第54講隨機(jī)事件與概率鏈教材夯基固本激活思維1．(人A必二P233練習(xí)T1)某人打靶時連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對立事件的是()A．至多一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都沒中靶2．(人A必二P243習(xí)題T3(2))拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A＝“第一枚硬幣正面朝上”，事件B＝“第二枚硬幣反面朝上”，下列結(jié)論正確的是()A．A與B互為對立事件 B．A與B互斥C．A與B相等 D．P(A)＝P(B)3．(人A必二P242練習(xí)T1)已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3．(1)如果B?A，那么P(A∪B)＝___，P(AB)＝____；(2)如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝____，P(AB)＝____．4．(人A必二P243習(xí)題T8)從長度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率是____．5．(人A必二P239練習(xí)T3)從0～9這10個數(shù)中隨機(jī)選擇一個數(shù)，則這個數(shù)的平方的個位數(shù)字為1的概率是____；這個數(shù)的四次方的個位數(shù)字為1的概率是____．聚焦知識1．樣本空間和隨機(jī)事件(1)樣本點(diǎn)和有限樣本空間①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗E的每個可能的____稱為樣本點(diǎn)，常用ω表示．全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗E的樣本空間，常用Ω表示．②有限樣本空間：如果一個隨機(jī)試驗有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．(2)隨機(jī)事件①定義：將樣本空間Ω的____稱為隨機(jī)事件，簡稱事件．②表示：大寫字母A，B，C，…．③隨機(jī)事件的極端情形：必然事件、不可能事件．2．兩個事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號表示包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生____相等關(guān)系B?A且A?B____并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生___，____3．古典概型(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有____；(2)等可能性：每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性____．4．古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率為P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(n(A),n(Ω))，其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個數(shù)．5．概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對任意的事件A，都有P(A)≥0．性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0．性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝__．性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝____．性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對于任意事件A，因為??A?Ω，所以0≤P(A)≤1．性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，有P(A∪B)＝____．研題型能力養(yǎng)成舉題說法隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算例1－1(1)口袋中裝有3個紅球和4個黑球，每個球編有不同的號碼，現(xiàn)從中取出3個球，則下列是互斥而不對立的事件是()A．“至少有1個紅球”與“至少有1個黑球”B．“至少有1個紅球”與“都是黑球”C．“至少有1個紅球”與“至多有1個黑球”D．“恰有1個紅球”與“恰有2個紅球”(2)對空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一彈擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，下列關(guān)系不正確的是()A．A?D B．B∩D＝?C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D判斷互斥事件、對立事件一般用定義，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；若兩個事件中有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件互為對立事件．對立事件一定是互斥事件．變式1－1(1)在一次隨機(jī)試驗中，彼此互斥的事件A，B，C，D發(fā)生的概率分別是0.2，0.2，0.3，0.3，則下列說法正確的是()A．A∪B與C是互斥事件，也是對立事件B．B∪C與D是互斥事件，也是對立事件C．A∪C與B∪D是互斥事件，但不是對立事件D．A與B∪C∪D是互斥事件，也是對立事件(2)(多選)某家商場舉行抽獎活動，小聰、小明兩人共同前去抽獎，設(shè)事件A＝“兩人都中獎”，B＝“兩人都沒中獎”，C＝“恰有一人中獎”，D＝“至少一人沒中獎”．下列關(guān)系正確的是()A．B∪C＝D B．A∩C≠?C．C?D D．B∩D＝B視角2利用事件的互斥、對立關(guān)系求概率例1－2(1)已知隨機(jī)事件A，B滿足P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(A∪B)＝eq\f(5,6)，則P(A∩B)＝()A．eq\f(1,16) B．eq\f(1,8)C．eq\f(3,16) D．eq\f(1,4)(2)已知事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為eq\f(1,3)，且P(A)＝2P(B)，則P(eq\x\to(A))＝()A．eq\f(1,3) B．eq\f(4,9)C．eq\f(5,9) D．eq\f(2,3)視角3用頻率估計概率例1－3某保險公司利用簡單隨機(jī)抽樣方法，對投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下表所示．賠付金額/元01000200030004500車輛數(shù)/輛6008011012090若每輛車的投保金額均為2500元，估計賠付金額大于投保金額的概率為____；在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占15%，在賠付金額為4500元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占30%，估計在已投保的新司機(jī)中，獲賠金額為4500元的概率為____．變式1－3某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C三個等級．加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費(fèi)80元、50元、30元．該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù)，甲分廠加工成本費(fèi)為40元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為35元/件．該廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABC頻數(shù)453025乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABC頻數(shù)401050(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，該廠家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)？古典概型例2(1)(2023·全國乙卷文)某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的概率為()A．eq\f(5,6) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)(2)(2024·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)有4個外包裝相同的盒子，其中2個盒子分別裝有1個白球，另外2個盒子分別裝有1個黑球，現(xiàn)準(zhǔn)備將每個盒子逐個拆開，則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗的樣本點(diǎn)的總數(shù)和事件A包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)，這就需要正確列出樣本點(diǎn)，樣本點(diǎn)的表示方法有列舉法(列表法、樹狀圖法)，以及排列、組合法．變式2(2024·湖北宜荊荊隨恩5月聯(lián)考)今天的課外作業(yè)是從6道應(yīng)用題中任選2題詳細(xì)解答，則甲、乙兩位同學(xué)的作業(yè)中恰有一題相同的概率是()A．eq\f(2,15) B．eq\f(4,15)C．eq\f(6,15) D．eq\f(8,15)概率的綜合問題例3某醫(yī)院要派醫(yī)生下鄉(xiāng)義診，派出醫(yī)生的人數(shù)及其概率如下表所示．人數(shù)01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出醫(yī)生至多2個的概率；(2)求派出醫(yī)生至少2個的概率．求復(fù)雜互斥事件的概率的兩種方法(1)直接法(2)間接法(正難則反，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解簡單)．隨堂內(nèi)化1．(2024·全國甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)2．已知隨機(jī)事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，則P(eq\x\to(A))＝()A．0.5 B．0.1C．0.7 D．0.83．(2024·濟(jì)南一模)某公司現(xiàn)有員工120人，在榮獲“優(yōu)秀員工”稱號的85人中，有75人是高級工程師，既沒有榮獲“優(yōu)秀員工”稱號又不是高級工程師的員工共有14人．公司將隨機(jī)選擇一名員工接受電視新聞節(jié)目的采訪，被選中的員工是高級工程師的概率為()A．eq\f(3,8) B．eq\f(17,24)C．eq\f(4,5) D．eq\f(33,40)4．(2024·濟(jì)南、青島、棗莊三模)某人上樓梯，每步上1階的概率為eq\f(3,4)，每步上2階的概率為eq\f(1,4)，設(shè)該人從第1階臺階出發(fā)，經(jīng)過第3階臺階的概率為____．配套熱練一、單項選擇題1．(2022·全國甲卷)從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,5) D．eq\f(2,3)2．(2023·全國甲卷文)某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)3．(2024·唐山一模)從正方體的8個頂點(diǎn)中任取3個連接構(gòu)成三角形，則能構(gòu)成正三角形的概率為()A．eq\f(1,7) B．eq\f(1,14)C．eq\f(2,7) D．eq\f(4,35)4．(2024·黃山一檢)2024年是安徽省實施“3＋1＋2”選科方案后的第一年新高考，該方案中的“2”指的是從政治、地理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門，假設(shè)每門學(xué)科被選中的可能性相等，那么化學(xué)和地理至少有一門被選中的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,6)二、多項選擇題5．有甲、乙兩種報紙供市民訂閱，記事件E為“只訂甲報紙”，事件F為“至少訂一種報紙”，事件G為“至多訂一種報紙”，事件H為“不訂甲報紙”，事件I為“一種報紙也不訂”．下列說法正確的是()A．E與G是互斥事件B．F與I是互斥事件，且是對立事件C．F與G不是互斥事件D．G與I是互斥事件6．對于事件A和事件B，P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，則下列說法正確的是()A．若A與B互斥，則P(AB)＝0.3B．若A與B互斥，則P(A∪B)＝0.9C．若A?B，則P(AB)＝0.18D．若A與B相互獨(dú)立，則P(AB)＝0.18三、填空題7．(2025·八省聯(lián)考)有8張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，現(xiàn)從這8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為____．8．(2024·十堰4月調(diào)研)某校開設(shè)美術(shù)、書法、籃球、足球和象棋興趣班，已知該校的學(xué)生小明和小華每人報名參加其中的兩種興趣班，且小明至少參加一種球類的興趣班，則小明和小華至少參加同一個興趣班的概率是____．9．某工廠生產(chǎn)了一批雪車，這批產(chǎn)品中按質(zhì)量分為一等品、二等品、三等品．從這批雪車中隨機(jī)抽取一件雪車檢測，已知抽到不是三等品的概率為0.93，抽到一等品或三等品的概率為0.85，則抽到一等品的概率為___．四、解答題10.4月23日是世界讀書日，其設(shè)立的目的是推動更多的人去閱讀和寫作．某市教育部門為了解全市中學(xué)生課外閱讀的情況，從全市隨機(jī)抽取1000名中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計他們每日課外閱讀的時間，如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計1000名學(xué)生每日的平均閱讀時間(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)的平均值)；(2)若采用分層隨機(jī)抽樣的方法從樣本在[60，80)，[80，100]內(nèi)的學(xué)生中共抽取5人來進(jìn)一步了解閱讀情況，再從中選取2人進(jìn)行跟蹤分析，求抽取的這2名學(xué)生來自不同組的概率．11．某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)．由于集訓(xùn)后隊員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊．(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率；(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機(jī)抽取4人參賽，求參賽女生不少于2人的概率．第54講隨機(jī)事件與概率激活思維1.D【解析】對于A，“至多一次中靶”包含一次中靶、兩次都不中靶，“至少一次中靶”包含一次中靶、兩次都中靶，A不滿足條件；對于B，“兩次都中靶”與“至少一次中靶”是包含關(guān)系，B不滿足條件；對于C，“只有一次中靶”與“至少一次中靶”是包含關(guān)系，C不滿足條件；對于D，“兩次都沒中靶”與“至少一次中靶”對立，D滿足條件．2.D【解析】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).事件A包含的結(jié)果有(正，正)，(正，反)，事件B包含的結(jié)果有(正，反)，(反，反)，顯然事件A，事件B都含有“(正，反)”這一結(jié)果，即事件A，事件B能同時發(fā)生，因此，事件A與事件B既不互斥也不對立，故A，B錯誤；因為事件A，事件B中有不同的結(jié)果，所以事件A與事件B不相等，故C錯誤；由古典概型知，P(A)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，所以P(A)＝P(B)，故D正確．3.(1)0.50.3【解析】如果B?A，那么A∪B＝A，A∩B＝B，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.5，P(AB)＝P(B)＝0.3.(2)0.80【解析】如果A，B互斥，那么A∩B＝?，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8，P(AB)＝0.4.eq\f(3,10)【解析】該試驗的樣本空間可表示為Ω＝{(1，3，5)，(1，3，7)，(1，3，9)，(1，5，7)，(1，5，9)，(1，7，9)，(3，5，7)，(3，5，9)，(3，7，9)，(5，7，9)}，共有10個樣本點(diǎn)，其中能構(gòu)成三角形的樣本點(diǎn)有(3，5，7)，(3，7，9)，(5，7，9)，共3個，故所求概率P＝eq\f(3,10).5.eq\f(1,5)eq\f(2,5)【解析】從0～9這10個數(shù)中隨機(jī)選擇一個數(shù)，共有10種可能，其樣本空間可表示為Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．若一個數(shù)的平方的個位數(shù)字為1，則該數(shù)為1或9，共2個，故其概率為eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)；若一個數(shù)的四次方的個位數(shù)字為1，則該數(shù)平方的個位數(shù)為1或9，所以該數(shù)為1，3，7，9，共4個，故其概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).聚焦知識1.(1)①基本結(jié)果(2)①子集2.A?BA＝BA∩B＝?A∪B＝Ω3.(1)有限個(2)相等5.P(A)＋P(B)1－P(B)P(A)＋P(B)－P(A∩B)舉題說法例11(1)D【解析】對于A，不互斥，如“取出2個紅球和1個黑球”與“至少有1個黑球”不是互斥事件，所以A不符合題意；對于B，“至少有1個紅球”與“都是黑球”不能同時發(fā)生，且必有其中之一發(fā)生，所以為互斥事件，且為對立事件，所以B不符合題意；對于C，不互斥，如“取出2個紅球和1個黑球”與“至多有1個黑球”不是互斥事件，所以C不符合題意；對于D，“恰有1個紅球”與“恰有2個紅球”不能同時發(fā)生，所以為互斥事件，但不對立，如“恰有3個紅球”，所以D符合題意．(2)D【解析】用(x1，x2)表示試驗的射擊情況，其中x1表示第1次射擊的情況，x2表示第2次射擊的情況，以1表示擊中，0表示沒中，則樣本空間Ω＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．由題意得，A＝{(1，1)}，B＝{(0，0)}，C＝{(0，1)，(1，0)}，D＝{(0，1)，(1，0)，(1，1)}，則A?D，A∪C＝D，且B∩D＝?，即A，B，C都正確；又B∪D＝Ω，A∪B＝{(0，0)，(1，1)}≠Ω.所以A∪B≠B∪D，故D不正確．變式11(1)D【解析】A中，A∪B與C是互斥事件，但不對立，因為P(A∪B)＋P(C)＝0.7≠1，故A錯誤；B中，B∪C與D是互斥事件，但不對立，因為P(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B錯誤；C中，A∪C與B∪D是互斥事件，也是對立事件，因為P(A∪C)＋P(B∪D)＝1，故C錯誤；D中，A與B∪C∪D是互斥事件，也是對立事件，因為P(A)＋P(B∪C∪D)＝1，故D正確．(2)ACD【解析】對于A，事件B∪C為“至多一人中獎”，即“至少一人沒中獎”，所以B∪C＝D，故A正確；對于B，事件A∩C表示兩人都中獎且恰有一人中獎，沒有這樣的事件，所以A∩C＝?，故B錯誤；對于C，“至少一人沒中獎”包括“恰有一人中獎”和“兩人都沒中獎”兩種情況，所以C?D，故C正確；對于D，由C選項可知B?D，所以B∩D＝B，故D正確．例12(1)D【解析】依題意，P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝eq\f(1,3)＋eq\f(3,4)－eq\f(5,6)＝eq\f(1,4).(2)C【解析】由事件A，B互斥，且A，B都不發(fā)生的概率為eq\f(1,3)，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，又P(A)＝2P(B)，所以2P(B)＋P(B)＝eq\f(2,3)，解得P(B)＝eq\f(2,9)，P(A)＝eq\f(4,9)，所以P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝eq\f(5,9).例130.210.18【解析】賠付金額大于投保金額的頻率為eq\f(120＋90,600＋80＋110＋120＋90)＝0.21，估計賠付金額大于投保金額的概率為0.21.在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占15%，故投保的新司機(jī)人數(shù)為15%×(600＋80＋110＋120＋90)＝150，在賠付金額為4500元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占30%，即90×30%＝27(人)，估計在已投保的新司機(jī)中，獲賠金額為4500元的概率為eq\f(27,150)＝0.18.變式13【解答】(1)由表可知，甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率為eq\f(45,100)＝0.45，乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率為eq\f(40,100)＝0.4.(2)甲分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤為45×(80－40)＋30×(50－40)＋25×(30－40)＝1850(元)，所以甲分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤為18.5元．乙分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤為40×(80－35)＋10×(50－35)＋50×(30－35)＝1700(元)，所以乙分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤為17元．故該廠家應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù)．例2(1)A【解析】甲有6種選擇，乙也有6種選擇，故總數(shù)共有6×6＝36(種)，若甲、乙抽到的主題不同，則共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝30種，則其概率為eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).(2)B【解析】將4個盒子按順序拆開有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝24(種)方法，若恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中，則前兩個盒子都是白球或都是黑球，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝8(種)情況，則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為P＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).變式2D【解析】由題知所有的基本事件個數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))×Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝15×15＝225，“恰有一題相同”包含的基本事件數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))×Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝6×5×4＝120，所以P＝eq\f(120,225)＝eq\f(8,15).例3【解答】(1)設(shè)事件A＝“不派出醫(yī)生”，事件B＝“派出1名醫(yī)生”，事件C＝“派出2名醫(yī)生”，事件D＝“派出3名醫(yī)生”，事件E＝“派出4名醫(yī)生”，事件F＝“派出5名或5名以上醫(yī)生”，且事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥，P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.“派出醫(yī)生至多2個”的概率為P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)方法一：“派出醫(yī)生至少2個”的概率為P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.方法二：“派出醫(yī)生至少2個”的概率為1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.隨堂內(nèi)化1.B【解析】方法一：畫出樹狀圖，如圖，由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，故所求概率P＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).方法二：當(dāng)甲排在排尾，乙排第一位時，丙有2種排法，丁就1種，共2種；當(dāng)甲排在排尾，乙排第二位或第三位時，丙有1種排法，丁就1種，共2種．于是甲排在排尾共4種方法，同理乙排在排尾共4種方法，于是共8種排法符合題意．基本事件總數(shù)顯然是Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝24，根據(jù)古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).2.A【解析】因為隨機(jī)事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，所以P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.7－0.2＝0.5，所以P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－0.5＝0.5.3.C【解析】由題意得沒有榮獲“優(yōu)秀員工”稱號的高級工程師有120－85－14＝21(人)，則公司共有高級工程師的人數(shù)為75＋21＝96，故被選中的員工是高級工程師的概率為eq\f(96,120)＝eq\f(4,5).4.eq\f(13,16)【解析】經(jīng)過第3階臺階的情況有兩種：第一種：每步上一個臺階，上兩步，則概率為eq\f(3,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,16)；第二種：只上一步且上兩個臺階，則概率為eq\f(1,4)，所以經(jīng)過第3階臺階的概率為eq\f(9,16)＋eq\f(1,4)＝eq\f(13,16).配套精煉1.C【解析】從6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，共有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6種情況，故所求概率為eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).2.D【解析】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的樣本點(diǎn)個數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝6，其中這2名學(xué)生來自不同年級的基本事件個數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＝4，所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).3.A【解析】如圖，從正方體的八個頂點(diǎn)中任選三個構(gòu)成三角形有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8))＝56(種)情況，其中能構(gòu)成正三角形的有8種情況：△ACD1，△BDC1，△ACB1，△BDA1，△A1C1B，△B1D1A，△B1D1C，△A1C1D.故所求概率為eq\f(8,56)＝eq\f(1,7).(第3題)4.D【解析】依題意，從政治、地理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝6(種)情況，其中化學(xué)和地理都沒有被選中共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝1(種)，因此，化學(xué)和地理至少有一門被選中的概率是P＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).5.BC【解析】對于A，E與G有可能同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯誤；對于B，F(xiàn)與I不可能同時發(fā)生，且發(fā)生的概率之和為1，是互斥事件，且是對立事件，故B正確；對于C，F(xiàn)與G可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故C正確；對于D，G與I可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故D錯誤．6.BD【解析】對于A，若A與B互斥，則P(AB)＝0，故A錯誤；對于B，若A與B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.9，故B正確；對于C，若A?B，則P(AB)＝P(A)＝0.3，故C錯誤；對于D，若A與B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)P(B)＝0.18，故D正確．7.eq\f(3,56)【解析】因為8張卡片上的數(shù)字之和為36，所以3張卡片上的數(shù)字之和為18，只有3，7，8；4，6，8；5，6，7三種情況，故所求概率p＝eq\f(3,Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(3,56).8.eq\f(7,10)【解析】小明和小華參加興趣班的方案有(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝70(種)，其中小明和小華參加的興趣班都不同的情況有(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do