2024年中考第三次模擬考試（泰州卷）數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．42．下列計(jì)算正確的是（）A．B．C．D．3．榫卯是古代中國(guó)建筑、家具及其它器械的主要結(jié)構(gòu)方式，是我國(guó)工藝文化精神的傳奇；凸出部分叫榫，凹進(jìn)部分叫卯，如圖是某個(gè)部件“卯”的實(shí)物圖，它的俯視圖是（

）A．B．C． D．4．黃金分割數(shù)是一個(gè)很奇妙的數(shù)，大量應(yīng)用于藝術(shù)、建筑和統(tǒng)計(jì)決策等方面，如果估算的值應(yīng)該在（

）A．和0之間 B．0和1之間 C．1和2之間 D．2和3之間5．開(kāi)學(xué)季，小明同學(xué)購(gòu)買了一套藝術(shù)書簽（外包裝完全相同），分別為“逢考必過(guò)”、“金榜題名”、“步步高升”和“諸事順利”四種不同的主題．小明從中拿兩個(gè)送給同學(xué)，先隨機(jī)抽取一個(gè)（不放回），再?gòu)闹须S機(jī)抽取一個(gè)，恰好抽到書簽“逢考必過(guò)”和“金榜題名”的概率（

）A． B． C． D．6．將正六邊形折疊成三角形后（如圖1）用剪刀剪下一個(gè)角，展開(kāi)后得到如圖2所示的圖形，圖2中虛線為折疊時(shí)產(chǎn)生的折痕，折痕，若剪完后所得陰影圖形的面積為原正六邊形面積的，則的值為（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）7．我國(guó)基本醫(yī)療保險(xiǎn)的參保人數(shù)由億增加到億，參保率穩(wěn)定在，將數(shù)據(jù)億用科學(xué)記數(shù)法表示為的形式，則的值是(備注：)8．要使分式有意義，則的取值范圍是．9．分式方程的解為．10．已知等式成立，則的值為11．如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片沿折疊后，D、C分別落在的位置上，與交于G點(diǎn)，若，則．12．若一個(gè)圓錐的底面圓的半徑是2，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)是120°，則該圓錐的母線長(zhǎng)為13．我市某電視臺(tái)招募主持人，甲侯選人的綜合專業(yè)索質(zhì)、普通話、才藝展示成績(jī)?nèi)绫硭荆疁y(cè)試項(xiàng)目綜合專業(yè)索質(zhì)普通話才藝展示測(cè)試成績(jī)869090根據(jù)實(shí)際需求，該電視臺(tái)規(guī)定綜合專業(yè)素質(zhì)、普通話和才藝展示三項(xiàng)測(cè)試得分按5：3：2的比例確定最終成績(jī)，則甲候選人的最終成績(jī)?yōu)榉郑?4．如圖，是的直徑，C，D是上的兩個(gè)點(diǎn)，將沿弦折疊，圓弧恰好與弦，分別相切于點(diǎn)E，A．若，則的面積為．15．喜歡數(shù)學(xué)的小西同學(xué)在學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)的時(shí)候想到了一個(gè)新的定義：對(duì)于線段，先將線段繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，我們稱點(diǎn)P為線段的“雙旋點(diǎn)”．如圖，已知直線與x軸和y軸分別相交于點(diǎn)A，則線段的“雙旋點(diǎn)”P的坐標(biāo)為．16．如圖，分別經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)的直線，夾角，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，則的最大值是．三、解答題（本大題共10個(gè)小題，共102分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17．（12分）（1）解不等式組：；（2）計(jì)算：．18．（8分）如圖，在平行四邊形中，連接對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：過(guò)點(diǎn)D作的垂線，垂足為F．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）問(wèn)所作的圖形中，連接，求證：四邊形是平行四邊形．19．（8分）某農(nóng)村蘋果合作社借助線上銷售（電商平臺(tái)）和線下（現(xiàn)場(chǎng)采摘）批發(fā)蘋果，種植戶甲線上銷售，線下批發(fā)蘋果共獲得元；種植戶乙線上銷售和線下批發(fā)蘋果共獲得元；甲乙種植戶線上銷售和線下批發(fā)的價(jià)格均相同．(1)求線上銷售和線下批發(fā)蘋果的單價(jià)分別為每千克多少元？(2)該產(chǎn)地某種植大戶某月線上銷售和線下批發(fā)共銷售蘋果，若總銷售額不低于元，則線上銷售量至少應(yīng)達(dá)到多少千克？20．（8分）二十四節(jié)氣是中華民族悠久歷史文化的重要組成部分，被國(guó)際氣象學(xué)界譽(yù)為“中國(guó)的第五大發(fā)明”．為了了解學(xué)生掌握中華傳統(tǒng)節(jié)氣知識(shí)的情況，增強(qiáng)學(xué)生民族自豪感，某校在春分這天舉行了以“春趣盎然，莫負(fù)春分好時(shí)光”為主題的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)（全校學(xué)生均參加），并從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（分?jǐn)?shù)為整數(shù)，滿分10分），將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖：根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：(1)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(2)求所抽取學(xué)生此次競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)；(3)已知該校共有1500名學(xué)生，估計(jì)此次競(jìng)賽成績(jī)不低于9分的學(xué)生人數(shù)．21．（10分）數(shù)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“講數(shù)學(xué)家故事”的活動(dòng)．下面是印有四位中國(guó)數(shù)學(xué)家紀(jì)念郵票圖案的卡片A，B，C，D，卡片除圖案外其他均相同．將四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，同學(xué)們可以從中隨機(jī)抽取卡片，講述卡片上數(shù)學(xué)家的故事．(1)小安隨機(jī)抽取了一張卡片，卡片上是數(shù)學(xué)家劉徽郵票圖案的概率是______；(2)小明隨機(jī)抽取了兩張卡片，請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖或列表的方法，求小明抽到的兩張卡片中恰好有數(shù)學(xué)家華羅庚郵票圖案的概率．22．（10分）如圖，中，，點(diǎn)分別在邊上，連接，恰好，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，且交邊于點(diǎn)．(1)設(shè)，用含的代數(shù)式表示為_(kāi)_____；(2)求證：；(3)求的值．23．（10分）圖1是一臺(tái)手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，可分別繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)得．(1)在圖2中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．求的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)在（1）的條件下，求點(diǎn)到的距離．（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，24．（10分）根據(jù)材料提供的信息，解決下面問(wèn)題．在拋物線形的噴泉水柱下設(shè)置一條安全的通道，可以讓兒童在任意時(shí)間穿過(guò)安全通道時(shí)不被水柱噴到（穿梭過(guò)程中人的高度變化忽略不計(jì)）．圖1為音樂(lè)噴泉，噴頭的高度在垂直地面的方向上隨著音樂(lè)變化而上下移動(dòng)．不同高度的噴頭噴出來(lái)的水呈拋物線形或拋物線的一部分，但形狀相同，最高高度也相同，水落地點(diǎn)都在噴水管的右側(cè)．圖2是當(dāng)噴水頭在地面上時(shí)（噴水頭最低），其拋物線形水柱的示意圖，水落地點(diǎn)離噴水口的距離為，水柱最高點(diǎn)離地面．圖3是某一時(shí)刻時(shí)，水柱形狀的示意圖．為噴水管，為水的落地點(diǎn)，記長(zhǎng)度為噴泉跨度．如圖4，安全通道在線段上，若無(wú)論噴頭高度如何變化，水柱都不會(huì)進(jìn)入上方的矩形區(qū)域，則稱這個(gè)矩形區(qū)域?yàn)榘踩珔^(qū)域．(1)在圖2中，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若噴泉跨度的最小值為，求噴水管高度的最大值；(3)在（2）的條件下，若能夠進(jìn)入該安全通道的兒童的最大身高為，直接寫出此時(shí)安全通道的寬度？25．（12分）在中，是的直徑，弦與交于點(diǎn)E，且，點(diǎn)F是弧的中點(diǎn)，連接、，與交于點(diǎn)M．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接，過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)G，連接，交于點(diǎn)N，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，若，，求的長(zhǎng)．26．（14分）定義：兩個(gè)相似等腰三角形，如果它們的底角有一個(gè)公共的頂點(diǎn)，那么把這兩個(gè)三角形稱為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”、如圖，在與中，，且．所以稱與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”，設(shè)它們的頂角為a，連接，則稱為“關(guān)聯(lián)比”．下面是小穎探究“關(guān)聯(lián)比”與a之間的關(guān)系的思維過(guò)程，請(qǐng)閱讀后，解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”，且時(shí)，①在圖1中，若點(diǎn)E落在上，則“關(guān)聯(lián)比”____________；②在圖2中，探究與的關(guān)系，并求出“關(guān)聯(lián)比”值．(2)如圖3，當(dāng)與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”，且時(shí)，“關(guān)聯(lián)比”=______________；[遷移運(yùn)用](3)如圖4，與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”．若，，點(diǎn)P為邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)E為上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)E自點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)P時(shí)，點(diǎn)D所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．2024年中考第三次模擬考試（泰州卷）數(shù)學(xué)·全解全析注意事項(xiàng)：1．本試卷全卷滿分150分．考試時(shí)間為120分鐘．考生答題全部答在答題卡上，答在本試卷上無(wú)效．2．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名、考試證號(hào)是否與本人相符合，再將自己的姓名、考試證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上．3．答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其他位置答題一律無(wú)效．4．作圖必須用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑加粗，描寫清楚．第Ⅰ卷選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】此題考查了相反數(shù)的定義．根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)求解即可．【詳解】解：由相反數(shù)的定義可知，的相反數(shù)是，故選：B．2．下列計(jì)算正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．直接利用乘法公式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而判斷得出答案．【詳解】解：A、，故此選項(xiàng)不合題意；B．，故此選項(xiàng)不合題意；C．，故此選項(xiàng)符合題意；D．，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．3．榫卯是古代中國(guó)建筑、家具及其它器械的主要結(jié)構(gòu)方式，是我國(guó)工藝文化精神的傳奇；凸出部分叫榫，凹進(jìn)部分叫卯，如圖是某個(gè)部件“卯”的實(shí)物圖，它的俯視圖是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查三視圖，熟練掌握三視圖的畫法，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)俯視圖是從上向下觀察到的圖形，進(jìn)行判斷即可，注意，主視圖中存在的線段，在俯視圖中被遮住或是看不到的線段要用虛線表示．【詳解】解：由題意，得：“卯”的俯視圖為：．故選A．4．黃金分割數(shù)是一個(gè)很奇妙的數(shù)，大量應(yīng)用于藝術(shù)、建筑和統(tǒng)計(jì)決策等方面，如果估算的值應(yīng)該在（

）A．和0之間 B．0和1之間 C．1和2之間 D．2和3之間【答案】B【分析】此題考查了無(wú)理數(shù)的大小，估算出的值是解題的關(guān)鍵．先估算出的值，再估算出的值在1和2之間，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴；故選B．5．開(kāi)學(xué)季，小明同學(xué)購(gòu)買了一套藝術(shù)書簽（外包裝完全相同），分別為“逢考必過(guò)”、“金榜題名”、“步步高升”和“諸事順利”四種不同的主題．小明從中拿兩個(gè)送給同學(xué)，先隨機(jī)抽取一個(gè)（不放回），再?gòu)闹须S機(jī)抽取一個(gè)，恰好抽到書簽“逢考必過(guò)”和“金榜題名”的概率（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是用列表法或畫樹(shù)狀圖法求概率．列表法或畫樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，注意是不放回問(wèn)題．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)A為逢考必過(guò)，B為金榜題名，C為步步高升，D為諸事順利，畫樹(shù)狀圖或列表把所有等可能結(jié)果表示出來(lái)，ABCDA--------A，BA，CA，DBB，A--------B，CB，DCC，AC，B--------C，DDD，AD，BD，C--------共有12種等可能結(jié)果，恰好抽到書簽“逢考必過(guò)”和“金榜題名”的結(jié)果有種，∴，∴恰好抽到書簽“逢考必過(guò)”和“金榜題名”的概率為，故選：D．6．將正六邊形折疊成三角形后（如圖1）用剪刀剪下一個(gè)角，展開(kāi)后得到如圖2所示的圖形，圖2中虛線為折疊時(shí)產(chǎn)生的折痕，折痕，若剪完后所得陰影圖形的面積為原正六邊形面積的，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意得：每個(gè)被剪掉的小三角形（如）的面積占大三角形（如）面積的，設(shè)，可得，，由，可推出，根據(jù)三角形的面積關(guān)系求出，進(jìn)而求出、，最后根據(jù)勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)知，被剪掉的個(gè)小三角形完全相同，剪完后所得陰影圖形的面積為原正六邊形面積的，每個(gè)被剪掉的小三角形（如）的面積占大三角形（如）面積的，設(shè)，則，，，，，，，，或（舍去），，，，，由勾股定理得：，即，，，故選：A．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）7．我國(guó)基本醫(yī)療保險(xiǎn)的參保人數(shù)由億增加到億，參保率穩(wěn)定在，將數(shù)據(jù)億用科學(xué)記數(shù)法表示為的形式，則的值是(備注：)【答案】【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)即可求解，解題的關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．【詳解】解：，∴，故答案為：．8．要使分式有意義，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式的分母不為零是解題關(guān)鍵．根據(jù)分母不為零列不等式求解即可．【詳解】解：要使分式有意義，則，解得：，故答案為：．9．分式方程的解為．【答案】【分析】本題考查了解分式方程，先化為整式方程，然后求解并檢驗(yàn)即可求解．【詳解】解：解得：經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，故答案為：．10．已知等式成立，則的值為【答案】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，絕對(duì)值的性質(zhì)，由成立可得，進(jìn)而得到，即可得到，進(jìn)而求解，掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵成立，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．11．如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片沿折疊后，D、C分別落在的位置上，與交于G點(diǎn)，若，則．【答案】/度【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，先由平行線的性質(zhì)得到，再由折疊的性質(zhì)得到，據(jù)此可利用平角的定義求出答案．【詳解】解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴，故答案為：．12．若一個(gè)圓錐的底面圓的半徑是2，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)是120°，則該圓錐的母線長(zhǎng)為【答案】6【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算．設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，則根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到，然后解方程求出即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，根據(jù)題意得，解得，即圓錐的母線長(zhǎng)為6，故答案為：6．13．我市某電視臺(tái)招募主持人，甲侯選人的綜合專業(yè)索質(zhì)、普通話、才藝展示成績(jī)?nèi)绫硭荆疁y(cè)試項(xiàng)目綜合專業(yè)索質(zhì)普通話才藝展示測(cè)試成績(jī)869090根據(jù)實(shí)際需求，該電視臺(tái)規(guī)定綜合專業(yè)素質(zhì)、普通話和才藝展示三項(xiàng)測(cè)試得分按5：3：2的比例確定最終成績(jī)，則甲候選人的最終成績(jī)?yōu)榉郑敬鸢浮俊痉治觥勘绢}主要考查加權(quán)平均數(shù)，一般的，若個(gè)數(shù)，，，的權(quán)分別為，，，，則，是這個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)，據(jù)此計(jì)算甲的最終成績(jī)即可得出答案．【詳解】解：（分）．甲候選人的最終成績(jī)?yōu)椋蚀鸢笧椋海?4．如圖，是的直徑，C，D是上的兩個(gè)點(diǎn)，將沿弦折疊，圓弧恰好與弦，分別相切于點(diǎn)E，A．若，則的面積為．

【答案】【分析】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)定理，勾股定理，正方形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．設(shè)所在的圓的圓心為Q，連接、、，四邊形是正方形，推出，利用勾股定理求得的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式，計(jì)算得到問(wèn)題的答案．【詳解】解：設(shè)所在的圓的圓心為Q，連接、、，

∵恰好與弦，分別相切于點(diǎn)E，A，∴，，∵是的直徑，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，∴，∴的面積為，故答案為：．15．喜歡數(shù)學(xué)的小西同學(xué)在學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)的時(shí)候想到了一個(gè)新的定義：對(duì)于線段，先將線段繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，我們稱點(diǎn)P為線段的“雙旋點(diǎn)”．如圖，已知直線與x軸和y軸分別相交于點(diǎn)A，則線段的“雙旋點(diǎn)”P的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)直線與x軸和y軸分別相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，得到，從而得到，根據(jù)題意，得，繼而得到，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)G，繼而得到，過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，解直角三角形計(jì)算即可．【詳解】解：∵直線與x軸和y軸分別相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，∴，∴，根據(jù)題意，得，∴，∴，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)Q，∴，∴，∴，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，

∴四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，解得∴，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)，故答案為：．16．如圖，分別經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)的直線，夾角，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，則的最大值是．【答案】【分析】由根據(jù)已知條件可得：得出B的軌跡是圓，取點(diǎn)，則是的中位線，則求得的正弦的最大值即可求解，當(dāng)與相切時(shí)，最大，則正弦值最大，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖：以為邊向上作等邊，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)E，則，則C的橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為，∴，取點(diǎn)，則是的中位線，∴，∵，∴點(diǎn)B在半徑為4的上運(yùn)動(dòng)，∵是的中位線，∴，∴，當(dāng)與相切時(shí)，最大，則正弦值最大，在中，，過(guò)點(diǎn)B作軸，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，則，，∵與相切，∴，∴，∴，∴，∴,設(shè)，,則,∴,∴∴，解得：∴,∴的最大值為．故答案為．三、解答題（本大題共10個(gè)小題，共102分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17．（1）解不等式組：；（2）計(jì)算：．【答案】（1）；（2）【分析】此題主要考查了分式的混合運(yùn)算，解一元一次不等式組．（1）先求出每個(gè)不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，求出不等式組的解集；（2)先計(jì)算除法，然后計(jì)算加法即可．【詳解】（1）解不等式，可得，解不等式，可得，∴不等式組的解集為；（2）原式．18．如圖，在平行四邊形中，連接對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：過(guò)點(diǎn)D作的垂線，垂足為F．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）問(wèn)所作的圖形中，連接，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】題目主要考查垂線的作法及平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂線的作圖方法作圖即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，．再由垂直的定義及平行線的判定確定，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出，利用平行四邊形的判定即可證明．【詳解】（1）解：如圖，為所作；（2）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，．∴．．．∴．在和中，，．∴．，．∴四邊形是平行四邊形．19．某農(nóng)村蘋果合作社借助線上銷售（電商平臺(tái)）和線下（現(xiàn)場(chǎng)采摘）批發(fā)蘋果，種植戶甲線上銷售，線下批發(fā)蘋果共獲得元；種植戶乙線上銷售和線下批發(fā)蘋果共獲得元；甲乙種植戶線上銷售和線下批發(fā)的價(jià)格均相同．(1)求線上銷售和線下批發(fā)蘋果的單價(jià)分別為每千克多少元？(2)該產(chǎn)地某種植大戶某月線上銷售和線下批發(fā)共銷售蘋果，若總銷售額不低于元，則線上銷售量至少應(yīng)達(dá)到多少千克？【答案】(1)線上銷售和線下批發(fā)蘋果的單價(jià)分別為每千克40元，30元(2)線上銷售量至少應(yīng)達(dá)到1000千克【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)線上銷售和線下批發(fā)蘋果的單價(jià)分別為每千克x元，y元，根據(jù)種植戶甲線上銷售，線下批發(fā)蘋果共獲得元；種植戶乙線上銷售和線下批發(fā)蘋果共獲得元列出方程組求解即可；（2）設(shè)線上銷售量為m千克，則線下批發(fā)千克，根據(jù)總銷售額不低于元列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)線上銷售和線下批發(fā)蘋果的單價(jià)分別為每千克x元，y元，由題意得，，解得，答：線上銷售和線下批發(fā)蘋果的單價(jià)分別為每千克40元，30元；（2）解；設(shè)線上銷售量為m千克，則線下批發(fā)千克由題意得，，解得，∴線上銷售量至少應(yīng)達(dá)到1000千克．20．二十四節(jié)氣是中華民族悠久歷史文化的重要組成部分，被國(guó)際氣象學(xué)界譽(yù)為“中國(guó)的第五大發(fā)明”．為了了解學(xué)生掌握中華傳統(tǒng)節(jié)氣知識(shí)的情況，增強(qiáng)學(xué)生民族自豪感，某校在春分這天舉行了以“春趣盎然，莫負(fù)春分好時(shí)光”為主題的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)（全校學(xué)生均參加），并從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（分?jǐn)?shù)為整數(shù)，滿分10分），將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖：根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：(1)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(2)求所抽取學(xué)生此次競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)；(3)已知該校共有1500名學(xué)生，估計(jì)此次競(jìng)賽成績(jī)不低于9分的學(xué)生人數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)平均數(shù)是7.66分，中位數(shù)是8分，眾數(shù)是8分(3)估計(jì)此次競(jìng)賽成績(jī)不低于9分的學(xué)生約有510人．【分析】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)及用樣本估計(jì)總體等知識(shí)點(diǎn)，讀懂條形統(tǒng)計(jì)圖，并掌握平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)的求法是解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖，先算出8分學(xué)生的人數(shù)，再補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的求法，直接求值即可；（3）先計(jì)算抽樣學(xué)生中成績(jī)不低于9分的百分比，再估計(jì)全部九年級(jí)學(xué)生的成績(jī)情況．【詳解】（1）解：8分學(xué)生的人數(shù)有（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（2）解：（分），所抽取學(xué)生此次競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)是7.66分，按從小到大排列，排在最中間的兩個(gè)數(shù)都是8分，中位數(shù)是8分，出現(xiàn)次數(shù)最多的是8，眾數(shù)是8分；（3）解：（人），估計(jì)此次競(jìng)賽成績(jī)不低于9分的學(xué)生有510人．21．?dāng)?shù)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“講數(shù)學(xué)家故事”的活動(dòng)．下面是印有四位中國(guó)數(shù)學(xué)家紀(jì)念郵票圖案的卡片A，B，C，D，卡片除圖案外其他均相同．將四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，同學(xué)們可以從中隨機(jī)抽取卡片，講述卡片上數(shù)學(xué)家的故事．(1)小安隨機(jī)抽取了一張卡片，卡片上是數(shù)學(xué)家劉徽郵票圖案的概率是______；(2)小明隨機(jī)抽取了兩張卡片，請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖或列表的方法，求小明抽到的兩張卡片中恰好有數(shù)學(xué)家華羅庚郵票圖案的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是概率公式求概率，用畫樹(shù)狀圖法求概率．（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）根據(jù)題意畫出樹(shù)狀圖，得出所有等可能的情況數(shù)，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【詳解】（1）解：∵共有張卡片，∴小安隨機(jī)抽取了一張卡片，卡片上是數(shù)學(xué)家劉徽郵票圖案的概率是，故答案為：．（2）解：根據(jù)題意，畫樹(shù)狀圖如圖，由圖可得，共有12種等可能結(jié)果，其中抽到的兩張卡片中恰好有數(shù)學(xué)家華羅庚郵票圖案的有種，∴抽到的兩張卡片中恰好有數(shù)學(xué)家華羅庚郵票圖案的概率為22．如圖，中，，點(diǎn)分別在邊上，連接，恰好，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，且交邊于點(diǎn)．(1)設(shè)，用含的代數(shù)式表示為_(kāi)_____；(2)求證：；(3)求的值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)：（1）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余，即可求解；（2）根據(jù)，可得，再由，即可求證；（3）過(guò)點(diǎn)C作，過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，連接，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)N，則，可得四邊形是正方形，證明，可得，再由四邊形是矩形，可證明，可得，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，即，∴，中，∵，∴，∴；故答案為：（2）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作，過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，連接，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)N，則，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．23．圖1是一臺(tái)手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，可分別繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)得．(1)在圖2中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．求的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)在（1）的條件下，求點(diǎn)到的距離．（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，【答案】(1)(2)點(diǎn)C到AD的距離為【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用：（1）在中，利用銳角三角函數(shù)，即可求出的長(zhǎng)；（2）過(guò)點(diǎn)C作，垂足為F，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為G，則，，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：如圖：在中，，∴；（2）解：過(guò)點(diǎn)C作，垂足為F，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為G，則，，∵，∴；在中，，∵，∴，∴，∴點(diǎn)C到AD的距離為．24．根據(jù)材料提供的信息，解決下面問(wèn)題．在拋物線形的噴泉水柱下設(shè)置一條安全的通道，可以讓兒童在任意時(shí)間穿過(guò)安全通道時(shí)不被水柱噴到（穿梭過(guò)程中人的高度變化忽略不計(jì)）．圖1為音樂(lè)噴泉，噴頭的高度在垂直地面的方向上隨著音樂(lè)變化而上下移動(dòng)．不同高度的噴頭噴出來(lái)的水呈拋物線形或拋物線的一部分，但形狀相同，最高高度也相同，水落地點(diǎn)都在噴水管的右側(cè)．圖2是當(dāng)噴水頭在地面上時(shí)（噴水頭最低），其拋物線形水柱的示意圖，水落地點(diǎn)離噴水口的距離為，水柱最高點(diǎn)離地面．圖3是某一時(shí)刻時(shí)，水柱形狀的示意圖．為噴水管，為水的落地點(diǎn)，記長(zhǎng)度為噴泉跨度．如圖4，安全通道在線段上，若無(wú)論噴頭高度如何變化，水柱都不會(huì)進(jìn)入上方的矩形區(qū)域，則稱這個(gè)矩形區(qū)域?yàn)榘踩珔^(qū)域．

(1)在圖2中，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若噴泉跨度的最小值為，求噴水管高度的最大值；(3)在（2）的條件下，若能夠進(jìn)入該安全通道的兒童的最大身高為，直接寫出此時(shí)安全通道的寬度？【答案】(1)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．(2)噴水管的高度最大值為；(3)此時(shí)安全通道的寬度為．【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，以及二次函數(shù)解析式的求法，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可知拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，代入即可求解；（2）設(shè)拋物線解析式為：，代入時(shí)，，即可求拋物線解析式，從而求的值；（3）求出當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在上，點(diǎn)落在上時(shí)兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求解．【詳解】（1）解：點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸為直線，拋物線的最高點(diǎn)為3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為過(guò)點(diǎn)，解得：，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：噴頭噴出來(lái)的水呈拋物線形或拋物線的一部分，但形狀相同，最高高度也相同，設(shè)噴泉跨度的最小值為時(shí)，拋物線的