第二十四章

圓24.1圓的有關(guān)性質(zhì)24.1.4圓周角問題1:

什么叫圓心角？指出圖中的圓心角？

頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角,

∠BOC.問題2:如圖，∠BAC的頂點(diǎn)和邊有哪些特點(diǎn)?A

∠BAC的頂點(diǎn)在☉O上，角的兩邊分別交☉O于B、C兩點(diǎn).

理解圓周角的概念，會(huì)敘述并證明圓周角定理.2.掌握?qǐng)A周角與圓心角的關(guān)系并能運(yùn)用圓周角定理解決簡單的幾何問題.3.理解掌握?qǐng)A周角定理的推論及其證明過程.4.掌握?qǐng)A內(nèi)接多邊形的概念及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)并能運(yùn)用其性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.（兩個(gè)條件必須同時(shí)具備，缺一不可）圓周角的定義知識(shí)點(diǎn)1·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA練一練：下列各圖中的∠BAC是否為圓周角并簡述理由.（2）（1）（3）（5）（6）頂點(diǎn)不在圓上頂點(diǎn)不在圓上邊AC沒有和圓相交√√√（4）如圖，連接BO、CO，得圓心角∠BOC.試猜想∠BAC與∠BOC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系.圓周角定理及其推論知識(shí)點(diǎn)2測(cè)量與猜想圓心O在∠BAC的內(nèi)部圓心O在∠BAC的一邊上圓心O在∠BAC的外部推導(dǎo)與論證圓心O在∠BAC的一邊上（特殊情形）OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A+∠C證明：OABCD圓心O在∠BAC的內(nèi)部證明：連接AO并延長交⊙O于D.BCOAD圓心O在∠BAC的外部證明：連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)D.圓周角定理

一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；問題1如圖，OB，OC都是⊙O的半徑，點(diǎn)A,D是上任意兩點(diǎn)，連接AB，AC，BD，CD.∠BAC與∠BDC相等嗎？請(qǐng)說明理由.D∴∠BAC=∠BDC.答：相等.證明：在⊙O中，∵互動(dòng)探究DABOCEF問題2如圖，若∠A與∠B相等嗎？答：相等.想一想：(1)反過來，若∠A=∠B，那么成立嗎？(2)若CD是直徑，你能求出∠A的度數(shù)嗎？證明：連接OC，OE，OD，OF，成立90°A1A2A3圓周角定理的推論同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.

試一試

如圖，點(diǎn)A、B、C、D在☉O上，點(diǎn)A與點(diǎn)D在點(diǎn)B、C所在直線的同側(cè)，∠BAC=35o.(1)∠BOC=

o，理由是

;(2)∠BDC=

o，理由是

.7035同弧所對(duì)的圓周角相等一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半如圖，線段AB是☉O的直徑，點(diǎn)C是☉O上的任意一點(diǎn)（除點(diǎn)A、B外），那么，∠ACB就是直徑AB所對(duì)的圓周角，想一想，∠ACB會(huì)是怎樣的角？·OACB解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.又∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.圓周角和直徑的關(guān)系半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.例1如圖，AB是☉O的直徑，∠A=80°.求∠ABC的大小.OCAB解：①∵AB是☉O的直徑，

∴∠ACB=90°∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB

=180°-90°-80°=10°.利用圓周角定理及推論求角的度數(shù)素養(yǎng)考點(diǎn)1如圖，AB是⊙O的直徑，∠A＝10°，則∠ABC＝______．80°例2如圖，分別求出圖中∠x的大小.60°x30°20°x解：(1)∵同弧所對(duì)圓周角相等，∴∠x=60°.ADBEC(2)連接BF，F(xiàn)∵同弧所對(duì)圓周角相等，∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.60°xABDC如圖,正方形ABCD的頂點(diǎn)都在☉O上,P是弧DC上的一點(diǎn),則∠BPC=_____.解析：連接BD,則BD是直徑,∴△BCD是等腰直角三角形,∴∠BDC=45°,∴∠BPC=∠BDC=45°.45°

例3如圖，⊙O的直徑AC為10cm，弦AD為6cm.（1）求DC的長；（2）若∠ADC的平分線交⊙O于B,求AB、BC的長．B解：(1)∵AC是直徑，∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，利用圓周角定理及推論進(jìn)行計(jì)算及證明線段相等素養(yǎng)考點(diǎn)

2在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，(2)∵AC是直徑,∴∠ABC=90°.

∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC.

∴∠BAC=∠ACB,

∴AB=BC.B解題妙招在圓周角問題中，若題干中出現(xiàn)“直徑”這個(gè)條件，則找直徑所對(duì)的圓周角，通過構(gòu)造直角三角形來解決.∴如圖，BD是⊙O的直徑，∠CBD＝30°，則∠A的度數(shù)為(

)A．30°B．45°C．60°D．75°C

如果一個(gè)多邊形所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓.圓內(nèi)接四邊形知識(shí)點(diǎn)3

如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O為四邊形ABCD的外接圓.

猜想：∠A與∠C,∠B與∠D之間的關(guān)系為：

∠A+∠C=180o，∠B+∠D=180o.想一想：如何證明你的猜想呢？探究性質(zhì)∵弧BCD和弧BAD所對(duì)的圓心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°，推論：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).證明：CODBA∵

弧BCD和弧BAD所對(duì)的圓心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°，E∵∠BCD＋∠DCE＝180°.∴∠A＝∠DCE.想一想：圖中∠A與∠DCE的大小有何關(guān)系？推論：圓的內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角.CODBAE例

如圖，AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求證：∠FGD＝∠ADC.證明：∵四邊形ACDG內(nèi)接于⊙O，

∴∠FGD＝∠ACD.

又∵AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，

∴AB垂直平分CD，

∴AC＝AD，

∴∠ADC＝∠ACD，

∴∠FGD＝∠ADC.圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的應(yīng)用素養(yǎng)考點(diǎn)如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(

)A．120°B．100°C．80°D．60°A1.如圖，⊙O中，弦BC與半徑OA相交于點(diǎn)D，連接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，則∠C的度數(shù)是（）A．25°

B．27.5° C．30°

D．35°D2.如圖，點(diǎn)B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，則∠BOD的度數(shù)是（

）A．50° B．60° C．80° D．100°解析：圓上取一點(diǎn)A，連接AB，AD，∵點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°.D1.判斷.（1）同一個(gè)圓中等弧所對(duì)的圓周角相等（）（2）相等的弦所對(duì)的圓周角也相等（）（3）同弦所對(duì)的圓周角相等（）√××基礎(chǔ)鞏固題2.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,則∠AOB=

．BACO166°3.如圖，已知BD是⊙O的直徑，⊙O的弦AC⊥BD于點(diǎn)E，若∠AOD=60°，則∠DBC的度數(shù)為（）A.30°B.40°C.50°D.60°AABCDO4.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,如∠BOD=130°則∠BCD的度數(shù)是（）

A.115°B.130°C.65°D.50°CAOBC∴∠ACB=2∠BAC.證明：如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC.求證：∠ACB=2∠BAC.∠AOB=2∠BOC，能力提升題∵船在航行過程中，船長通過測(cè)定角數(shù)來確定是否遇到暗礁，如圖，A、B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧AB上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn)，∠ACB就是“危險(xiǎn)角”，當(dāng)船位于安全區(qū)域時(shí)，∠α與“危險(xiǎn)角”有怎樣的大小關(guān)系？拓廣探索題解：當(dāng)船位于安全區(qū)域時(shí)，即船位于暗礁區(qū)域外（即⊙O外），與兩個(gè)燈塔的夾角∠α小于“危險(xiǎn)角”.即：在⊙O中，∠ACB=∠AEB∠AEB＞∠α∠ACB＞∠α.圓心角類比圓周角圓周角定義圓周角定理圓周角定理的推論在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于該弧所對(duì)的圓心角的一半；相等的圓周角所對(duì)的弧相等1.90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；2.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)1.頂點(diǎn)在圓上，2.兩邊都與圓相交的角（二者必須同時(shí)具備）圓周角與直徑的關(guān)系半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角1.頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓相交的角叫做

.

2.下列圖形中的角為圓周角的是(

)3.一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的

.

4.同弧或等弧所對(duì)的圓周角

.半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是

,90°的圓周角所對(duì)的弦是

.

圓周角

C一半

相等

直角

直角

5.如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,AD是☉O的直徑,∠ABC=30°,則∠CAD的度數(shù)為

.

6.如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,這個(gè)多邊形叫做

,這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的

.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角

.

60°圓內(nèi)接多邊形

外接圓

互補(bǔ)

7.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,若∠B=108°,則∠D的大小為(

)A.54° B.62°C.72° D.82°C圓周角的性質(zhì)【例】

如圖,AB是☉O的直徑,M是劣弧

的中點(diǎn),弦AC與BM相交于點(diǎn)D,∠ABC=2∠A.求證:AD=2DC.分析:由AB是☉O的直徑,可得△ABC是直角三角形,再由∠ABC=2∠A,可求△ABC各角的度數(shù),通過M是劣弧

的中點(diǎn)證明AD=BD,將其轉(zhuǎn)化在Rt△CBD中可得結(jié)論AD=2DC.證明:∵AB是☉O的直徑,∴∠C=90°.∴∠ABC+∠A=90°.∵∠ABC=2∠A,∴3∠A=90°.∴∠A=30°,∠ABC=60°.∴∠A=∠ABM.∴AD=BD.在Rt△CBD中,∵∠CBD=30°,∴BD=2DC,即AD=2DC.點(diǎn)撥:圓周角的性質(zhì)和弧、弦、圓心角的關(guān)系定理使不同量之間架起了橋梁,使其可以互相轉(zhuǎn)化,為證明角相等、線段相等、弧相等提供了方法.6712345答案答案關(guān)閉B1.如圖,點(diǎn)A,B,C在☉O上,∠ACB=35°,則∠AOB的度數(shù)是(

)A.75° B.70°C.65° D.35°6712345答案答案關(guān)閉C2.如圖,BD是☉O的直徑,A,C在圓上,∠A=50°,∠DBC的度數(shù)是(

)

A.50° B.45° C.40° D.35°67123453如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,AC平分∠BAD,則下列結(jié)論正確的是(

)A.AB=AD

B.BC=CDD.∠BCA=∠DCA答案答案關(guān)閉B67123454.如圖所示,四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接四邊形,∠BCD=120°,則∠BOD的大小是(

)A.80° B.120°C.100° D.90°答案解析解析關(guān)閉∵四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接四邊形,∴∠A=180°-∠BCD=60°.∴∠BOD=2∠A=120°.故選B.答案解析關(guān)閉B67123455.如圖,點(diǎn)A,B