第二十四章

圓24.2點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系24.2.2直線和圓的位置關(guān)系（第2課時(shí)）轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘時(shí)飛出的雨滴，用砂輪磨刀時(shí)擦出的火花，都是沿著什么方向飛出的？都是沿著圓的切線的方向飛出的．會(huì)判定一條直線是否是圓的切線并會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線.2.理解并掌握?qǐng)A的切線的判定定理及性質(zhì)定理.3.能運(yùn)用圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理解決問(wèn)題.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：掌握切線的判定定理和性質(zhì)定理.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：能初步運(yùn)用切線的判定定理和性質(zhì)定理解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題.如圖，在⊙O中經(jīng)過(guò)半徑OA的外端點(diǎn)A作直線l⊥OA,則圓心O到直線l的距離是多少？

這時(shí)圓心O到直線l的距離就是⊙O的半徑．Alo直線l和⊙O有什么位置關(guān)系?由d=r

直線l是⊙O的切線．切線的判定定理知識(shí)點(diǎn)1切線的判定方法知識(shí)點(diǎn)1ABC問(wèn)題：已知圓O上一點(diǎn)A，怎樣根據(jù)圓的切線定義過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線？觀察：（1）圓心O到直線AB的距離和圓的半徑有什么數(shù)量關(guān)系?（2）二者位置有什么關(guān)系？為什么？O經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.OA為⊙O的半徑BC⊥

OA于ABC為⊙O的切線ＯABC切線的判定定理應(yīng)用格式O下列各直線是不是圓的切線？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明為什么？O.AO.ABAO(1)(2)(3)(1)不是，因?yàn)闆](méi)有垂直.(2),(3)不是，因?yàn)闆](méi)有經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)A.

在切線的判定定理中，“經(jīng)過(guò)半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的切線.注意判斷一條直線是一個(gè)圓的切線有三個(gè)方法：1.定義法：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說(shuō)這條直線是圓的切線;2.數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時(shí)，直線與圓相切；3.判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.lAlOlrd要點(diǎn)歸納例1

如圖,∠ABC=45°，直線AB是☉O上的直徑，點(diǎn)A,且AB=AC.求證：AC是☉O的切線.分析：直線AC經(jīng)過(guò)半徑的一端，因此只要證OA垂直于AB即可.證明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°.

∴∠BAC=180°-∠ABC-

∠ACB=90°.

∵AB是☉O的直徑，∴AC是☉O的切線.AOCB通過(guò)證明角是90°判斷圓的切線素養(yǎng)考點(diǎn)1如圖所示，線段AB經(jīng)過(guò)圓心O，交⊙O

于點(diǎn)A、C，∠BAD＝∠B＝30°，邊BD

交圓于點(diǎn)D.BD

是⊙O

的切線嗎？為什么？圖24-2-11解：BD是⊙O的切線．連接

OD,∵OD＝OA，∠A＝30°，

∴∠DOB＝60°.∵∠B＝30°，∴∠ODB＝90°.∴BD是⊙O的切線．例2

已知：直線AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB.求證：直線AB是⊙O的切線.OBAC證明：連接OC(如圖).∵OA＝OB,CA＝CB,

∴OC是等腰三角形OAB底邊AB上的中線.

∴AB⊥OC.

∵OC是⊙O的半徑,

∴AB是⊙O的切線.通過(guò)證明垂直判斷圓的切線素養(yǎng)考點(diǎn)2如圖,△ABC中，AB＝AC，O

是BC的中點(diǎn)，⊙O

與AB相切于E.求證：AC是⊙O的切線．BOCEA分析：根據(jù)切線的判定定理，要證明AC是⊙O的切線，只要證明由點(diǎn)O向AC所作的垂線段OF是⊙O的半徑就可以了，而OE是⊙O的半徑，因此只需要證明OF=OE.F證明：連接OE，OA,過(guò)O作OF⊥AC.∵⊙O與AB相切于E

，

∴OE⊥AB.又∵△ABC中，AB＝AC，O是BC的中點(diǎn)．∴AO平分∠BAC，F(xiàn)BOCEA∴OE＝OF.∵OE是⊙O半徑，OF＝OE，OF⊥AC.∴AC是⊙O的切線．又OE⊥AB，OF⊥AC.如圖，已知直線AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OA＝OB，CA＝CB求證：直線AB是⊙O的切線.CBAO如圖，OA＝OB=5，AB＝8,⊙O的直徑為6.求證：直線AB是⊙O的切線.CBAO對(duì)比思考？作垂直連接方法歸納(1)有交點(diǎn)，連半徑,證垂直;(2)無(wú)交點(diǎn)，作垂直,證半徑.證切線時(shí)輔助線的添加方法例1例2有切線時(shí)常用輔助線添加方法

見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，得垂直.切線的其他重要結(jié)論(1)經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn);(2)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.要點(diǎn)歸納思考：如圖，如果直線l是⊙O

的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，那么OA與l垂直嗎？AlO∵直線l是⊙O

的切線，A是切點(diǎn).∴直線l⊥OA.

切線性質(zhì)

圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．

應(yīng)用格式切線的性質(zhì)定理知識(shí)點(diǎn)2證明：假設(shè)AB與CD不垂直,過(guò)點(diǎn)O作一條直徑垂直于CD,垂足為M.

則OM<OA,即圓心到直線CD的距離小于⊙O的半徑,因此,CD與⊙O相交.這與已知條件“直線與⊙O相切”相矛盾.CDBOA所以AB與CD垂直.M證法1：反證法.性質(zhì)定理的證明CDOA證法2：構(gòu)造法.

作出小⊙O的同心圓大⊙O，CD切小⊙O于點(diǎn)A,且A點(diǎn)為CD的中點(diǎn).連接OA,根據(jù)垂徑定理，則CD⊥OA,即圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．

利用切線的性質(zhì)解題時(shí)，常需連接輔助線，一般連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的相關(guān)性質(zhì)解題.方法點(diǎn)撥例1

如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)．直線PO與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，∠P＝30°，連接AO、AB、AC.(1)求證：△ACB≌△APO；(2)若AP＝，求⊙O的半徑．分析：(1)根據(jù)已知條件我們易得∠CAB=∠PAO=90°，由∠P=30°可得出∠AOP=60°，則∠C=30°=∠P，即AC=AP；這樣就湊齊了角邊角，可證得△ACB≌△APO；OABPC(2)由已知條件可得△AOP為直角三角形，因此可以通過(guò)解直角三角形求出半徑OA的長(zhǎng).切線性質(zhì)的應(yīng)用素養(yǎng)考點(diǎn)1(1)求證：△ACB≌△APO；OABPC在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO（ASA）.證明：∵PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又∵OA＝OB，∴△AOB為等邊三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°.又∵BC為⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°.∴∠OAP＝90°.(2)若AP＝，求⊙O的半徑．OABPC∴AO＝1，∴CB＝OP＝2，∴OB＝1，即⊙O的半徑為1.解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP

=，如圖所示，點(diǎn)A

是⊙O外一點(diǎn)，OA交⊙O

于點(diǎn)

B，AC是⊙O

的切線，切點(diǎn)是C，且∠A＝30°，BC＝1.求⊙O的半徑．

解：連接

OC.∵

AC是⊙O的切線，

∴

∠OCA＝90°.又∵∠A＝30°，∴

∠COB＝60°

∴

OBC是等邊三角形．∴

OB＝BC＝1，即⊙O的半徑為1.如圖，在⊙O中，AB為直徑，AC為弦．過(guò)BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)G，作GD⊥AO于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，M是GE的中點(diǎn)，連接CF、CM．判斷CM與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.解：CM與⊙O相切．理由如下：連接OC，如圖，∵GD⊥AO于點(diǎn)D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∵M(jìn)點(diǎn)為GE的中點(diǎn)，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM為⊙O的切線.1.判斷下列命題是否正確.（1）經(jīng)過(guò)半徑外端的直線是圓的切線.（）（2）垂直于半徑的直線是圓的切線.（）（3）過(guò)直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線.（）（4）和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線.（）（5）過(guò)直徑一端點(diǎn)且垂直于直徑的直線是圓的切線.（）

××√√√基礎(chǔ)鞏固題2.如下圖所示，A是☉O上一點(diǎn)，且AO=5,PO=13,AP=12,則PA與☉O的位置關(guān)系是

.APO相切3.如圖，在☉O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是直徑，∠BCD=120°，過(guò)D點(diǎn)的切線PD與直線AB交于點(diǎn)P，則∠ADP的度數(shù)為（

）A．40°B．35°C．30°D．45°PODABCC4.如圖,⊙O切PB于點(diǎn)B,PB=4,PA=2,則⊙O的半徑多少？OPBA解：連接OB，則∠OBP=90°.設(shè)⊙O的半徑為r,則OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r.在Rt△OBP中，OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.解得r=3，即⊙O的半徑為3.證明：連接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.

∵OB=OP，∴∠B=∠OPB.

∴∠OBP=∠C.

∴OP∥AC.

∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.

∴PE為⊙O的切線.1.如圖,△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，PE⊥AC于E.

求證:PE是⊙O的切線.OABCEP能力提升題ABCPEO2.如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)M.求證：CD與⊙O相切．證明：連接OM，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CD于點(diǎn)N，∵⊙O與BC相切于點(diǎn)M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O為正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，∴OM＝ON，∴CD與⊙O相切．MN已知：△ABC內(nèi)接于☉O，過(guò)點(diǎn)A作直線EF.（1）如圖1，AB為直徑，要使EF為☉O的切線，還需添加的條件是（只需寫出兩種情況）：①_________；②_____________.（2）如圖2，AB是非直徑的弦，∠CAE=∠B，求證：EF是☉O的切線.BA⊥EF∠CAE=∠BAFEOAFEOBCBC圖1圖2拓廣探索題證明：連接AO并延長(zhǎng)交☉O于D,連接CD,則AD為☉O的直徑.∴∠D+∠DAC=90°,∵∠D與∠B同對(duì),∴∠D=∠B,又∵∠CAE=∠B,∴∠D=∠CAE,∴∠DAC+∠EAC=90°,∴EF是☉O的切線.

AFEOBC圖2D切線的判定方法定義法數(shù)量關(guān)系法判定定理1個(gè)公共點(diǎn)，則相切d=r，則相切經(jīng)過(guò)圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.證切線時(shí)常用輔助線添加方法：①有公共點(diǎn)，連半徑，證垂直；②無(wú)公共點(diǎn)，作垂直，證半徑.切線的性質(zhì)有1個(gè)公共點(diǎn)d=r性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑有切線時(shí)常用輔助線添加方法：見(jiàn)切線，連切點(diǎn)，得垂直.1.經(jīng)過(guò)半徑的外端并且

這條半徑的直線是圓的切線.2.如圖,AB是☉O的直徑,BC交☉O于點(diǎn)D,DE⊥AC于點(diǎn)E,要使DE是☉O的切線,還需補(bǔ)充一個(gè)條件,則補(bǔ)充的條件不正確的是(

)A.DE=DO B.AB=ACC.CD=DB D.AC∥OD3.圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的

.

垂直于

A半徑

4.如圖,AB為☉O的直徑,BC是☉O的切線,AC交☉O于點(diǎn)D,AB=6,BC=8,則BD的長(zhǎng)為(

)

A.4 B.4.8 C.5.2 D.65.經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上,這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長(zhǎng),叫做這點(diǎn)到圓的

;從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)

,這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的

.B切線長(zhǎng)

相等

夾角

7.與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的

,內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn),叫做三角形的

.

8.如圖,已知△ABC的內(nèi)切圓☉O與BC邊相切于點(diǎn)D,連接OB,OD.若∠ABC=40°,則∠BOD的度數(shù)是

.

①②③④⑤

內(nèi)切圓

內(nèi)心

70°1.直線和圓相切的性質(zhì)和判定【例1】

如圖,PA是☉O的切線,切點(diǎn)是A,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OP,垂足為H,交☉O于點(diǎn)B.求證:PB是☉O的切線.證明:如圖,連接OA,OB.∵PA是☉O的切線,∴∠OAP=90°.∵OA=OB,AB⊥OP,∴∠AOP=∠BOP.又OA=OB,OP=OP,∴△AOP≌△BOP(SAS).∴∠OBP=∠OAP=90°,即PB是☉O的切線.點(diǎn)撥:知切線,連半徑,得垂直,即根據(jù)切線的性質(zhì),當(dāng)已知某條直線是圓的切線時(shí),切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直,這在解決問(wèn)題時(shí)起著關(guān)鍵的作用.2.切線長(zhǎng)定理【例2】

如圖,P為☉O外一點(diǎn),PA,PB為☉O的兩條切線,A和B是切點(diǎn),弦AC∥OP.求證:BC是☉O的直徑.分析:確定BC是直徑,但題意中未指明BC經(jīng)過(guò)圓心,可通過(guò)證明對(duì)的圓周角為90°,這由切線長(zhǎng)的性質(zhì)容易得到.證明:如圖,連接AB,OA,OB,BC.因?yàn)镻A,PB分別與☉O相切于點(diǎn)A,B,所以PA=PB.又因?yàn)镺A=OB,所以O(shè)P是線段AB的垂直平分線,即有OP⊥AB.因?yàn)锳C∥OP,所以AC⊥AB.所以∠BAC=90°.所以BC是☉O的直徑.點(diǎn)撥:由該例我們不難得到如下結(jié)論:過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,圓心與這一點(diǎn)的連線垂直平分兩切點(diǎn)間的線段.這樣,結(jié)合等腰三角形的性質(zhì),便于問(wèn)題的快速解決.123451.下列說(shuō)法正確的是(

)A.內(nèi)心一定在三角形內(nèi)部,外心一定在三角形外部B.任何三角形只有一個(gè)內(nèi)切圓,任何圓只有一個(gè)外切三角形C.到三角形三邊所在的直線距離相等的點(diǎn)只有一個(gè)D.若PA,PB分別與☉O相切于A,B兩點(diǎn),則PA=PBD6123452.如圖,直線AB與☉O相切于點(diǎn)A,AC,CD是☉O的兩條弦,且CD∥AB,若☉O的半徑為5,CD=8,則弦AC的長(zhǎng)為(

)D612345解析

∵直線AB與☉O相切于點(diǎn)A,∴OA⊥AB.∵CD∥AB,∴AO⊥CD,記垂足為點(diǎn)E.∵CD=8,6123453.如圖,在△A