2024-2025學年河南省鄭州市鞏義市九年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（本題共10個小題，每小題3分，共30分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）方程x2＝2025x的解是（）A．x＝0 B．x＝2025 C．x1＝0，x2＝2025 D．無實數(shù)根2．（3分）第14屆國際數(shù)學教育大會（簡稱ICME﹣14）于2021年7月在上海舉辦，會徽的主題圖案（圖1）有著豐富的數(shù)學元素，展現(xiàn)了中國古代數(shù)學的燦爛文明，其右下方的“卦”（圖2）是用中國古代的計數(shù)符號寫出的八進制數(shù)字3745．則圖2中的四個八卦符號，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．43．（3分）將拋物線y＝x2﹣2x向上平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為（）A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x+1）2+1 C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x﹣1）2+24．（3分）在如圖所示的圖形中隨機撒一把豆子，把“在圖形中隨機撒豆子”作為試驗，把“豆子落在區(qū)域C中”記作事件W，估計事件W的概率P（W）的值為（）A． B． C． D．5．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，∠BCD＝35°，則∠ABD度數(shù)為（）度．A．45 B．50 C．55 D．606．（3分）已知點M（x1，y1），N（x2，y2）在反比例函數(shù)的圖象上，若x1＜0＜x2，則有（）A．y2＜0＜y1 B．y1＜0＜y2 C．y1＜y2＜0 D．0＜y1＜y27．（3分）數(shù)學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點A，B，連接AB，作AB的垂直平分線CD交AB于點D，交于點C，測出AB＝30cm，CD＝5cm，則圓形工件的半徑為（）A．20cm B．25cm C．30cm D．35cm8．（3分）2024年鞏義市職工籃球聯(lián)賽已落下帷幕，比賽采用單循環(huán)制，任意兩個參賽隊伍之間都要進行一場比賽，該聯(lián)賽共進行了153場比賽．若共有x支隊伍報名參賽，則根據(jù)題意可列出方程為（）A．x（x﹣1）＝153 B．x（x+1）＝153 C． D．9．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，三角形OAB是等腰三角形，OA＝AB，三角形OAB與三角形O'A'B'是位似圖形，其中對應點A和A′坐標分別是（1，2），（7，﹣4），則位似中心坐標是（）A．（3，0） B．（4，0） C． D．10．（3分）如圖平面直角坐標系中，A（0，7）、，C為線段OA上一個動點．以CB為邊作直角三角形BCD，∠BCD＝90°且∠CBD＝60°，連接AD，當AD有最小值時，點D的坐標為（）A．（0，3） B． C． D．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+8x﹣6（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣2，則a的值為；12．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為．13．（3分）在一個不透明的袋子中有除顏色外均相同的8個紅球和若干個黑球，通過多次摸球試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率約為0.6，估計袋中黑球有個．14．（3分）如圖，AB是半圓O的直徑，AB＝4，將半圓O繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，點B的對應點為B′，則陰影部分的面積為．15．（3分）如圖，正三角形ABC和ADE的邊長分別是3、7，點F是BC中點，將正三角形ABC繞點A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，△DEF的面積S的取值范圍是．三、解答題（本大題共8個小題，共75分）16．解方程：（1）x2﹣8x+5＝0；（2）x2﹣5x+6＝0．17．如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標系xOy，格點（網(wǎng)格線的交點）A，B，C，D的坐標分別為（8，3），（4，7），（﹣2，7），（2，3）．（1）以點D為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)180°得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1并寫出點A1，B1，C1的坐標；（2）直接寫出以A，C，A1，C1為頂點的四邊形的面積；（3）若△ABC外接圓的圓心為點E，請直接寫出點E的坐標．18．如圖所示，李老師設(shè)計的一個電路圖，有S1，S2，S3，S4四個開關(guān)，一個燈泡，一個電源，若干連接電線組成．所有電子元件都能正常工作，電路連通，燈泡正常發(fā)光．請解答下列數(shù)學問題．（1）下列說法正確的有（多選）．A．閉合其中的一個開關(guān)燈泡發(fā)光是隨機事件；B．閉合其中的兩個開關(guān)燈泡發(fā)光是隨機事件；C．閉合其中的三個開關(guān)燈泡發(fā)光是隨機事件；D．閉合四個開關(guān)燈泡發(fā)光是必然事件；（2）當隨機閉合S1，S2，S3，S4中的兩個開關(guān)時，請用畫樹狀圖或列表的方法求出能使小燈泡發(fā)光的概率．19．列表法、解析式法、圖象法是三種表示函數(shù)的方法，它們從不同角度反映了自變量與函數(shù)值之間的對應關(guān)系．下表是函數(shù)y＝﹣x+b與y＝部分自變量與函數(shù)值的對應關(guān)系：x﹣a6y＝﹣x+bay＝﹣1（1）求a、b的值，并補全表格；（2）結(jié)合表格，當y＝﹣x+b的圖象在y＝的圖象上方時，直接寫出x的取值范圍．20．如圖，四邊形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，以邊AB為直徑作⊙O，點E在邊CD上，連接BE交⊙O于點F，連接AF并延長交BC于點G．（1）求證：；（2）若∠BEC＝65°，求的長．（結(jié)果保留π）21．元旦節(jié)日期間，某兒童游樂場每天運營成本為1000元，該游樂場每天售出的門票數(shù)量y（單位：張）與售價x（單位：元/張）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系（15≤x≤40，且x是整數(shù)），部分數(shù)據(jù)如下表所示：門票售價x（元/張）2025售出門票數(shù)量y（張）156136（1）請求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)該游樂場每天的利潤（利潤＝門票收入﹣運營成本）為w（單位：元），求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）該游樂場將門票售價x定為多少時，每天獲利最大？最大利潤是多少？22．【問題情境】如圖1，正方形ABCD和正方形AEFG按如圖所示位置放置，我們通過觀察可以得到BE＝GD，BE與GD的夾角為90°；將正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)，如圖2，連接BE，DG．我們利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過證明△ABE≌△ADG，仍然可以得到BE＝DG，BE與GD的夾角為90°．【變式思考】如圖3，將正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)，連接CF，DG．（1）用等式表示線段CF與DG之間的數(shù)量關(guān)系為，直線CF與DG的夾角為；（2）按照圖3的旋轉(zhuǎn)位置，證明（1）所得出的結(jié)論；【拓展運用】（3）在圖2的基礎(chǔ)上，若AB＝2，AE＝1，連接CG，在正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，請直接寫出CG的最小值是．23．如圖，一次函數(shù)y＝x+m的圖象與二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象交于點A（﹣2，0）和點B（3，n），點P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函數(shù)的圖象上的兩個動點，且滿足x2＝x1+3．（1）求此一次函數(shù)和二次函數(shù)的表達式；（2）如圖1，若點Q在直線AB的上方，過點Q作QC⊥x軸于點C，交AB于點D，連接BC，DP，PQ．求證：的值為定值；（3）如圖2，若點P在x軸的上方移動，點M為線段PQ的中點，求點M縱坐標的取值范圍．

2024-2025學年河南省鄭州市鞏義市九年級（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CBCDCABCAC一、選擇題（本題共10個小題，每小題3分，共30分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）方程x2＝2025x的解是（）A．x＝0 B．x＝2025 C．x1＝0，x2＝2025 D．無實數(shù)根【分析】利用因式分解法即可求得方程的解．【解答】解：x2＝2025x提取公因式x得x（x﹣2025）＝0∴x1＝0或x2＝2025．故選：C．【點評】利用因式分解法解一元二次方程式是解題的關(guān)鍵．2．（3分）第14屆國際數(shù)學教育大會（簡稱ICME﹣14）于2021年7月在上海舉辦，會徽的主題圖案（圖1）有著豐富的數(shù)學元素，展現(xiàn)了中國古代數(shù)學的燦爛文明，其右下方的“卦”（圖2）是用中國古代的計數(shù)符號寫出的八進制數(shù)字3745．則圖2中的四個八卦符號，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可．【解答】解：第二個和第四個圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，第一個和第三個圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；綜上所述，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有2個，所以只有選項B正確，符合題意，故選：B．【點評】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，關(guān)鍵是相關(guān)定義的熟練掌握．3．（3分）將拋物線y＝x2﹣2x向上平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為（）A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x+1）2+1 C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x﹣1）2+2【分析】根據(jù)上加下減先得到解析式，再化為頂點式即可得到答案；【解答】解：∵y＝x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1，∴拋物線y＝x2﹣2x向上平移2個單位，所得拋物線的解析式為：y＝（x﹣1）2﹣1+2，即y＝（x﹣1）2+1，故選：C．【點評】本題考查函數(shù)的圖象與幾何變換．二次函數(shù)的三種形式，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解題的關(guān)鍵．4．（3分）在如圖所示的圖形中隨機撒一把豆子，把“在圖形中隨機撒豆子”作為試驗，把“豆子落在區(qū)域C中”記作事件W，估計事件W的概率P（W）的值為（）A． B． C． D．【分析】分別求出區(qū)域C和最大的圓的面積，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：由圖可知區(qū)域C的面積為22×π＝4π，最大的圓的面積為（2+2+2）2×π＝36π，∴“豆子落在C中”的概率．故選：D．【點評】本題考查幾何概率，掌握概率公式是解題關(guān)鍵．5．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，∠BCD＝35°，則∠ABD度數(shù)為（）度．A．45 B．50 C．55 D．60【分析】連接AD，由同弧所對的圓周角相等可得∠BCD＝∠BAD，再由直徑所對的圓周角為直角可得∠ADB＝90°，利用三角形內(nèi)角和180°即可得到答案．【解答】解：連接AD，∵∠BCD＝35°，＝，∴∠BAD＝35°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣35°＝55°．故選：C．【點評】本題考查了圓周角定理的推論和三角形的內(nèi)角和定理，掌握根據(jù)題意作輔助線是解題關(guān)鍵．6．（3分）已知點M（x1，y1），N（x2，y2）在反比例函數(shù)的圖象上，若x1＜0＜x2，則有（）A．y2＜0＜y1 B．y1＜0＜y2 C．y1＜y2＜0 D．0＜y1＜y2【分析】根據(jù)反比例函數(shù)所在的象限即可判斷．【解答】解：由條件可知反比例函數(shù)的圖象在二，四象限，∵x1＜0＜x2，∴y2＜0＜y1，故選：A．【點評】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握該知識點是關(guān)鍵．7．（3分）數(shù)學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點A，B，連接AB，作AB的垂直平分線CD交AB于點D，交于點C，測出AB＝30cm，CD＝5cm，則圓形工件的半徑為（）A．20cm B．25cm C．30cm D．35cm【分析】連接OA，設(shè)圓的半徑為r，在Rt△OAD中，利用勾股定理進行求解即可．【解答】解：由題意，圓心O在CD所在直線上，連接OA，設(shè)圓的半徑為r，則：OA＝OC＝rcm，OD＝（r﹣5）cm，，由勾股定理，得：r2＝152+（r﹣5）2，整理得250﹣10r＝0，∴r＝25cm；故選：B．【點評】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握以上知識點是關(guān)鍵．8．（3分）2024年鞏義市職工籃球聯(lián)賽已落下帷幕，比賽采用單循環(huán)制，任意兩個參賽隊伍之間都要進行一場比賽，該聯(lián)賽共進行了153場比賽．若共有x支隊伍報名參賽，則根據(jù)題意可列出方程為（）A．x（x﹣1）＝153 B．x（x+1）＝153 C． D．【分析】根據(jù)場數(shù)列式求解即可得到答案．【解答】解：根據(jù)場數(shù)列式求解即可得：，故選：C．【點評】本題考查一元二次方程的實際應用，熟練掌握該知識點是關(guān)鍵．9．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，三角形OAB是等腰三角形，OA＝AB，三角形OAB與三角形O'A'B'是位似圖形，其中對應點A和A′坐標分別是（1，2），（7，﹣4），則位似中心坐標是（）A．（3，0） B．（4，0） C． D．【分析】先確定位似中心為點P，然后用待定系數(shù)法求出直線AA′的解析式為：y＝﹣x+3，再求出直線與x軸的交點坐標，即可得出答案．【解答】解：設(shè)AA′與x軸交于點P，∵A與A′是對應點，B與B′為對應點，∴AA′與BB′的交點P為位似中心，∵B與B′都在x軸上，∴點P在x軸上，設(shè)直線AA′的解析式為：y＝kx+b（k≠0），∵點A和A′坐標分別是（1，2），（7，﹣4），∴，解得：，∴直線AA′的解析式為：y＝﹣x+3，把y＝0代入得：﹣x+3＝0，解得：x＝3，∴位似中心的坐標是（3，0），故選：A．【點評】本題主要考查了位似變換，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，坐標與圖形性質(zhì)，熟知以上知識是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖平面直角坐標系中，A（0，7）、，C為線段OA上一個動點．以CB為邊作直角三角形BCD，∠BCD＝90°且∠CBD＝60°，連接AD，當AD有最小值時，點D的坐標為（）A．（0，3） B． C． D．【分析】過點D作DE⊥y軸于點E，設(shè)OC＝m，證明△EDC∽△OCB得出，，勾股定理求得AD2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出m＝1時，AD取得最小值，進而求得D點的坐標，即可求解．【解答】解：平面直角坐標系中，A（0，7）、，∠BCD＝90°且∠CBD＝60°，如圖，過點D作DE⊥y軸于點E，∴∠DEC＝∠COB＝∠DCB＝90°，∴∠EDC＝90°﹣∠ECD＝∠OBC，∴△EDC∽△OCB，∴，設(shè)OC＝m，∵，∴，∴，，∵AE＝AO﹣EC﹣OC＝7﹣3﹣m＝4﹣m，在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2＝ED2+AE2＝3m2+（7﹣3﹣m）2＝4m2﹣8m+16，∴時，AD2取得最小值，即AD有最小值，∴，EO＝EC+CO＝1+3＝4，∴，故選：C．【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理，切線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+8x﹣6（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣2，則a的值為2；【分析】根據(jù)對稱軸的計算公式計算即可得到答案．【解答】解：根據(jù)對稱軸的計算公式可知：拋物線對稱軸為，解得：a＝2，故答案為：2．【點評】此題考查了二次函數(shù)的對稱軸公式，熟記公式并代入計算是解題的關(guān)鍵．12．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為﹣4．【分析】利用判別式的意義得到Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，然后解關(guān)于k的方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣4）2﹣4×（﹣k）＝0，解得k＝﹣4，所以k的值為﹣4．故答案為：﹣4．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．13．（3分）在一個不透明的袋子中有除顏色外均相同的8個紅球和若干個黑球，通過多次摸球試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率約為0.6，估計袋中黑球有12個．【分析】由題意可知摸到黑球的概率為0.6，進而根據(jù)概率計算公式列分式方程求解即可．【解答】解：∵通過多次摸球試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率約為0.6，∴摸到黑球的概率為0.6，設(shè)袋中黑球有x個，由題意得：，解得：x＝12，經(jīng)檢驗，x＝12是原分式方程的解，即估計袋中黑球有12個，故答案為：12．【點評】本題主要考查了用頻率估計概率，分式方程的應用，掌握大量反復試驗下頻率的穩(wěn)定值即為概率是解題關(guān)鍵．14．（3分）如圖，AB是半圓O的直徑，AB＝4，將半圓O繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，點B的對應點為B′，則陰影部分的面積為2+π．【分析】記AB′與半圓O交于點C，連接OC，圖中陰影部分的面積＝S△OAC+S扇形OBC，根據(jù)三角形面積公式算出S△OAC，再根據(jù)圓周角定理和扇形面積公式算出S扇形OBC，即可解題．【解答】解：記AB′與半圓O交于點C，連接OC，由條件可知兩個半圓面積相等，∠OAC＝45°，則∠BOC＝90°，∴S陰影＝S△OAC+S扇形OBC，∵AB＝4，∴OA＝OC＝2，∴，，∴S陰影＝2+π，故答案為：2+π．【點評】本題考查了求不規(guī)則圖形的面積及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理并靈活運用是關(guān)鍵．15．（3分）如圖，正三角形ABC和ADE的邊長分別是3、7，點F是BC中點，將正三角形ABC繞點A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，△DEF的面積S的取值范圍是．【分析】連接AF，先利用等邊三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AF長，可確定點F的軌跡為以點A為圓心，半徑長為的圓，過點A作AG⊥DE于點G，利用直線到圓上一點的距離可知，當A、F、G依次共線時，F(xiàn)G最小，此時點F為如圖的點F′；當F、A、G依次共線時，F(xiàn)G最大，此時點F為如圖的點F″，再計算最大值和最小值即可．【解答】解：如圖，連接AF，∵△ABC是等邊三角形，點F是BC中點，∴AF⊥BC，，∴，，∴點F的軌跡為以點A為圓心，半徑長為的圓，過點A作AG⊥DE于點G，由直線到圓上一點的距離可知，當A、F、G依次共線時，F(xiàn)G最小，此時點F為如圖的點F′；當F、A、G依次共線時，F(xiàn)G最大，此時點F為如圖的點F″；∵△ADE是等邊三角形，AG⊥DE，∴，∴，，∴，，∴點F到DE的距離h的取值范圍，∵△DEF的面積，∴，故答案為：．【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，二次根式，圓的定義，直線和圓的位置關(guān)系，熟練掌握利用定點定長確定軌跡圓是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8個小題，共75分）16．解方程：（1）x2﹣8x+5＝0；（2）x2﹣5x+6＝0．【分析】（1）用求根公式解方程即可；（2）用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）x2﹣8x+5＝0，∵a＝1，b＝﹣8，c＝5，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×5＝44，∴，∴，；（2）∵x2﹣5x+6＝0，∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．【點評】本題主要考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和公式法是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標系xOy，格點（網(wǎng)格線的交點）A，B，C，D的坐標分別為（8，3），（4，7），（﹣2，7），（2，3）．（1）以點D為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)180°得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1并寫出點A1，B1，C1的坐標；（2）直接寫出以A，C，A1，C1為頂點的四邊形的面積；（3）若△ABC外接圓的圓心為點E，請直接寫出點E的坐標．【分析】（1）按照畫旋轉(zhuǎn)圖形的方法畫出△A1B1C1并寫出點A1，B1，C1的坐標即可；（2）利用三角形的面積公式求出以A，C，A1，C1為頂點的四邊形的面積即可；（3）在圖中找到邊AB與邊BC的垂直平分線的交點，然后寫出其坐標即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求作，由圖可得：點A1的坐標為A1（﹣4，3），點B1的坐標為（0，﹣1），點C1的坐標為（6，﹣1）；（2）；（3）由圖可得：△ABC外接圓圓心點E的坐標為：E（1，0）．【點評】本題主要考查了畫旋轉(zhuǎn)圖形，寫出直角坐標系中點的坐標，三角形的面積公式，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及畫旋轉(zhuǎn)圖形的方法是解題的關(guān)鍵．18．如圖所示，李老師設(shè)計的一個電路圖，有S1，S2，S3，S4四個開關(guān)，一個燈泡，一個電源，若干連接電線組成．所有電子元件都能正常工作，電路連通，燈泡正常發(fā)光．請解答下列數(shù)學問題．（1）下列說法正確的有BD（多選）．A．閉合其中的一個開關(guān)燈泡發(fā)光是隨機事件；B．閉合其中的兩個開關(guān)燈泡發(fā)光是隨機事件；C．閉合其中的三個開關(guān)燈泡發(fā)光是隨機事件；D．閉合四個開關(guān)燈泡發(fā)光是必然事件；（2）當隨機閉合S1，S2，S3，S4中的兩個開關(guān)時，請用畫樹狀圖或列表的方法求出能使小燈泡發(fā)光的概率．【分析】（1）根據(jù)題意以及事件的分類即可求解．（2）列表法得出共有12種等可能的結(jié)果，其中能使燈泡發(fā)光的結(jié)果有8種，進而根據(jù)概率公式，即可求解．【解答】解：（1）A．閉合其中的一個開關(guān)燈泡發(fā)光是不可能事件，故該選項不正確，不符合題意；B．閉合其中的兩個開關(guān)燈泡發(fā)光是隨機事件，故該選項正確，符合題意；C．閉合其中的三個開關(guān)燈泡發(fā)光是必然事件，故該選項不正確，不符合題意；D．閉合四個開關(guān)燈泡發(fā)光是必然事件，故該選項正確，符合題意；故選：BD；（2）根據(jù)題意，列表表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：S1S2S3S4S1（S1，S2）（S1，S3）（S1，S4）S2（S2，S1）（S2，S3）（S2，S4）S3（S3，S1）（S3，S2）（S3，S4）S4（S4，S1）（S4，S2）（S4，S3）由表格可知共有12種等可能的結(jié)果，其中能使燈泡發(fā)光的結(jié)果有8種，∴P（能使燈泡發(fā)光）＝．【點評】本題主要考查了事件的分類，畫出樹狀圖或列表法來求一個事件的概率是解題的關(guān)鍵．19．列表法、解析式法、圖象法是三種表示函數(shù)的方法，它們從不同角度反映了自變量與函數(shù)值之間的對應關(guān)系．下表是函數(shù)y＝﹣x+b與y＝部分自變量與函數(shù)值的對應關(guān)系：x﹣a6y＝﹣x+ba﹣1y＝4﹣﹣1（1）求a、b的值，并補全表格；（2）結(jié)合表格，當y＝﹣x+b的圖象在y＝的圖象上方時，直接寫出x的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)表格信息建立方程組求解a、b的值，再求解表格中其它的值，再補全表格即可；（2）由表格信息可得兩個函數(shù)的交點坐標，再結(jié)合函數(shù)圖象可得答案．【解答】解：（1）依題意把點，代入直線解析式得：，解得：，∴一次函數(shù)為，∵把（6，﹣1）代入，得k＝﹣6，∴反比例函數(shù)為：，當時，，當x＝4時，，補全表格如下：x464﹣14﹣1（2）由表格信息可得：兩個函數(shù)的交點坐標分別為：，∴x的取值范圍為：或0＜x＜6．【點評】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，利用圖象法寫自變量的取值范圍，熟練掌握該知識點是關(guān)鍵．20．如圖，四邊形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，以邊AB為直徑作⊙O，點E在邊CD上，連接BE交⊙O于點F，連接AF并延長交BC于點G．（1）求證：；（2）若∠BEC＝65°，求的長．（結(jié)果保留π）【分析】（1）證△BAG∽△CBE即可；（2）根據(jù)題意求出∠BOF＝180°﹣∠ABF﹣∠OFB＝50°即可求解．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝∠ABF＝90°，∵∠ABG＝90°，∴∠GBF+∠ABF＝90°，∴∠BAF＝∠GBF．∵∠ABG＝∠BCE＝90°，∴△BAG∽△CBE．∴．（2）解：連接OF，如圖所示．∵∠BEC＝65°，∴∠FBG＝90°﹣∠BEC＝25°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABF＝90°﹣∠FBG＝65°．∵OF＝OB，∴∠ABF＝∠OFB＝65°．∴∠BOF＝180°﹣∠ABF﹣∠OFB＝50°．∴的長為：．【點評】本題考查了直徑所對的圓周角是直角、相似三角形的判定與性質(zhì)、弧長的求解等知識點，熟記相關(guān)幾何結(jié)論是解題關(guān)鍵．21．元旦節(jié)日期間，某兒童游樂場每天運營成本為1000元，該游樂場每天售出的門票數(shù)量y（單位：張）與售價x（單位：元/張）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系（15≤x≤40，且x是整數(shù)），部分數(shù)據(jù)如下表所示：門票售價x（元/張）2025售出門票數(shù)量y（張）156136（1）請求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)該游樂場每天的利潤（利潤＝門票收入﹣運營成本）為w（單位：元），求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）該游樂場將門票售價x定為多少時，每天獲利最大？最大利潤是多少？【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求出函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)“利潤＝門票收入﹣運營成本”即可得出二次函數(shù)解析式；（3）先將（2）中解析式化成頂點式，然后求二次函數(shù)的最值即可．【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝kx+b，由表格可得，，解得，即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣4x+236（15≤x≤40，且x是整數(shù)）；（2）由題意可得，w＝x（﹣4x+236）﹣1000＝﹣4x2+236x﹣1000，即w與x之間的函數(shù)關(guān)系式是w＝﹣4x2+236x﹣1000（15≤x≤40）；（3）由（2）知：，∵15≤x≤40，且x是整數(shù)，∴當x＝29或30時，w取得最大值，此時w＝2480，答：該影院將門票售價x定為29元或30元時，每天獲利最大，最大利潤是2480元．【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的實際應用（其他問題），實際問題與二次函數(shù)（銷售問題），二次函數(shù)的最值等知識點，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式并根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系正確列出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．22．【問題情境】如圖1，正方形ABCD和正方形AEFG按如圖所示位置放置，我們通過觀察可以得到BE＝GD，BE與GD的夾角為90°；將正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)，如圖2，連接BE，DG．我們利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過證明△ABE≌△ADG，仍然可以得到BE＝DG，BE與GD的夾角為90°．【變式思考】如圖3，將正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)，連接CF，DG．（1）用等式表示線段CF與DG之間的數(shù)量關(guān)系為，直線CF與DG的夾角為45°；（2）按照圖3的旋轉(zhuǎn)位置，證明（1）所得出的結(jié)論；【拓展運用】（3）在圖2的基礎(chǔ)上，若AB＝2，AE＝1，連接CG，在正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，請直接寫出CG的最小值是．【分析】（1）連接AF，AC，延長CF，DG交于點M，證明△FAC∽△GAD，即可得到線段CF與DG之間的數(shù)量關(guān)系；再利用相似三角形的性質(zhì)，進行角度的轉(zhuǎn)換可得直線CF與DG的夾角；（2）連接AF，AC，延長CF，DG交于點M，證明△FAC∽△GAD，即可得到線段CF與DG之間的數(shù)量關(guān)系；再利用相似三角形的性質(zhì)，進行角度的轉(zhuǎn)換可得直線CF與DG的夾角；（3）根據(jù)當A，G，C三點共線，且點G在線段AC上時，CG最小，即可解答．【解答】（1）解：正方形ABCD和正方形AEFG按如圖3所示位置放置，連接AF，AC，延長CF，DG交于點M，∴△ADC，△AGF為等腰直角三角形，∴，∠CAD＝∠FAG＝45°，∴∠CAD﹣∠CAG＝∠FAG﹣∠CAG