1.1集合的含義與表示培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練一、單選題1.下列選項能組成集合的是()A．著名的運動健兒 B．英文26個字母C．非常接近0的數(shù) D．勇敢的人答案B解析著名的運動健兒，元素不確定，不能組成集合；英文26個字母，滿足集合元素的特征，所以能組成集合；非常接近0的數(shù)，元素不確定，不能組成集合；勇敢的人，元素不確定，不能組成集合；故選B．2.若集合中三個元素為邊可構(gòu)成一個三角形，則該三角形一定不可能是()A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形答案D3.下列所給關(guān)系正確的個數(shù)是()①π∈R；②3?Q；③0∈N?；④A．1B．2C．3D．4答案B解析①②對，故選B.4.若1∈{x+2,x2}A．?1 B．1 C．1或?1 D．1或3答案B解析由1∈{x+2,x2}，可得x2=1，則x=±1當(dāng)x=?1時，?1+2=1，不滿足元素的互異性，∴x=1．故選：B．5.對集合{1,5,9,13,17}用描述法來表示，其中正確的一個是()A．{x|x是小于18的正奇數(shù)}B．{x|x=4k+1,k∈Z,且k<5}C．{x|x=4t?3,t∈N,且t≤5}D．{x|x=4s?3,s∈N?,且s≤5}答案D解析A中小于18的正奇數(shù)除給定集合中的元素外，還有3,7,11,15；B中k取負(fù)數(shù)，多了若干元素；C中t=0時多了?3這個元素，只有D是正確的．二、多選題6.已知集合A=y∣y=x2+1，集合B=(x,y)∣y=A．(1,2)∈B B．A=B C．0?A D．(0,0)?B答案ACD解析∵集合A={y∣y?1}，∴C正確，∵集合B是由拋物線y=x2+1上的點組成的集合，∴A正確，B錯誤，D三、填空題7.已知集合A含有兩個元素a?3和2a?1，若?3∈A，則實數(shù)a=．答案0或解析∵?3∈A，∴?3=a?3或?3=2a?1.若?3=a?3，則a=0，此時集合A含有兩個元素?3，?1，符合題意．若?3=2a－1，則a=?1，此時集合A含有兩個元素?4，?3，符合題意．綜上所述，滿足題意的實數(shù)a的值為0或?1.8.將集合{(x,y)|2x+3y=16,x,y∈N}用列舉法表示為答案{(2,4),(5,2),(8,0)}解析∵3y=16?2x=2(8?x)，且x∈N，y∈N，∴y為偶數(shù)且y≤5，∴當(dāng)x=2時，y=4，當(dāng)x=5時y=2，當(dāng)x=8時，y=0．故答案為：{(2,4),(5,2),(8,0)}．9.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限的點組成的集合為_______________.答案：{(x,y)∣x<0,y>0}.四、解答題10.集合A是由方程ax(1)若集合A是空集，求a的取值范圍；(2)若集合A中只有一個元素，求a的值．答案(1)a>1(2)a=0或a=1解析(1)集合A是空集，即方程ax∴△=(?2)2?4a<0∴a的取值范圍是(1,+∞(2)集合A中只有一個元素，即方程ax當(dāng)a=0時，方程為一元一次方程?2x+1=0，只有一個實數(shù)解，當(dāng)a≠0時，則一元二次方程ax∴Δ=(?2)2綜上所述a=0或a=1．11.已知關(guān)于x的不等式(ax+1)(x?2a)<0的解集為M．(1)a=?1時，求集合M；(2)若1∈M,2?M，求實數(shù)a的取值范圍．答案(1)M={x∣x<?2或x>1}(2)解析(1)將a=?1代入得：(?x+1)(x+2)<0，解得：x<?2或x>1．∴M={x∣x<?2或(2)∵1∈M,2?M．∴&(a+1)(1?2a)<0∴112.用|X|表示有限集X的元素個數(shù)，對由正整數(shù)組成的集合A,B，定義A+B={x∣x=a+b,a∈A,b∈B}．(1)設(shè)集合A={1,2,3,4,5,6,7,8}，B=&4,&&8,16,&&32，求|A+B|(2)若|A|=8，|B|=4，求|A+B|的最小值；答案(1)28(2)11解析(1)∵集合A={1,2,3,4,5,6,7,8}，B=4,8,16,32∴A+B={5,6,7,8,9,10,11,12、13、14、15、16、17,18,19、20、21、22、23、24、33,34、35、36、37,38、39、40}共28個元素，∴|A+B|=28；(2)∵|A|=8,|B|=4，即A中有8個元素，B中有4個元素，當(dāng)計算A+B={x∣x=a+b,a∈A,b∈B}的元素個數(shù)時，若能使得重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)最多，則|A+B|最小值不妨令A(yù)={1、2、3、4、5、6、7、8}，B={1,2、3、4}，此種情況可A中的每個元素與B中的依次四個元素相加時B中的元素每增大1，A+B只多增加一個元素．此時A+B={2、3、4、5、6、7,8、9、10、11、12}共11個元素，故|A+B|的最小值是8+1+1+1=11．培優(yōu)第二階——拓展培優(yōu)練一、單選題1.若以正實數(shù)x,y,z,w四個元素構(gòu)成集合A，以A中四個元素為邊長構(gòu)成的四邊形可能是()A．梯形B．平行四邊形C．菱形D．矩形答案A解析根據(jù)集合元素的互異性，x,y,z,w均不相等.2.集合P={x|x=2k,k∈Z}，M={x|x=2k+1,k∈Z}，S={x|x=4k+1,k∈Z}，a∈P，b∈M，設(shè)c=a+b，則有()A．c∈PB．c∈MC．c∈SD．以上都不對答案B解析∵a∈P，b∈M，c=a+b，設(shè)a=2k1，k1∈Z，∴c=2k1+2k23.已知x,y,z為非零實數(shù)，代數(shù)式x|x|+y|y|+z|z|A．4∈M B．2∈M C．0?M D．?4?M答案A解析根據(jù)題意，分4種情況討論；①、x、y、z全部為負(fù)數(shù)時，則xyz也為負(fù)數(shù)，則x|x|②、x、y、z中有一個為負(fù)數(shù)時，則xyz為負(fù)數(shù)，則x|x|③、x、y、z中有兩個為負(fù)數(shù)時，則xyz為正數(shù)，則x|x|④、x、y、z全部為正數(shù)時，則xyz也正數(shù)，則x|x|則M={4,?4,0}；分析選項可得A符合．4.點的集合M={(x,y)|xy≥0}是指()A．第一象限內(nèi)的點集B．第三象限內(nèi)的點集C．第一、第三象限內(nèi)的點集D．不在第二、第四象限內(nèi)的點集答案D解析xy≥0指x和y同號或至少一個為零，故為第一或第三象限內(nèi)的點或坐標(biāo)軸上的點．故選D5.已知集合A=t2+s2∣t,s∈Z，且A．x+y∈A B．x?y∈A C．xy∈A D答案C解析∵集合A=t2+s2又∵1?2=?1?A，故B:“x?y∈A”錯誤；又(為什么xy∈A？令x=txy=t二、多選題6.設(shè)a,b,c為實數(shù)y1=(x+a)x2+bx+c，y2=(ax+1)cx2+bx+1，記集合S=x∣yA．Card?(S)=1,Card?(T)=0 BC．Card?(S)=2,Card?(T)=2 答案ACD解析∵f(x)=(x+a)x2+bx+cg(x)=(ax+1)cx2∴當(dāng)a=0，b2?4c<0時，Card?(S)=1，Card當(dāng)a=0時，card?(T)=3當(dāng)a≠0時，當(dāng)card?(T)=3時，b2?4c>0，故card?(S)=3，與當(dāng)a=0，b2?4c=0，Card?(S)=2當(dāng)a≠0，b2?4c=0，Card?(S)=2，Card當(dāng)a≠0，b2?4c<0時，Card?(S)=1，Card?(T)=1；故D可能故選：ACD．三、填空題7.已知集合A={a,b}，a，b∈R，若a+b∈A，則ab=．答案0解析∵集合A={a,b}，a,b∈R，a+b∈A，∴a+b=a或a+b=b，∴b=0，a≠0或a=0，b≠0，∴ab=0．8.已知非空集合M滿足：若x∈M，則11?x∈M，則當(dāng)4∈M時，集合M的所有元素之積等于答案?1解析依題意，得當(dāng)4∈M時，有11?4=?13∈M于是集合M的元素只有4，?13，349.設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于k∈A，如果k?1?A且k+1?A，那么稱k是A的一個“孤立元”，給定S={1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有個.答案6解析什么是“孤立元”？依題意可知，必須是沒有與k相鄰的元素，因而無“孤立元”是指在集合中有與k相鄰的元素.因此符合題意的集合是：1,2,3，2,3,4，3,4,5，四、解答題10.已知集合A=x∣a(1)若A是單元素集合，求集合A；(2)若A中至少有一個元素，求a的取值范圍．答案(1)當(dāng)a＝0時，A=23，當(dāng)a≠0時，A=43解析(1)當(dāng)a=0時，A=2當(dāng)a≠0時，方程ax則Δ=0，即9?8a=0，解得a=98，此時綜上所述，當(dāng)a＝0時，A=23，當(dāng)a≠0時，(2)由(1)知，當(dāng)a=0時，A=2當(dāng)a≠0時，方程ax則Δ≥0，即9?8a≥0，解得a≤9綜上所述，若A中至少有一個元素，則a≤911.設(shè)A是實數(shù)集的非空子集，稱集合B={x∣x=u+v,其中u,v∈A，且u≠v}為集合A的生成集．(1)當(dāng)A={2,3,5}時，寫出集合A的生成集B；(2)若A是由5個正實數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個數(shù)的最小值；(3)判斷是否存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集B={20,30,50,60,100,160}，并說明理由．答案(1)B={5,7,8}(2)7(3)不存在解析(1)∵A={2,3,5}，∴B={5,7,8}，(2)設(shè)A=&不妨設(shè)0<a因為a1所以B中元素個數(shù)大于等于7個，所以生成集B中元素個數(shù)的最小值為7．(3)不存在，理由如下：假設(shè)存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合A={a,b,c,d}，使其生成集B={20,30,50,60,100,160}，不妨設(shè)0<a<b<c<d，則集合A的生成集B={a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d}，則必有a+b=20，c+d=160，其4個正實數(shù)的和a+b+c+d=180，也有a+c=30，b+d=100，其4個正實數(shù)的和a+b+c+d=130，相互矛盾，所以假設(shè)不成立，故不存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集B={20,30,50,60,100,160}．12.已知集合M是非空數(shù)集，且滿足三個條件：①?x∈M,?y∈M，恒有x?y∈M；②?x∈M(x≠0)，恒有1x∈M(1)求證：?x∈M,?y∈M，恒有x+y∈M(2)求證：當(dāng)x≠0且x≠?1時，若x∈M，則必有(3)求證：?x∈M,?y∈M，恒有xy∈M解析(1)證明：因為?x∈M，?y∈M恒有x?y∈M，所以令x=若x、y∈M，令x=0,則0?y∈M,即?y∈M．所以x?(?y)∈M，即x+y∈M①?x∈M,?y∈M，恒有x?y∈M是成立的．(2)證明：當(dāng)x≠0且x≠?1時，若x∈M，則恒有1x∵?x∈M,?y∈M，恒有x?y∈M,x+y∈M,令y=1，對?x∈若x+1∈M，則1x+1∈M．則即當(dāng)x≠0且x≠?1時，若x∈M，則必有1x(x+1)(3)證明，由(2)知，當(dāng)x≠0,x≠?1時，若x∈M，則1x(x+1)又∵?x∈M，有1x∈M．又∵?x∈M,?y∈M,有x?y∈M，所以x(x+1)?x=x2∈M即又x∈M時，1x∈M，所以1x+知x+y2∈M,x所以對?x∈M,?y∈M，恒有xy∈M培優(yōu)第三階——高考沙場點兵1.若集合A={?1,1}，B={0,2}，則集合{z∣z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的個數(shù)為()A．5 B．4 C．3 D．2答案C解析由題意，∵集合A={?1,1}，B={0,2}，?1+0=?1，1+0=1，?1+2=1，1+2=3∴{z∣z=x+y,x∈A,y∈B}={?1,1,3}，∴集合{z∣z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的個數(shù)為3，故選：C．2,設(shè)P,Q為兩個非空實數(shù)集，定義集合P+Q={a+b∣a∈P,b∈Q}．若P=&0,&&2,5，Q={1,2,6}，則P+Q中元素的個數(shù)是()A．6 B．7 C．8 D．9答案C解析∵P=&0,&&2,5，Q={1,2,6}∴當(dāng)a=0時，b∈Q，P+Q={1,2,6}；當(dāng)a=2時，b∈Q，P+Q={3,4,8}；當(dāng)a=5時，b∈Q，P+Q={6,7,11}∴P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11}，故選：C．3.(2022?安徽模擬)已知集合A=x∣x2≤4，集合B=x∣x∈N?A．{0,1} B．{0,1,2} C．{1,2,3} D．{1,2,3,4}答案0解析∵A=[?2,2]，又B=x∣x∈N?且x?1∈A，∴x?1∈[?2,2]∴x=1,2,3，∴B={1,2,3}，故選：C．4.已知集合M=x∣kx>?1，且?3∈M，則答案k<3解析因為kx>?1?k+xx>0?x(x+k)>0∴k的取值范圍是：(?∞5.已知集合A=α∣α=&x1,?x2,&&x3,x4,x(1)若α=(2,0,2,1)，β=(2,0,2)，求T4(α)和(2)若α=x1,x2,x3(3)是否存在正整數(shù)n使得對任意α=x1,x2答案(1)T4α=&0,0,0,0，(3)n解析(1)由題意T(α)=(2,2,1,1)，T2(α)=(0,1,0,1)，T3T