第二十四章

圓24.1圓的有關(guān)性質(zhì)24.1.2垂直于弦的直徑

你知道趙州橋嗎?它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？1.進(jìn)一步認(rèn)識圓，了解圓是軸對稱圖形.2.理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論，并能應(yīng)用它解決一些簡單的計算、證明和作圖問題.

3.靈活運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)圓的問題.

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：探索并證明垂徑定理的性質(zhì)和推論；學(xué)習(xí)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用垂徑定理解決相關(guān)的計算與應(yīng)用。

實(shí)踐探究把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．

圓的軸對稱性知識點(diǎn)1（1）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？圓的對稱性

圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.●O說一說（2）如何來證明圓是軸對稱圖形呢？BOACDE

是軸對稱圖形．大膽猜想已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為E．【思考】左圖是軸對稱圖形嗎？滿足什么條件才能證明圓是軸對稱圖形呢？證明：連結(jié)OA、OB.則OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直徑CD所在的直線是AB的垂直平分線.∴對于圓上任意一點(diǎn)，在圓上都有關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)，即⊙O關(guān)于直線CD對稱.BOACDE

圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.

如圖，AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和劣弧?為什么?線段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由：

把圓沿著直徑CD折疊時，CD兩側(cè)的兩個半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AE與BE重合，AC和BC,AD與BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDEC垂徑定理及其推論知識點(diǎn)2垂徑定理·OABCDE垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.∵

CD是直徑，CD⊥AB，∴

AE=BE,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.推導(dǎo)格式：溫馨提示：垂徑定理是圓中一個重要的定理,三種語言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運(yùn)用自如.想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？是不是，因?yàn)闆]有垂直是不是，因?yàn)镃D沒有過圓心ABOCDEOABCABDCOEABOEC垂徑定理的幾個基本圖形：ABOCDEABOEDABOCABODC

歸納總結(jié)

【思考】如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。┙Y(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)??；⑤平分弦所對的劣弧.上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論嗎？一條直線過圓心垂直于弦平分弦平分線所對的優(yōu)弧平分弦所對的劣弧具備其中兩條其余三條成立

DOABEC舉例證明其中一種組合方法.已知:求證：①CD是直徑②CD⊥AB，垂足為E

③AE=BE④AC=BC⑤AD=BD⌒⌒⌒⌒證明猜想如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB嗎？為什么？（2）BD（2）由垂徑定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒（1）連接AO,BO,則AO=BO,又AE=BE，

OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.證明舉例⌒AC與BC相等嗎？AD與BD相等嗎？為什么？⌒⌒⌒DOABEC證明：思考：“不是直徑”這個條件能去掉嗎？如不能，請舉出反例.

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理的推論·OABCD特別說明：圓的兩條直徑是互相平分的.歸納總結(jié)例1

如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=

cm.·OABE解析：連接OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16∴cm.素養(yǎng)考點(diǎn)1垂徑定理及其推論的計算

如圖，⊙

O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.·OABECD解：連接OA，∵

CE⊥AB于D，∴.設(shè)OC=xcm，則OD=x-2,根據(jù)勾股定理，得解得x=5，即半徑OC的長為5cm.x2=42+(x-2)2，例2已知：⊙O中弦AB∥CD,求證：AC＝BD.⌒⌒.MCDABON證明：作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.則AM＝BM，CM＝DM（垂直于弦的直徑平分弦所對的弧）

AM－CM＝BM－DM.∴AC＝BD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒平行弦夾的弧相等利用垂徑定理及推論證明相等素養(yǎng)考點(diǎn)2

解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的弦心距（垂線段），或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.歸納總結(jié)OOOAAABBBCCDEMN如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證:四邊形ADOE是正方形．D·OABCE又∵AC=AB,∴AE

=AD.∴四邊形ADOE為正方形.證明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四邊形ADOE為矩形，AE=AC,AD=AB.例3

根據(jù)剛剛所學(xué)，你能利用垂徑定理求出導(dǎo)入中趙州橋主橋拱半徑的問題嗎?素養(yǎng)考點(diǎn)3垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與弧AB交于點(diǎn)C，則D是AB的中點(diǎn)，C是弧AB的中點(diǎn)，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.解得R≈27.3.即主橋拱半徑約為27.3m.R2=18.52+(R-7.23)2

∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.OA2=AD2+OD2

如圖a、b,一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為

.C

DCBOADOAB圖a圖b5cm或12cm

在圓中有關(guān)弦長a,半徑r,弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)的計算題時，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.涉及垂徑定理時輔助線的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：弓形中重要數(shù)量關(guān)系d+h=r

OABC·歸納總結(jié)ABCDOhrd

C1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則此圓的半徑為

.5cm基礎(chǔ)鞏固題2.⊙O的直徑AB=20cm,∠BAC=30°則弦AC=

.

3.（分類討論題）已知⊙O的半徑為10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,則弦MN和EF之間的距離為

.14cm或2cm已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn).你認(rèn)為AC和BD有什么關(guān)系？為什么？證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.

即AC＝BD..ACDBOE能力提升題如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD,點(diǎn)O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點(diǎn),且OE⊥CD，垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.解:連接OC.●

OCDEF┗設(shè)這段彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90)m.根據(jù)勾股定理，得解得R=545.∴這段彎路的半徑約為545m.拓廣探索題垂徑定理內(nèi)容推論輔助線一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對的優(yōu)弧;⑤平分弦所對的劣弧.

“知二推三”垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧兩條輔助線：連半徑，作弦心距構(gòu)造Rt△利用勾股定理計算或建立方程.基本圖形及變式圖形1.圓是

圖形,任何一條直徑所在的直線都是圓的

.

2.下列說法不正確的是(

)A.圓的對稱軸有無數(shù)條,對稱中心只有一個B.圓既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形C.圓既是中心對稱圖形,又是旋轉(zhuǎn)對稱圖形D.當(dāng)圓繞它的圓心旋轉(zhuǎn)35°17'42″時,不會與原來的圓重合3.垂直于弦的直徑平分

,并且平分弦所對的

;平分弦(不是直徑)的直徑垂直于

,并且平分弦所對的

.

軸對稱

對稱軸

D弦

兩條弧

弦

兩條弧

利用垂徑定理進(jìn)行計算【例】

已知☉O的半徑為13cm,弦AB∥CD,AB=24cm,CD=10cm,則AB,CD之間的距離為

(

)A.17cm B.7cmC.12cm D.17cm或7cm解析:本題沒有給出圖形,所以需結(jié)合題意畫出圖形.圓心O與兩條平行弦的位置存在兩種關(guān)系:兩條平行弦在圓心的同側(cè)(如圖①);兩條平行弦在圓心的異側(cè)(如圖②).下面分別求解.(2)兩條平行弦在圓心的異側(cè)(如圖②).根據(jù)(1)的求解方法分別求得ON=12

cm,OM=5

cm.所以MN=ON+OM=17(cm).由(1)(2)可知,AB,CD之間的距離為7

cm或17

cm.答案:D點(diǎn)撥:應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計算,主要涉及的線段長有弦長a、圓半徑r、圓心到弦的距離d、弓形高h(yuǎn).它們之間的關(guān)系有r=h+d(或r=h-d),r2=d2+.另外,注意分類討論思想的應(yīng)用,以防因考慮不周而漏解致錯.12341.如圖所示,在☉O中,直徑MN⊥弦AB,垂足為C,則下列結(jié)論錯誤的是(

)C.AM=BM

D.OC=CN答案答案關(guān)閉D12342.在☉O中