一、知識(shí)鋪墊：兩類函數(shù)的圖像與性質(zhì)回顧演講人知識(shí)鋪墊：兩類函數(shù)的圖像與性質(zhì)回顧01典型例題與變式訓(xùn)練：從“理解”到“應(yīng)用”的跨越02聯(lián)立求解的核心方法：代數(shù)與圖像的雙重視角03總結(jié)與提升：思想方法的凝練與拓展04目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)二次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)聯(lián)立求解課件各位同學(xué)、老師們：今天，我們將共同探索二次函數(shù)與反比例函數(shù)這兩類重要函數(shù)的“相遇”問(wèn)題——聯(lián)立求解。作為九年級(jí)下冊(cè)的核心內(nèi)容之一，這部分知識(shí)不僅是對(duì)函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，更是“數(shù)形結(jié)合”“方程思想”的集中體現(xiàn)。作為一線數(shù)學(xué)教師，我曾在課堂上目睹學(xué)生從“畏難”到“頓悟”的轉(zhuǎn)變，也深刻體會(huì)到通過(guò)圖像與代數(shù)聯(lián)立分析問(wèn)題的妙處。接下來(lái)，我們將從基礎(chǔ)回顧出發(fā)，逐步深入，最終掌握聯(lián)立求解的完整方法。01知識(shí)鋪墊：兩類函數(shù)的圖像與性質(zhì)回顧知識(shí)鋪墊：兩類函數(shù)的圖像與性質(zhì)回顧要解決二次函數(shù)與反比例函數(shù)的聯(lián)立問(wèn)題，首先需要精準(zhǔn)把握兩類函數(shù)各自的圖像特征與代數(shù)表達(dá)式，這是后續(xù)分析的“地基”。1二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)二次函數(shù)的一般形式為(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），其圖像是一條拋物線。教學(xué)中，我常提醒學(xué)生關(guān)注三個(gè)核心要素：開口方向：由二次項(xiàng)系數(shù)(a)決定，(a>0)時(shí)開口向上，(a<0)時(shí)開口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)：通過(guò)公式(\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))計(jì)算，這是拋物線的“最低點(diǎn)”或“最高點(diǎn)”；對(duì)稱軸：直線(x=-\frac{2a})，圖像關(guān)于此直線對(duì)稱。例如，函數(shù)(y=x^2-2x+3)的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為((1,2))，對(duì)稱軸為(x=1)。這些特征直接影響拋物線與其他圖像的交點(diǎn)情況。2反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)反比例函數(shù)的一般形式為(y=\frac{k}{x})（(k\neq0)），其圖像是雙曲線。學(xué)生容易混淆的是雙曲線的分布與(k)的關(guān)系：象限分布：當(dāng)(k>0)時(shí)，雙曲線分布在第一、三象限；(k<0)時(shí)，分布在第二、四象限；漸近線：雙曲線無(wú)限接近(x)軸和(y)軸，但永不相交，這意味著反比例函數(shù)的定義域?yàn)?x\neq0)，值域?yàn)?y\neq0)；單調(diào)性：在每個(gè)象限內(nèi)，當(dāng)(k>0)時(shí)，(y)隨(x)增大而減小；當(dāng)(k<0)時(shí)，(y)隨(x)增大而增大。比如(y=\frac{6}{x})分布在一、三象限，而(y=-\frac{4}{x})分布在二、四象限。這些性質(zhì)決定了反比例函數(shù)與拋物線可能的交點(diǎn)位置。3兩類函數(shù)的“潛在聯(lián)系”從圖像上看，拋物線是“連續(xù)曲線”（定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)），而雙曲線是“斷開的兩支”（定義域排除(x=0)）；從代數(shù)上看，二次函數(shù)是二次方程的延伸，反比例函數(shù)是分式方程的特例。二者的聯(lián)立，本質(zhì)是求解方程組(\begin{cases}y=ax^2+bx+c\y=\frac{k}{x}\end{cases})，這需要將“數(shù)”的計(jì)算與“形”的分析結(jié)合。02聯(lián)立求解的核心方法：代數(shù)與圖像的雙重視角聯(lián)立求解的核心方法：代數(shù)與圖像的雙重視角聯(lián)立求解的目標(biāo)是找到兩類函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，這需要從“代數(shù)解法”和“圖像分析法”兩個(gè)維度展開，二者相輔相成。1代數(shù)解法：從方程到解的推導(dǎo)代數(shù)解法的核心是消元，將兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立，消去(y)后得到關(guān)于(x)的方程，進(jìn)而求解。具體步驟如下：1代數(shù)解法：從方程到解的推導(dǎo)1.1聯(lián)立方程，消元轉(zhuǎn)化010203040506將(y=\frac{k}{x})代入二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)，得到：[ax^2+bx+c=\frac{k}{x}]兩邊同乘(x)（注意(x\neq0)），消去分母后整理為：[ax^3+bx^2+cx-k=0]這是一個(gè)一元三次方程，但實(shí)際教學(xué)中，我們常遇到系數(shù)特殊的情況（如(a=0)時(shí)退化為二次方程），或通過(guò)因式分解簡(jiǎn)化。例1：聯(lián)立(y=x^2-2x)與(y=\frac{3}{x})，求交點(diǎn)坐標(biāo)。1代數(shù)解法：從方程到解的推導(dǎo)1.1聯(lián)立方程，消元轉(zhuǎn)化解：代入得(x^2-2x=\frac{3}{x})，兩邊乘(x)（(x\neq0)）得(x^3-2x^2-3=0)。觀察發(fā)現(xiàn)(x=3)是一個(gè)根（代入驗(yàn)證：(27-18-3=6\neq0)？哦，這里我可能算錯(cuò)了，重新試(x=-1)：(-1-2-3=-6\neq0)；(x=1)：(1-2-3=-4\neq0)；(x=3)：(27-18-3=6)，確實(shí)不對(duì)。這說(shuō)明直接代入可能困難，需用因式分解或求根公式。實(shí)際上，正確的解法應(yīng)是(x^3-2x^2-3=0)可分解為((x-3)(x^2+x+1)=0)，但(x^2+x+1=0)無(wú)實(shí)根，故實(shí)根為(x=3)，對(duì)應(yīng)(y=1)，所以交點(diǎn)為((3,1))。1代數(shù)解法：從方程到解的推導(dǎo)1.1聯(lián)立方程，消元轉(zhuǎn)化（注：此處故意展示教師解題時(shí)的思考過(guò)程，讓學(xué)生看到“試錯(cuò)”是正常環(huán)節(jié)，避免因計(jì)算失誤而畏難。）1代數(shù)解法：從方程到解的推導(dǎo)1.2分析解的個(gè)數(shù)：判別式與三次方程的實(shí)根一元三次方程(ax^3+bx^2+cx+d=0)（此處(d=-k)）至少有一個(gè)實(shí)根（根據(jù)代數(shù)基本定理），最多有三個(gè)實(shí)根。但在實(shí)際問(wèn)題中，由于反比例函數(shù)(x\neq0)，需排除(x=0)的情況（即使三次方程有(x=0)的根，也不滿足反比例函數(shù)的定義域）。例如，若聯(lián)立(y=x^2)與(y=\frac{1}{x})，得到(x^3=1)，實(shí)根為(x=1)（唯一實(shí)根），對(duì)應(yīng)交點(diǎn)((1,1))；若聯(lián)立(y=x^2-1)與(y=\frac{2}{x})，則(x^3-x-2=0)，可分解為((x-1)(x^2+x+2)=0)，實(shí)根僅(x=1)，對(duì)應(yīng)(y=2)，交點(diǎn)((1,2))。1代數(shù)解法：從方程到解的推導(dǎo)1.2分析解的個(gè)數(shù)：判別式與三次方程的實(shí)根2.1.3特殊情況：二次函數(shù)與反比例函數(shù)聯(lián)立后為二次方程當(dāng)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)(a=0)時(shí)，二次函數(shù)退化為一次函數(shù)(y=bx+c)，此時(shí)聯(lián)立反比例函數(shù)(y=\frac{k}{x})得到(bx+c=\frac{k}{x})，即(bx^2+cx-k=0)（一元二次方程）。這種情況下，解的個(gè)數(shù)由判別式(\Delta=c^2+4bk)決定：(\Delta>0)：兩個(gè)不同實(shí)根（對(duì)應(yīng)兩個(gè)交點(diǎn)）；(\Delta=0)：一個(gè)實(shí)根（對(duì)應(yīng)一個(gè)交點(diǎn)，即相切）；(\Delta<0)：無(wú)實(shí)根（無(wú)交點(diǎn)）。1代數(shù)解法：從方程到解的推導(dǎo)1.2分析解的個(gè)數(shù)：判別式與三次方程的實(shí)根例2：聯(lián)立(y=2x+1)（一次函數(shù)，可視為(a=0)的二次函數(shù)）與(y=\frac{3}{x})，求交點(diǎn)。解：聯(lián)立得(2x+1=\frac{3}{x})，整理為(2x^2+x-3=0)，判別式(\Delta=1+24=25>0)，解得(x=\frac{-1\pm5}{4})，即(x=1)或(x=-\frac{3}{2})，對(duì)應(yīng)交點(diǎn)((1,3))和(\left(-\frac{3}{2},-2\right))。（注：通過(guò)一次函數(shù)的特殊情況過(guò)渡，降低學(xué)生對(duì)三次方程的畏難情緒，體現(xiàn)“從特殊到一般”的思維方法。）2圖像分析法：從“形”到“數(shù)”的直觀驗(yàn)證代數(shù)解法給出了交點(diǎn)的坐標(biāo)，但圖像分析能幫助我們理解“為何有這些交點(diǎn)”“交點(diǎn)的位置有何規(guī)律”，這對(duì)解題和檢驗(yàn)答案至關(guān)重要。2圖像分析法：從“形”到“數(shù)”的直觀驗(yàn)證2.1圖像交點(diǎn)的幾何意義二次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，是同時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式的點(diǎn)，即圖像的公共點(diǎn)。從“形”的角度看，拋物線與雙曲線的位置關(guān)系可能有以下幾種：無(wú)交點(diǎn)：拋物線完全位于雙曲線的某一支上方或下方，或與兩支均不相交；一個(gè)交點(diǎn)：拋物線與雙曲線的某一支相切，或僅與一支相交（另一支無(wú)交點(diǎn)）；兩個(gè)交點(diǎn)：拋物線與雙曲線的一支相交于兩點(diǎn)，或分別與兩支各交于一點(diǎn)；三個(gè)交點(diǎn)：拋物線與雙曲線的一支交于兩點(diǎn)，另一支交于一點(diǎn)（三次方程有三個(gè)實(shí)根時(shí)）。例如，拋物線(y=x^2)（開口向上，頂點(diǎn)在原點(diǎn)）與雙曲線(y=\frac{1}{x})（一、三象限）僅在第一象限有一個(gè)交點(diǎn)((1,1))；而拋物線(y=-x^2+4)（開口向下，頂點(diǎn)((0,4))）與雙曲線(y=\frac{3}{x})可能在第一、三象限各有一個(gè)交點(diǎn)，共兩個(gè)交點(diǎn)。2圖像分析法：從“形”到“數(shù)”的直觀驗(yàn)證2.2圖像繪制的關(guān)鍵步驟為了準(zhǔn)確分析交點(diǎn)，學(xué)生需掌握快速繪制兩類函數(shù)草圖的方法：二次函數(shù)：確定開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，再取兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)（如(x=0)時(shí)的(y)值，或(y=0)時(shí)的根）；反比例函數(shù)：確定(k)的符號(hào)（象限分布），取(x=1)、(x=-1)等特殊點(diǎn)，畫出雙曲線的大致形狀。例3：分析(y=x^2-2x-3)與(y=\frac{-4}{x})的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。步驟：二次函數(shù)：開口向上，頂點(diǎn)((1,-4))，與(y)軸交點(diǎn)((0,-3))，與(x)軸交點(diǎn)((3,0))和((-1,0))；2圖像分析法：從“形”到“數(shù)”的直觀驗(yàn)證2.2圖像繪制的關(guān)鍵步驟反比例函數(shù)：(k=-4<0)，分布在二、四象限；繪制草圖：拋物線頂點(diǎn)在第四象限，雙曲線二、四象限各有一支。觀察第四象限：拋物線頂點(diǎn)((1,-4))處(y=-4)，雙曲線在第四象限當(dāng)(x>0)時(shí)(y<0)，且(x=1)時(shí)(y=-4)，恰好與拋物線頂點(diǎn)重合；第二象限：拋物線(x<0)時(shí)(y=x^2-2x-3)（(x^2>0)，(-2x>0)），故(y>-3)，而雙曲線在第二象限(x<0)時(shí)(y>0)，因此可能存在一個(gè)交點(diǎn)。2圖像分析法：從“形”到“數(shù)”的直觀驗(yàn)證2.2圖像繪制的關(guān)鍵步驟代數(shù)驗(yàn)證：聯(lián)立得(x^2-2x-3=\frac{-4}{x})，整理為(x^3-2x^2-3x+4=0)。試(x=1)：(1-2-3+4=0)，故((x-1))是因式，分解得((x-1)(x^2-x-4)=0)，解得(x=1)或(x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2})。其中(x=1)對(duì)應(yīng)第四象限交點(diǎn)((1,-4))，(x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx-1.56)（第二象限），對(duì)應(yīng)(y=\frac{-4}{x}\approx2.56)，故共有兩個(gè)交點(diǎn)。（注：通過(guò)圖像分析與代數(shù)驗(yàn)證的結(jié)合，讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的必要性，避免僅依賴計(jì)算導(dǎo)致的疏漏。）03典型例題與變式訓(xùn)練：從“理解”到“應(yīng)用”的跨越典型例題與變式訓(xùn)練：從“理解”到“應(yīng)用”的跨越掌握方法后，需要通過(guò)例題鞏固，并通過(guò)變式訓(xùn)練提升遷移能力。以下是我在教學(xué)中總結(jié)的幾類典型問(wèn)題。1基礎(chǔ)型：求具體交點(diǎn)坐標(biāo)例4：聯(lián)立(y=2x^2-x+1)與(y=\frac{3}{x})，求交點(diǎn)坐標(biāo)。解：代入得(2x^2-x+1=\frac{3}{x})，整理為(2x^3-x^2+x-3=0)。試(x=1)：(2-1+1-3=-1\neq0)；(x=\frac{3}{2})：(2\times\frac{27}{8}-\frac{9}{4}+\frac{3}{2}-3=\frac{27}{4}-\frac{9}{4}+\frac{6}{4}-\frac{12}{4}=\frac{12}{4}=3\neq0)；(x=-1)：(-2-1-1-3=-7\neq0)。1基礎(chǔ)型：求具體交點(diǎn)坐標(biāo)此時(shí)需用三次方程求根公式或觀察是否可分解，發(fā)現(xiàn)(2x^3-x^2+x-3=(x-1)(2x^2+x+3))（驗(yàn)證：((x-1)(2x^2+x+3)=2x^3+x^2+3x-2x^2-x-3=2x^3-x^2+2x-3)，與原式不符，說(shuō)明分解錯(cuò)誤）。此時(shí)可借助圖像分析：二次函數(shù)(y=2x^2-x+1)開口向上，頂點(diǎn)(\left(\frac{1}{4},\frac{7}{8}\right))，最小值為(\frac{7}{8})；反比例函數(shù)(y=\frac{3}{x})在一、三象限，當(dāng)(x>0)時(shí)(y>0)，且(x=1)時(shí)(y=3)，1基礎(chǔ)型：求具體交點(diǎn)坐標(biāo)大于二次函數(shù)在(x=1)處的值(2-1+1=2)；(x=2)時(shí)，二次函數(shù)值為(8-2+1=7)，反比例函數(shù)值為(\frac{3}{2}=1.5)，故在(x>1)時(shí)二次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，在(0<x<1)時(shí)，二次函數(shù)最小值(\frac{7}{8}\approx0.875)，反比例函數(shù)(x=0.5)時(shí)(y=6)，大于二次函數(shù)值(2\times0.25-0.5+1=0.5-0.5+1=1)，故可能存在一個(gè)交點(diǎn)在(0<x<1)之間。通過(guò)數(shù)值逼近法（如取(x=0.8)，1基礎(chǔ)型：求具體交點(diǎn)坐標(biāo)二次函數(shù)值(2\times0.64-0.8+1=1.28-0.8+1=1.48)，反比例函數(shù)值(3/0.8=3.75)，二次函數(shù)值更?。?x=0.9)，二次函數(shù)值(2\times0.81-0.9+1=1.62-0.9+1=1.72)，反比例函數(shù)值(3/0.9\approx3.33)，仍?。?x=1.5)，二次函數(shù)值(2\times2.25-1.5+1=4.5-1.5+1=4)，反比例函數(shù)值(2)，二次函數(shù)值更大。因此，在(x>1)時(shí)存在一個(gè)交點(diǎn)，三次方程有一個(gè)實(shí)根，對(duì)應(yīng)一個(gè)交點(diǎn)。（注：此例展示了三次方程無(wú)有理根時(shí)的分析方法，強(qiáng)調(diào)圖像輔助的重要性。）2提高型：根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍例5：已知二次函數(shù)(y=x^2+bx+1)與反比例函數(shù)(y=\frac{2}{x})有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求(b)的取值范圍。分析：聯(lián)立得(x^2+bx+1=\frac{2}{x})，整理為(x^3+bx^2+x-2=0)。要求僅有一個(gè)實(shí)根（因反比例函數(shù)(x\neq0)，若三次方程有三個(gè)實(shí)根，需排除(x=0)，但此處常數(shù)項(xiàng)為(-2)，故(x=0)不是根）。三次函數(shù)(f(x)=x^3+bx^2+x-2)的導(dǎo)數(shù)為(f'(x)=3x^2+2bx+1)，其判別式(\Delta'=4b^2-12)。2提高型：根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍當(dāng)(\Delta'\leq0)（即(b^2\leq3)）時(shí)，(f'(x)\geq0)，(f(x))單調(diào)遞增，僅有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)(\Delta'>0)（即(b^2>3)）時(shí)，(f(x))有極大值和極小值，若極大值小于0或極小值大于0，則僅有一個(gè)實(shí)根。計(jì)算極大值(f(x_1))和極小值(f(x_2))（其中(x_1,x_2)為(f'(x)=0)的根），令(f(x_1)\cdotf(x_2)>0)即可保證僅有一個(gè)實(shí)根。最終解得(b\leq\sqrt{3})或(b\geq\sqrt{3})（具體計(jì)算需展開，此處簡(jiǎn)化）。（注：此例涉及導(dǎo)數(shù)分析，適合學(xué)有余力的學(xué)生，體現(xiàn)“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”的聯(lián)系，為高中學(xué)習(xí)鋪墊。）3實(shí)際應(yīng)用型：用聯(lián)立求解解決生活問(wèn)題例6：某景區(qū)設(shè)計(jì)了一條拋物線形滑索，其高度(y)（米）與水平距離(x)（米）的關(guān)系為(y=-0.1x^2+2x)；同時(shí)，景區(qū)內(nèi)有一條雙曲線形步道，其高度與水平距離的關(guān)系為(y=\frac{50}{x})（(x>0)）。求滑索與步道的交點(diǎn)，說(shuō)明其實(shí)際意義。解：聯(lián)立得(-0.1x^2+2x=\frac{50}{x})，整理為(-0.1x^3+2x^2-50=0)，即(x^3-20x^2+500=0)。試(x=10)：(1000-2000+500=-500\neq0)；(x=15)：(3375-4500+500=-625\neq0)；(x=20)：(8000-8000+500=500\neq0)。3實(shí)際應(yīng)用型：用聯(lián)立求解解決生活問(wèn)題通過(guò)圖像分析：拋物線(y=-0.1x^2+2x)開口向下，頂點(diǎn)((10,10))，當(dāng)(x=10)時(shí)高度最大為10米；雙曲線(y=\frac{50}{x})在(x>0)時(shí)遞減，(x=5)時(shí)(y=10)，(x=10)時(shí)(y=5)。兩函數(shù)在(x=5)時(shí)，拋物線高度(-0.1\times25+10=7.5)，雙曲線高度10，拋物線低于雙曲線；(x=10)時(shí)，拋物線高度10，雙