第二十五章

概率初步25.2用列舉法求概率（第2課時）你能用列表法列舉所有可能出現(xiàn)的結(jié)果嗎？【思考】現(xiàn)有A、B、C三盤包子，已知A盤中有兩個酸菜包和一個糖包，B盤中有一個酸菜包和一個糖包和一個韭菜包，C盤中有一個酸菜包和一個糖包以及一個饅頭.老師就愛吃酸菜包.如果老師從每個盤中各選一個包子（饅頭除外），那么老師選的包子全部是酸菜包的概率是多少？ABC1.進一步理解等可能事件概率的意義。2.掌握樹狀圖法的定義，并能運用樹狀圖計算事件的概率。3.進一步學(xué)習(xí)分類思想方法，掌握有關(guān)數(shù)學(xué)技能。學(xué)習(xí)重點：掌握用畫樹狀圖法計算概率，并通過比較概率大小做出合理的決策.學(xué)習(xí)難點：能夠根據(jù)問題，判斷何時選用列表法和畫樹狀圖法求概率更方便.利用畫樹狀圖法求概率知識點問題1

拋擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面向上的概率是多少？

P(正面向上)=問題2

同時拋擲兩枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面向上的概率是多少？

可能出現(xiàn)的結(jié)果有：(反，反）P(正面向上)=(正，正）(正，反）(反，正）還有別的方法求問題2的概率嗎？

同時拋擲兩枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面向上的概率是多少？

開始第2枚第1枚正反正反正反結(jié)果(反，反）(正，正）(正，反）(反，正）P(正面向上)=.列樹狀圖求概率樹狀圖的畫法一個試驗第一個因素第二個因素

如一個試驗中涉及2個因素,第一個因素中有2種可能情況;第二個因素中有3種可能的情況.AB123123則其樹形圖如下圖：n=2×3=6樹狀圖法：按事件發(fā)生的次序，列出事件可能出現(xiàn)的結(jié)果.問題

嘗試用樹狀圖法列出小明和小華所玩游戲中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并求出事件A、B、C的概率.A：“小明勝”B：“小華勝”C

:“平局”活動：石頭、剪刀、布同學(xué)們：你們玩過“石頭、剪刀、布”的游戲嗎，小明和小華正在興致勃勃的玩這個游戲，你想一想，這個游戲能用概率分析解答嗎？解:小明小華結(jié)果開始一次游戲共有9個可能結(jié)果，而且它們出現(xiàn)的可能性相等.石頭剪刀布石頭剪刀布石頭剪刀布石頭剪刀布石頭、石頭石頭、剪刀石頭、布剪刀、石頭剪刀、剪刀剪刀、布布、石頭布、剪刀布、布所以，P(A)=;事件C發(fā)生的所有可能結(jié)果：（石頭，石頭）（剪刀，剪刀）（布，布）.事件A發(fā)生的所有可能結(jié)果：（石頭，剪刀）（剪刀，布）（布，石頭）；事件B發(fā)生的所有可能結(jié)果：（剪刀，石頭）（布，剪刀）（石頭，布）；

P(B)=;

P(C)=.

歸納總結(jié)畫樹狀圖求概率的定義

用樹狀圖的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方法、以及某一事件發(fā)生的可能性次數(shù)和方式，并求出概率的方法.適用條件：當(dāng)一次試驗涉及兩個及其以上（通常3個）因素時，采用樹狀圖法.

歸納總結(jié)畫樹狀圖求概率的基本步驟（1）將第一步可能出現(xiàn)的A種等可能結(jié)果寫在第一層；（2）若第二步有B種等可能的結(jié)果，則在第一層每個結(jié)果下面畫B個分支，將這B種結(jié)果寫在第二層，以此類推；（3）根據(jù)樹狀圖求出所有的等可能結(jié)果數(shù)及所求事件包含的結(jié)果數(shù)，利用概率公式求解.例1

某班有1名男生、2名女生在校文藝演出中獲演唱獎，另有2名男生、2名女生獲演奏獎.從獲演唱獎和演奏獎的學(xué)生中各任選一人去領(lǐng)獎，求兩人都是女生的概率.解：設(shè)兩名領(lǐng)獎學(xué)生都是女生的事件為A,兩種獎項各任選1人的結(jié)果用“樹狀圖”來表示.利用畫樹狀圖求概率素養(yǎng)考點開始獲演唱獎的獲演奏獎的男女''女'女1男2男1女2女1男2男1女1男2男1女2女2

共有12種結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，其中2名都是女生的結(jié)果有4種，所以事件A發(fā)生的概率為P(A)=.方法點撥

計算等可能情形下概念的關(guān)鍵是確定所有可能性相等的結(jié)果總數(shù)n和求出事件A發(fā)生的結(jié)果總數(shù)m,“樹狀圖”能幫助我們有序的思考，不重復(fù)、不遺漏地得出n和m.經(jīng)過某十字路口的汽車,可能直行,也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn).如果這三種可能性大小相同，求三輛汽車經(jīng)過這個十字路口時，下列事件的概率（1）三輛車全部繼續(xù)直行；（2）兩車向右，一車向左；（3）至少兩車向左.第一輛左右左右左直右第二輛第三輛直直左右直左右直左直右左直右左直右左直右左直右左直右左直右左直右共有27種行駛方向（1）P（全部繼續(xù)直行）=；

（2）P（兩車向右，一車向左）=；（3）P（至少兩車向左）=.

例2

甲、乙、丙三人做傳球的游戲，開始時，球在甲手中，每次傳球，持球的人將球任意傳給其余兩人中的一人，如此傳球三次.(1)寫出三次傳球的所有可能結(jié)果(即傳球的方式);(2)指定事件A：“傳球三次后，球又回到甲的手中”，寫出A發(fā)生的所有可能結(jié)果;(3)P(A).第一次傳球第二次傳球第三次傳球甲乙丙甲丙甲乙乙丙甲乙乙丙甲乙“傳球三次后，球又回到甲的手中”的結(jié)果有甲-乙-丙-甲、甲-丙-乙-甲2種.當(dāng)試驗包含兩步時，列表法比較方便；當(dāng)然，此時也可以用樹狀圖法；當(dāng)事件要經(jīng)過多個(三個或三個以上)步驟完成時，應(yīng)選用樹狀圖法求事件的概率.方法點撥現(xiàn)在學(xué)校決定由甲同學(xué)代表學(xué)校參加全縣的詩歌朗誦比賽，甲同學(xué)有3件上衣，分別為紅色(R)、黃色(Y)、藍色(B)，有2條褲子，分別為藍色(B)和棕色(b).甲同學(xué)想要穿藍色上衣和藍色褲子參加比賽，你知道甲同學(xué)任意拿出1件上衣和1條褲子，恰好是藍色上衣和藍色褲子的概率是多少嗎？上衣：褲子：開始上衣褲子所有可能出現(xiàn)的結(jié)果解:用“樹狀圖”列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果:

每種結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的．“取出1件藍色上衣和1條藍色褲子”記為事件A，那么事件A發(fā)生的概率是

P（A）＝.所以，甲同學(xué)恰好穿上藍色上衣和藍色褲子的概率是.1.甲袋中裝有2個相同的小球，分別寫有數(shù)字1和2：乙袋中裝有2個相同的小球，分別寫有數(shù)字1和2．從兩個口袋中各隨機取出1個小球，取出的兩個小球上都寫有數(shù)字2的概率是（

）A． B．C． D．解析：如圖所示，一共有4種可能，取出的兩個小球上都寫有數(shù)字2的有1種情況，故取出的兩個小球上都寫有數(shù)字2的概率是：．C

2.在一個不透明的袋子里裝有兩個黃球和一個白球，它們除顏色外都相同，隨機從中摸出一個球，記下顏色后放回袋子中，充分搖勻后，再隨機摸出一個球．兩次都摸到黃球的概率是（）

A． B．

C．

D．解析：畫樹狀圖如右：由樹狀圖可知，共有9種等可能結(jié)果，其中兩次都摸到黃球的有4種結(jié)果，所以兩次都摸到黃球的概率為

.A

1.

a、b、c、d四本不同的書放入一個書包，至少放一本，最多放2本，共有

種不同的放法.10基礎(chǔ)鞏固題2.三女一男四人同行，從中任意選出兩人，其性別不同的概率為（）CA.B.C.D.3.在一個不透明的布袋中裝有2個白球和n個黃球，它們除顏色外，其余均相同，若從中隨機摸出一個球，摸到黃球的概率為，則n=

.8在一個不透明的盒子里，裝有三個分別寫有數(shù)字6，-2，7的小球，它們的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同.先從盒子里隨機取出一個小球，記下數(shù)字后放回盒子里，搖勻后再隨機取出一個小球，記下數(shù)字.請你用列表或畫樹狀圖的方法求下列事件的概率.（1）兩次取出的小球上的數(shù)字相同；（2）兩次取出的小球上的數(shù)字之和大于10.6-27能力提升題(1)兩次取出的小球上的數(shù)字相同的可能性只有3種，所以P(數(shù)字相同)=.(2)兩次取出的小球上的數(shù)字之和大于10的可能性只有4種，所以P(數(shù)字之和大于10)=.解：根據(jù)題意，畫出樹狀圖如下：第一個數(shù)字第二個數(shù)字66-27-26-2776-27甲、乙、丙三個盒中分別裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的小球若干，甲盒中裝有2個小球，分別寫有字母A和B；乙盒中裝有3個小球，分別寫有字母C、D和E；丙盒中裝有2個小球，分別寫有字母H和I；現(xiàn)要從3個盒中各隨機取出1個小球．IHDECAB拓廣探索題（1）取出的3個小球中恰好有1個，2個，3個寫有元音字母的概率各是多少？甲乙丙ACDEHIHIHIBCDEHIHIHIBCHACHACIADHADIAEHAEIBCIBDHBDIBEHBEI解：由樹狀圖得，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有12個，它們出現(xiàn)的可能性相等.

滿足只有一個元音字母的結(jié)果有5個，則

P（一個元音）=.滿足三個全部為元音字母的結(jié)果有1個，則

P（三個元音）=.

滿足只有兩個元音字母的結(jié)果有4個，則P（兩個元音）=.（2）取出的3個小球上全是輔音字母的概率是多少？甲乙丙ACDEHIHIHIBCDEHIHIHIBCHACHACIADHADIAEHAEIBCIBDHBDIBEHBEI解：滿足全是輔音字母的結(jié)果有2個，則P（三個輔音）=.畫樹狀圖法求概率步驟定義用樹狀圖的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方法、以及某一事件發(fā)生的可能性次數(shù)和方式，并求出概率的方法適用條件：當(dāng)一次試驗涉及兩個及其以上（通常3個）因素時，采用樹狀圖法注意③利用概率公式進行計算①關(guān)鍵要弄清楚每一步有幾種結(jié)果；②在樹狀圖下面對應(yīng)寫著所有可能的結(jié)果；在摸球試驗一定要弄清“放回”還是“不放回”（易錯點）1.當(dāng)一次試驗要涉及2個或更多的因素時,為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果,通常采用

法.

2.小亮、小瑩、大剛?cè)瑢W(xué)隨機地站成一排合影留念,小亮恰好站在中間的概率是(

)畫樹狀圖

B利用樹狀圖法計算概率【例】

小紅的衣柜里有2件上衣,1件是長袖,1件是短袖;3條裙子,分別是黃色、紅色、藍色.她任意拿出1件上衣和1條裙子,正好是短袖上衣和紅色裙子的概率是多大?分析:所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有6種,且每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同,所以可以采用畫樹狀圖或列表法求解.解:畫出樹狀圖,如圖.由上圖可知,共有6種等可能結(jié)果,其中正好是短袖上衣和紅色裙子的