3.3向量組的秩重點和難點1.理解極大無關(guān)組和向量組秩的定義；2.掌握極大無關(guān)組和向量組秩的求法。向量組的秩1.極大無關(guān)組若向量組中，有一個含

個向量的部分組線性無關(guān)，而任意個向量構(gòu)成的部分組均線性相關(guān)，則稱為向量組的一個極大線性無關(guān)組，簡稱極大無關(guān)組。定義:例如向量組顯然是它的一個極大無關(guān)組。也是一個極大無關(guān)組。向量組的所有極大無關(guān)組所含向量個數(shù)相同是一個極大無關(guān)組，極大無關(guān)組的等價定義定義

設(shè)向量組是向量組

的一個部分組，且滿足：(i)向量組線性無關(guān)；(ii)向量組的任一向量都能由向量組線性表示。那么向量組便是向量組的一個極大無關(guān)組。由定理可知：向量組的所有極大無關(guān)組所含向量個數(shù)相同

等價的無關(guān)向量組所含向量個數(shù)相同。2.向量組的秩

定義1

向量組

的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為該向量組的秩，記作

規(guī)定：零向量組的秩為0.

定理1

若一向量組的秩為r,則該向量組中的任意

r+1個向量都線性相關(guān)。

推論若一向量組的秩為r,則該向量組中任意

r個

線性無關(guān)的向量都是該向量組的極大無關(guān)組。

定理2

若向量組

可由

線性表示，則

推論等價的向量組的秩相同。

定理3

對任意向量組，有注：矩陣A的秩等于它的列（行）向量組的秩。

⑴

以

為列構(gòu)造矩陣求向量組的秩和極大無關(guān)組的方法初等行變換(3)

在階梯形矩陣中找出每行左數(shù)第一個非零元所在的列向量，這些列向量對應(yīng)的原向量就是極大無關(guān)組。⑵

階梯形且是一個極大無關(guān)組。⑴以

為列構(gòu)造矩陣求向量組的秩和極大無關(guān)組的方法（續(xù)）初等行變換⑶在階梯形矩陣中找出每行左數(shù)第一個非零元所在的列向量，這些列向量對應(yīng)的原向量就是極大無關(guān)組。⑷化階梯形為行最簡形，將所有的非單位列向量用單位列向量線性表示即可。若要將其余向量用極大無關(guān)組線性表示，則接第⑶步往下進行：⑵階梯形且是一個極大無關(guān)組。，并用極大無關(guān)組表示其余向量。證明:若向量組與向量組等價，則證：設(shè)向量組與向量組的極大無關(guān)組分別為由極大無關(guān)組與向量組本身等價，及等價關(guān)系的傳遞性知，等價，而它們又是線性無關(guān)的向量組，故證畢！小結(jié)1.理解極大無關(guān)組和向量組秩的定義；2.掌握極大無關(guān)組和向量組秩的求法。小結(jié)1.理解極大無關(guān)組和向量組秩的定義；2.掌握極大無關(guān)組和向量組秩的求法。課堂練習(xí)：