重慶市七校聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知直線過，兩點(diǎn)，則直線的傾斜角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，直線過，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，所以直線垂直于軸，所以直線的傾斜角的大小為.故選：C.2.已知方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，方程表示橢圓，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或的特點(diǎn)可知：，且，解得或，綜上所述的取值范圍是.故選：D.3.在等差數(shù)列中，，，則公差為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】設(shè)公差為，依題意，，解得.故選：B.4.若點(diǎn)在圓外，則的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，因?yàn)辄c(diǎn)在圓外，所以，解得，所以的取值范圍.故選：D5.已知圓與圓的公共弦所在的直線與直線平行，則兩平行線間的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圓與圓的方程相減得，即為圓與圓的公共弦所在直線方程，由直線與直線平行，得，解得，當(dāng)時(shí)，兩直線方程均為，此時(shí)兩直線重合，故舍去；當(dāng)時(shí)，公共弦所在直線方程為，即，直線，兩直線平行，此時(shí)圓，即，即圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，符合題意，所以的值為，此時(shí)兩直線距離為.故選：C.6.如圖，已知是邊長為1的小正方形網(wǎng)格上不共線的三個(gè)格點(diǎn)，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，且，，若，則（）A. B.3 C.6 D.7【答案】D【解析】由圖可知：，且，則.由題意可得：，因?yàn)?，則，所以.故選：D.7.點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線，即，由，解得，所以直線過定點(diǎn)，，點(diǎn)到直線的距離的最大值為.故選：C8.已知過拋物線的焦點(diǎn)的動直線交拋物線于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為拋物線上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B.3 C.12 D.9【答案】A【解析】由拋物線可得，其準(zhǔn)線方程為,作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，如下圖所示：設(shè)過的直線方程為，；聯(lián)立直線與拋物線方程可得；因此可得，所以,可得，由拋物線定義可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為，此時(shí)，即動直線垂直于軸時(shí)，的最小值為6.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每題選對一個(gè)得3分，若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對一個(gè)得2分．）9.下列有關(guān)雙曲線的命題中，敘述正確的是（）A.雙曲線的虛軸長為4B.雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為3C.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為4D.經(jīng)過焦點(diǎn)的最短弦長為6【答案】CD【解析】由題意有：，所以，即，所以虛軸長為：，故A錯(cuò)誤；雙曲線的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為：，故B錯(cuò)誤；因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為：，即，焦點(diǎn)到的距離為，故C正確；當(dāng)過焦點(diǎn)與雙曲線相交于一支時(shí)，最短的弦長為通徑長為，當(dāng)過焦點(diǎn)與雙曲線相交于兩支時(shí)，最短弦長為斜率為0與雙曲線交于頂點(diǎn)，即弦長為實(shí)軸，又，所以經(jīng)過焦點(diǎn)的最短弦長為6，故D正確；故選：CD.10.下列說法正確的為（）A.為空間任意一點(diǎn)，若，若四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)等于B.若為空間的一個(gè)基底，則能構(gòu)成基底C.向量，向量，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為D.圓與圓的公切線有3條【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A:由，代入，得：.因四點(diǎn)共面，故的系數(shù)和為1，即，解得，A正確.選項(xiàng)B:設(shè)，整理得：，列方程，解得，即三向量線性相關(guān)，不能構(gòu)成基底，B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C:，，投影向量為，C正確.選項(xiàng)D:圓：圓心，半徑；圓配方得，圓心，半徑.兩圓心距，而，故兩圓外切，公切線有3條，D正確.故選：ACD.11.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的空間幾何體．若圖3中每個(gè)正方體的棱長為1，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.點(diǎn)到直線的距離是C.直線與平面的夾角正弦值為D.異面直線與所成角的正切值為【答案】BCD【解析】，即，A錯(cuò)誤；如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則所以，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離，B正確；設(shè)面的法向量為，則，取，則，則，即直線與平面的夾角正弦值為，C正確；所以，則，即異面直線與所成角的正切值為，D正確.故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.拋物線的準(zhǔn)線方程為______.【答案】【解析】試題分析：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，所以準(zhǔn)線方程是13.已知的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【解析】若數(shù)列遞減數(shù)列，且，則，可得對任意恒成立，可知當(dāng)時(shí)，取到最小值9，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，線段的中垂線過，記橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】設(shè)橢圓的長半軸為，雙曲線的實(shí)半軸為，焦距都為，根據(jù)橢圓定義，可得①，根據(jù)雙曲線定義，可得，又，所以②，聯(lián)立①②，可求得，又線段的中垂線過，所以，所以，所以，即，所以，所以，又根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，可得，所以，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15.數(shù)列滿足.（1）求證:數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（1）證明：∵數(shù)列滿足，∴，∴數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.（2）解：由（1）已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，又∵，∴數(shù)列的首項(xiàng)為，∴，∴.16.已知點(diǎn)，，直線的方程為：．（1）求直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程；（2）求經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：（1）設(shè)直線上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則，因?yàn)?，所以，整理得，即直線的方程．（2）設(shè)圓心，由，則，解得，所以圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．17.已知雙曲線的實(shí)軸長為2，點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為．（1）求雙曲線的方程；（2）過點(diǎn)的動直線交雙曲線于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)M的軌跡方程．解：（1）雙曲線的實(shí)軸長為，由已知，，則．因?yàn)殡p曲線的一條漸近線為．點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，所以，所以，所以，所以雙曲線的方程為；（2）（法一）易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)、、，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得，消去，得，由且，得且．由韋達(dá)定理，得，所以，由消去，得．由且，得或，所以，點(diǎn)的軌跡方程為，其中或．（法二）設(shè)，中點(diǎn)，則：，因?yàn)樵陔p曲線，故，兩式相減（點(diǎn)差法）：，因式分解得：，兩邊除以（直線斜率顯然存在），代入：，又直線過和，故斜率，因此：，整理得軌跡方程（將換為）：，所以點(diǎn)的軌跡方程為，其中或．18.如圖，在四棱錐中，平面，底面四邊形滿足.（1）證明：平面平面；（2）若，平面與平面交線為，①求證；②直線上是否存在點(diǎn)，使得二面角的夾角余弦值為？如存在，求出；如不存在，請說明理由.（1）證明：由勾股定理計(jì)算得，所以，故三角形為等腰直角三角形，可得.因?yàn)槠矫嫫矫?，所?又因?yàn)槠矫妫云矫?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）①證明：因?yàn)?，而平面，所以平面，面與平面交線為，所以，而，所以.②解：依題意，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以設(shè)點(diǎn)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可得，即，取，則.因?yàn)?，，所以，解得，?19.已知和為橢圓上兩點(diǎn).（1）求的離心率；（2）若過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，且的面積為12，求直線的方程；（3）設(shè)過點(diǎn)的動直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)、，試判斷在軸上是否存在點(diǎn)使得向量所成角恒成立，若存在，求出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，說明理由.解：（1）由題意，解得，所以.（2）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，，，到距離，此時(shí)不滿