可求解；（2）由題意得到，結(jié)合乘公比錯位相加法求和，即可求解.(1)解：因為，所以，兩式相減可得，所以，令，可得，所以，所以數(shù)列是首項為1公比為3的等比數(shù)列，所以.(2)解：由題意，可得，所以，所以，，兩式相減可得所以.例2．已知在單調(diào)遞增的等差數(shù)列中，，為方程的兩個實根．(1)求的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）設(shè)的公差為d，首先求出方程的解，即可得到，，即可求出公差，即可得解；（2）由（1）可得，再利用錯位相減法求和即可；(1)解：設(shè)的公差為d，由，解得或，因為，為方程的兩個實根，且單調(diào)遞增，所以，，所以，所以，解，所以，即的通項公式為．(2)解：由（1）可得，所以，，兩式相減得，所以．例3．設(shè)是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知成等差數(shù)列.(1)求和的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，；(2)【分析】(1)根據(jù)等差中項的應(yīng)用可得，利用等比數(shù)列的通項公式求出公比進(jìn)而求出，代入即可；(2)結(jié)合(1)可得的通項公式，利用錯位相減求和法計算即可得出結(jié)果.(1)成等差數(shù)列，，是首項為1的等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，(2)由（1）知，①②①-②得，，例4．設(shè)數(shù)列是首項為1的等差數(shù)列，若是，的等比中項，且.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項的和.【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)給定條件求出數(shù)列的公差即可求解作答.(2)由(1)結(jié)合裂項相消法計算求出作答.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由是，的等比中項得，即，因，則，解得，，所以的通項公式是：.(2)由(1)知，，則，所以數(shù)列的前n項的和.例5．已知數(shù)列的前n項和為，且組成等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前n項和為，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合裂項求和法，求得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再求其值域即可證明.(1)∵組成等差數(shù)列，∴，當(dāng)時可得∴，即，又當(dāng)時，，解得，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則.(2)由（1）可知，故則∵

故，故，即證.例6．已知公差不為零的等差數(shù)列中，，又成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用已知條件和等比中項，求出數(shù)列的首項和公差，即可求出通項公式；（2）利用裂項相消法即可求出結(jié)果.(1)解：公差不為零的等差數(shù)列中，，又成等比數(shù)列，所以，即，解得，則；(2)解：由（1）可知，，可得數(shù)列的前項和.例7．已知為等差數(shù)列，前n項和為，是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，，，.(1)求和的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由等差等比的通項公式列出方程，求解得出通項公式；（2）先得出數(shù)列的通項公式，再由錯位相減法求和即可.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.由已知，得，而，所以又，解得，所以，由，可得①由，可得②聯(lián)立①②，解得，由此可得所以數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為(2)解：設(shè)數(shù)列的前項和為，由，有，故上述兩式相減，得得.所以，數(shù)列的前項和為.例8．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，數(shù)列的前n項和為.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用，即證數(shù)列為等比數(shù)列.（2）先求得，然后求得，利用分組求和法即得.(1)當(dāng)時，，，當(dāng)時，，①，②①－②得，即.又，∴是首項為，公比為2的等比數(shù)列.(2)由（1）知，，∵，∴，∴.過關(guān)練習(xí)1．已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意所求和為，然后變形為，進(jìn)而通過平方差公式化簡，最后結(jié)合等差數(shù)列求和公式求出答案.【詳解】.故選：A.2．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=n2，記數(shù)列的前n項和為Tn，n∈N*.則T20的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)與的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，再利用裂項相消法即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，等式也成立，所以，所以，所以，所以.故選：C.3．定義為n個正數(shù)u1，u2，u3，…，un的“快樂數(shù)”.若已知正項數(shù)列{an}的前n項的“快樂數(shù)”為，則數(shù)列的前2022項和為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求得，再求，結(jié)合裂項求和法即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)正項數(shù)列{an}的前n項和為，則，解得Sn＝3n2＋n，故an＝Sn－Sn－1＝6n－2（n≥2），且a1＝4，則an＝6n－2，∴＝＝－.則的前2022項和為＋＋…＋＝.故選：.4．?dāng)?shù)列中，，且，記數(shù)列的前n項和為，則______.【答案】【分析】先利用構(gòu)造數(shù)列法求解數(shù)列的通項公式，然后利用分組求和法求解前n項和.【詳解】因為，設(shè)存在實數(shù)，使得，解得，所以數(shù)列是公比為，首項為的等比數(shù)列，所以，得，所以.故答案為：【點睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．5．已知數(shù)列、，，，其前項和分別為，，記最接近的整數(shù)為，則______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件利用裂項相消法求出，探討值的范圍，確定的表達(dá)式即可計算作答.【詳解】依題意，，則，即有，從而有，因此，，若，則，若，則，，所以.故答案為：2550【點睛】思路點睛：裂項法求和，要注意正負(fù)項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的.6．?dāng)?shù)列已知數(shù)列滿足：，（）.正項數(shù)列滿足：對于每個，，且，，成等比數(shù)列，則的前n項和為_____．【答案】【分析】要從數(shù)列代數(shù)式的代數(shù)結(jié)構(gòu)觀察，，可以用累乘法；有了以后，再分析的代數(shù)結(jié)構(gòu).【詳解】∵，∴，用累乘法：，，；由題意：，，由于是正數(shù)，所以，，用裂項相消法：=，故答案為：.7．?dāng)?shù)列的通項公式為，前項和為，則＝________.【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)中的通項公式，列舉出數(shù)列的前幾項，找出規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律求和.【詳解】解：，，，，又的周期為，故答案為：8．?dāng)?shù)列的通項公式為，其中表示不超過x的最大整數(shù)，則的前32項和為__________．【答案】631【分析】由，分析的不同取值對應(yīng)的的取值情況，分組求和即得解【詳解】由題意，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；故的前32項和為：故答案為：6319．函數(shù)稱為高斯函數(shù)，表示不超過，x的最大整數(shù)，如，.已知數(shù)列滿足，且，若，則數(shù)列的2022項和為___________.【答案】4959【分析】根據(jù)遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，再分類討論求出，即可求和.【詳解】，，當(dāng)時，時，；當(dāng)時，時，；當(dāng)時，時，；當(dāng)時，時，；所以故答案為：495910．給出以下條件：①成等比數(shù)列；②成等比數(shù)列；③.從中任選一個，補充在下面的橫線上，再解答.已知遞增等差數(shù)列的前n項和為，且，______________.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項的和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)【分析】(1)由已知條件可知，求等差數(shù)列的通項公式，就是求公差；列方程求解的過程中注意是遞增數(shù)列，即即可；（2）等差乘等比的數(shù)列求和就是要用錯位相減法.(1)設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，若選條件①，由，有，化簡得.解得或（舍去）所以數(shù)列的通項公式為.若選條件②，由，有，化簡得.解得或（舍去）所以數(shù)列的通項公式為.若選擇條件③，由，有，兩式相減得：，因為，所以，故，所以，即，所以數(shù)列的通項公式為；(2)由是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，由（1）知，所以，所以，兩邊同乘以2得：，以上兩式相減得：，即，所以，故答案為：2n，.11．已知數(shù)列的通項公式為(1)求數(shù)列的前項和；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列求和進(jìn)行求解.（2）根據(jù)錯位相減法進(jìn)行數(shù)列求和.(1)解：由題意得：，則為等差數(shù)列，首項．∴．(2)∴①∴②①-②得，∴．12．已知數(shù)列滿足，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)令，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由題意可得，左右同取倒數(shù)，整理可得，根據(jù)等差數(shù)列的定義，即可得證.（2）由（1）可得，代入可得，根據(jù)裂項相消求和法，即可得答案.(1)證明：由已知，得，所以，所以，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．(2)由（1）可得，，則，所以，所以．13．已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，的前項和，，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）由的前項和即可求出等比數(shù)列的通項公式，由和即可求出等差數(shù)列的通項公式.（2）利用錯位相減法即可求得數(shù)列的前項和.(1)設(shè)的公差為，的公比為，由已知可得，，則，即．∵，∴，又∵，∴，解得，即．(2)由（1）知，令①，①式兩邊同乘得：②，錯位相減得則．14．已知等差數(shù)列的前n項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式以及前n項和；(2)若，求數(shù)列的前2n－1項和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及基本量運算即得；（2）利用分組求和法及裂項相消法即得.(1)依題意，，則，故，解得d＝2，∴，故，.(2)依題意，得，故，故15．設(shè)首項為2的數(shù)列的前項積為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由遞推關(guān)系可得，再由累乘法求數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)裂項相消法求數(shù)列的和即可.(1)∵，∴，即，由累乘法得，，當(dāng)時，也滿足上式，∴.(2)由（1）知，，∴，則16．已知在數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的前項和；(2)設(shè)，求數(shù)列的項的和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題可得，進(jìn)而即求；（2）由題可得，然后利用等比數(shù)列求和公式即得.(1)∵，∴，即.(2)∵，，∴，,∴是首項為32，公比為16的等比數(shù)列，所以，.17．已知公差不為0的等差數(shù)列中，，，，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由，，構(gòu)成等比數(shù)列得到之間的關(guān)系，再將化簡成間的式子，進(jìn)而解出，然后求出答案；（2）結(jié)合（1），然后通過分組求和的方法解得答案即可.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，，構(gòu)成等比數(shù)列，所以，即，化簡得，因為，所以，又，所以，聯(lián)立方程組解得，，所以．(2)由（1）可得，，所以數(shù)列的前n項和．18．已知數(shù)列的前項和為，且對任意的有.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）令可求得的值，令，由可得，兩式作差可得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）求得，利用分組求和法可求得.(1)證明：當(dāng)時，，則；.當(dāng)時，由可得.兩式相減得，即，.因為，則，，以此類推可知，對任意的，，所以，數(shù)列構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列.(2)解：由（1），故，則.所以，.19．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，數(shù)列是等比數(shù)列，，公比，且，.(1)求，的通項公式；(2)設(shè)，，求證：.【答案】(1)

，(2)證明見解析【分析】（1）由題意列出方程求出公差、公比即可得出數(shù)列通項；（2）先對化簡后放縮，再由裂項相消法求和，即可得證.(1)由題意，數(shù)列是等差數(shù)列，，數(shù)列是等比數(shù)列，，公比，設(shè)的公差為，由可得，或，，可得：,.(2)且故不等式得證.20．已知正項數(shù)列滿足，，，成等比數(shù)列，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求及數(shù)列的通項公式；(3)若，求數(shù)列的前n項和【答案】(1)證明見解析；(2)；；(3)【分析】（1）由題意得，兩邊取對數(shù)可得，即可證明；（2）由（1）知，所以，即可求解；（3）由可化為，由裂項相消求和法得出，結(jié)合（2）即可求證明．(1)因為，，成等比數(shù)列，所以，所以因為，所以，將式兩邊取對數(shù)，得，即，所以，數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列(2)由（1）知，所以，所以所以(3)因為，即①；又因為，所以，即②；①式代入②式消去，可得所以因為，，則，所以21．已知數(shù)列{an}和{bn}，a1＝2，，，(1)證明：是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前n項和Sn.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由，得，，變形可得，從而可證得是等比數(shù)列；（2）由（1）求出，代入中可得數(shù)列的通項，然后利用裂項求和的方法可得結(jié)果.(1)解：∵，，∴，，又，，解得，，∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列.(2)解：由（1）知，則，∴，∴.22．已知等比數(shù)列的前n項和為（b為常數(shù)）．(1)求b的值和數(shù)列的通項公式；(2)記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）依題意等比數(shù)列的公比不為1，再根據(jù)等比數(shù)列前項和公式得到，即可得到且，從而求出、，即可得解；（2）首先令，，即可求出的取值范圍，從而求出，即可得到，再利用錯位相減法求和即可；(1)解：由題設(shè)，顯然等比數(shù)列的公比不為1，若的首項、公比分別為、，則，∴且，所以，故的通項公式為．當(dāng)時，；(2)解：令，，解得，所以數(shù)列在中的項的個數(shù)為，則，所以，∵，①∵②

兩式相減得∴．∴23．已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）利用可得，轉(zhuǎn)化為可得答案；（2）求得，利用錯位相減可得答案.(1)由可得，由得，所以，即，所以，，所以數(shù)列是公差為1，首項為1的等差數(shù)列.(2)由（1），得，所以，，兩式相減得，所以.24．已知數(shù)列的前項和為，，給出以下三個命題：①；②是等差數(shù)列；③(1)從三個命題中選取兩個作為條件，另外一個作為結(jié)論，并進(jìn)行證明；(2)利用（1）中的條件，證明數(shù)列的前項和.【分析】（1）由①②作為條件，求出等差數(shù)列的通項公及前項和，即可求證③成立；由①③作為條件，根據(jù)，得出及聯(lián)立，即可求出數(shù)列的通項公式，根據(jù)等差數(shù)列定義即可證明②成立.由②③作為條件，設(shè)等差數(shù)列的公差，用表示等差數(shù)列通項公及前項和，代入，求出