第第頁(yè)第08講數(shù)列中的范圍與最值問題方法總結(jié)：1、在數(shù)列中涉及到的不等關(guān)系通常與數(shù)列的最值有關(guān)，而要求的數(shù)列中的最值項(xiàng)，要依靠數(shù)列的單調(diào)性，所以判斷數(shù)列的單調(diào)性往往是此類問題的入手點(diǎn)，判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法：（1）函數(shù)角度：從通項(xiàng)公式入手，將其視為關(guān)于的函數(shù)，然后通過函數(shù)的單調(diào)性來判斷數(shù)列的單調(diào)性。由于，所以如果需要用到導(dǎo)數(shù)，首先要構(gòu)造一個(gè)與通項(xiàng)公式形式相同，但定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性后再結(jié)合得到數(shù)列的單調(diào)性（2）相鄰項(xiàng)比較：在通項(xiàng)公式不便于直接分析單調(diào)性時(shí)，可考慮進(jìn)行相鄰項(xiàng)的比較得出數(shù)列的單調(diào)性，通常的手段就是作差（與0比較，從而轉(zhuǎn)化為判斷符號(hào)問題）或作商（與1比較，但要求是正項(xiàng)數(shù)列）典型例題：例1．設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，且、、成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求使成立的的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出等比數(shù)列的公比，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得；（2）利用等比數(shù)列的求和公式以及已知條件可得出關(guān)于的不等式，解之即可得解.(1)解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由，故.(2)解：，則，整理得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，不合乎題意；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則，可得，可得.因此，的最大值為.例2．已知數(shù)列和滿足，，.(1)求與；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，若不等式，對(duì)一切都成立，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】(1)，；(2).【分析】(1)根據(jù)給定條件利用累加法，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算得，再借助前n項(xiàng)和第n項(xiàng)的關(guān)系推理計(jì)算作答.(2)由(1)求出，變形給定不等式，再分奇偶討論計(jì)算作答.(1)依題意，當(dāng)時(shí)，，則，而滿足上式，故有；，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，則，而，滿足上式，即有，所以，.(2)由(1)知，，兩邊同乘-2得：，兩式相減得：，，由得：，依題意，對(duì)一切，都成立，當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，，而數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，，解得，因此，，所以實(shí)數(shù)的最小值.例3．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得恒成立的m的最小值.【答案】(1)；(2)2.【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列公差d，由已知條件求出公差d即可得其通項(xiàng)公式；(2)采用裂項(xiàng)相消的方法求得，求出的最大值即可.(1)在等差數(shù)列中，設(shè)公差為，則，由已知得，解得，.(2)由(1)知，，則，∴，，∴要使恒成立，只需，解得，∴的最小值為2.例4.已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，令，求的最小值．【答案】(1)，；(2).【分析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差，根據(jù)給定條件列出方程求解作答.(2)由(1)的結(jié)論求出，利用裂項(xiàng)相消法求出，再借助均值不等式計(jì)算作答.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，a1+d+a1+7d=20于是得，，所以數(shù)列、的通項(xiàng)公式分別為：，.(2)由(1)知，，因此，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為81.例5．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)在數(shù)列中，，且若對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)求得與，即可求得其通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)，可得，兩式作差，在根據(jù)題意，可證明數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求得，再根據(jù)，可得，對(duì)，，三種情況進(jìn)行分類討論，解決恒成立問題，即可求出結(jié)果.(1)解：等差數(shù)列的公差為，由，得解得，所以；(2)解：由，得，相減得，即．又，，得，故對(duì)任意成立，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；所以；將代入，得，即有對(duì)任意恒成立．（?。┊?dāng)時(shí)，成立，所以符合題意-（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由恒成立，即易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故．所以，且，可解得；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，由恒成立，即，由，可知當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)且時(shí)，，即，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以．所以．即且，得，解得；綜上，例6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)若，對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）首先由與的關(guān)系求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再以累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）以裂項(xiàng)相消法對(duì)求和，并求得其最小值即可解決.(1)數(shù)列中，，由，得，時(shí)，，則則，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.則由，得，故(2)由，可得，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí).故實(shí)數(shù)的取值范圍為.例7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為．①求；②若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)①；②.【分析】(1)根據(jù)給定的遞推公式結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”探求數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系計(jì)算作答.(2)①由(1)及已知求出，再用錯(cuò)位相減法計(jì)算得解；②根據(jù)給定不等式，分類分離參數(shù)，探討數(shù)列單調(diào)性即可求解作答.(1)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，即，當(dāng)時(shí)，，，即，有，因此，，，且，于是得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則有，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.(2)①由(1)及，得，則，于是得，兩式相減得：，所以②由，得恒成立，即恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即，當(dāng)時(shí)，恒有，此時(shí)，數(shù)列是遞增的，當(dāng)時(shí)，，則有，當(dāng)時(shí)，恒有，此時(shí)，數(shù)列是遞增的，，恒有成立，則有，綜上得，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.過關(guān)練習(xí)1．已知{}為等比數(shù)列，，公比.若是數(shù)列{}的前n項(xiàng)積，則取最大值時(shí)n為（）A．3 B．4 C．3或4 D．4或5【答案】C【分析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列{}的通項(xiàng)，再求出并進(jìn)行推理計(jì)算作答.【詳解】依題意，等比數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是：，因此，，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，數(shù)列遞減，，所以取最大值時(shí)n為3或4.故選：C2．已知數(shù)列滿足，（且），若恒成立，則M的最小值是（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)，（且），利用累加法求得，再根據(jù)恒成立求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，（且）所以，，因?yàn)楹愠闪?，所以，則M的最小值是，故選：C3．設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，且．則使的n的最小值為（

）．A．30 B．31 C．32 D．33【答案】B【分析】求得和公差的關(guān)系，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式列不等式，由此求得的最小值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，由于，，所以，所以，所以的最小值為.故選：B4．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，記表示不超過的最大整數(shù)，．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使得成立的的最小值為(

)A．1180 B．1179 C．2020 D．2021【答案】A【分析】利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)n的取值討論并判斷即可.【詳解】①，令，得，解得．，②，由①②可得，整理得，根據(jù)可知，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴，．∴，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，．∵，，∴使成立的的最小值為．故選：A．5．已知數(shù)列滿足，且取最小值時(shí)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由數(shù)列遞推關(guān)系利用累加法可知，進(jìn)而化簡(jiǎn)的表達(dá)式，利用基本不等式計(jì)算即得結(jié)論.【詳解】由，得，，累加可得，又，.當(dāng)，，也滿足上式.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.，令，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.因?yàn)?故選：C.6．已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)列的正負(fù)項(xiàng)求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，公差，所以，故在?shù)列中，，，，，均小于0，中其余項(xiàng)均大于0．又因?yàn)?，，所以?dāng)取得最小值時(shí)，的值為6．故選：C．7．在正項(xiàng)等比數(shù)列}中，存在兩項(xiàng)且，使得，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而有，再應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】令公比為，由題設(shè)，又，所以，可得或(舍)，由，即，可得，所以，又，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故當(dāng)時(shí).故選：C8．已知數(shù)列滿足，對(duì)任意中存在一項(xiàng)是另外兩項(xiàng)之和，且，記數(shù)列的則前項(xiàng)和為，則的最小值為（

）A．1361 B．1481 C．1681 D．2021【答案】A【分析】由題意可知，要使得有最小值，則要盡可能的小，根據(jù)題意，利用列舉法可知數(shù)列從第九項(xiàng)起，是以3為周期的數(shù)列，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意中存在一項(xiàng)是另外兩項(xiàng)之和，所以，或，或又，所以，要使得有最小值，則要盡可能的?。粍t根據(jù)對(duì)任意中存在一項(xiàng)是另外兩項(xiàng)之和，且要盡可能的小，利用列舉法可知數(shù)列為：，可知數(shù)列從第九項(xiàng)起，是以3為周期的數(shù)列，又，所以的最小值為.故選：A.9．設(shè)等差數(shù)列的公差為d，其前n項(xiàng)和為，且，，則使得的正整數(shù)n的最小值為（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及已知分別判斷、、的符號(hào)即可.【詳解】由，得，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，，，，，所以，，使得的正整數(shù)n的最小值為.故選:D.10．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足的的最小值為（

）A．12 B．7 C．6 D．1【答案】A【分析】先求出，得到，求出數(shù)列的前項(xiàng)和為，解不等式即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為滿足，所以.當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；經(jīng)檢驗(yàn)，對(duì)n=1也成立，所以.所以，所以數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.由可得：，解得：（舍去）.所以的最小值為12.故選：A.11．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，記數(shù)列的前n項(xiàng)積為，，則n的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列的通項(xiàng)，再計(jì)算，列式解不等式作答.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列公比為q，由得，于是得，而，解得，因此，，，由得：，從而得：，而，解得，又，則，所以n的最小值為5.故選：C12．已知數(shù)列的首項(xiàng)是，前項(xiàng)和為，且，設(shè)，若存在常數(shù)，使不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系得到數(shù)列的遞推關(guān)系，再構(gòu)造等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可求數(shù)列通項(xiàng)公式，代入所求式子，分子、分母同除以構(gòu)造基本不等式即可求出的最大值，從而求出的范圍.【詳解】由，則當(dāng)時(shí)，得，兩式相減得，變形可得：，又，，所以，，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，故，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造等比數(shù)列求的通項(xiàng)公式，即可得通項(xiàng)公式，再由不等式恒成立，結(jié)合基本不等式求的最值，即可求參數(shù)范圍.13．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，若實(shí)數(shù)滿足對(duì)任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)裂項(xiàng)相消法，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】解：，前項(xiàng)和為，可得為遞增數(shù)列，且有取得最小值；且，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)恒成立，即為對(duì)任意正整數(shù)恒成立，由，可得①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)恒成立，即為對(duì)任意正整數(shù)恒成立，由，可得，即②由①②解得．故選：A14．已知數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為，且，則的最大值為________．【答案】【分析】利用并項(xiàng)求和法求得，由此求得的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得的最大值.【詳解】當(dāng)，由已知條件可得，所以，則，所以，，∴，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最大值．故答案為：15．已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，（c為實(shí)數(shù)）．若，則當(dāng)取最小值時(shí)，n＝______．【答案】11【分析】根據(jù)遞推關(guān)系，多遞推一項(xiàng)再相減，得，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，研究數(shù)列的單調(diào)性，得到前項(xiàng)和的最小值?！驹斀狻坑深}意，，兩式相減得，則．設(shè)等比數(shù)列的公比為q，故，故，則，故，令，可得，則，即，故當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)取最小值時(shí)，．故答案為：1116．在等差數(shù)列中，，當(dāng)取得最小值時(shí)，______.【答案】7【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到，把化為關(guān)于公差的關(guān)系式，進(jìn)而得到時(shí)取得最小值，進(jìn)而求出答案.【詳解】由題意得：，則；，所以：當(dāng)時(shí)，取得最小值.此時(shí)故答案為：717．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【分析】首先利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)列的單調(diào)性建立不等關(guān)系，進(jìn)一步求出參數(shù)的范圍．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，又所以，所以，又是單調(diào)遞增數(shù)列，所以