第二十三章\o"第23章解直角三角形"解直角三角形重難點(diǎn)檢測卷（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，共23題）注意事項(xiàng)：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上；2.回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效；3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效；4.測試范圍：\o"第23章解直角三角形"解直角三角形；5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）選擇題（10小題，每小題4分，共40分）1．（24-25九年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）在中，，所對(duì)的邊分別為a、b、c，下列等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．在直角三角形中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)的正確性．【詳解】在中，，則：，，，．選項(xiàng)A：由，得，而非，故選項(xiàng)A不成立．選項(xiàng)B：由，兩邊乘以得，此式恒成立，故選項(xiàng)B正確．選項(xiàng)C：由，得，而非．若代入，則，化簡得，僅當(dāng)時(shí)成立，故選項(xiàng)C不一定成立．選項(xiàng)D：由，得，而非．若代入，則，化簡得，同樣僅當(dāng)時(shí)成立，故選項(xiàng)D不一定成立．綜上，只有選項(xiàng)B一定成立．故選：B2．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，放風(fēng)箏的人與風(fēng)箏的水平距離是90米，若拉緊的風(fēng)箏線與水平線的夾角，則放出的線的長度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)余弦的定義計(jì)算，得到答案．【詳解】解：在中，米，，∵，∴（米），故選：A．3．（23-24九年級(jí)上·北京·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題利用了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義求解，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)勾股定理求出的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答．【詳解】解：在中，，，，，，則的值為．故選：A．4．（24-25九年級(jí)上·上海普陀·階段練習(xí)）在中，，，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查直角三角形中余切值的計(jì)算，需根據(jù)余切的定義確定鄰邊與對(duì)邊的比值即可．【詳解】解：在中，，，，∴，故選C．5．（24-25九年級(jí)上·上海寶山·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，射線與x軸正半軸的夾角為，那么下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形，靈活應(yīng)用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義是解決此類問題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)定義逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可．【詳解】解：如下圖，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，∴，，∴在中，，∴，選項(xiàng)A正確，符合題意；，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意．故選：A．6．（23-24九年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形和勾股定理．利用銳角三角函數(shù)求出的長度，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，在中，，由勾股定理得，，故選：A．7．（2025·上海楊浦·模擬預(yù)測）一座無人機(jī)在飛過上海環(huán)球金融中心時(shí)（高約米），與建筑底部的控制人員的俯角為，則無人機(jī)到控制人員的距離為（

）米A． B． C．1260 D．315【答案】A【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意畫出圖形，可得米，，，解，即可求解．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意可得米，，∴∴米故選：A．8．（2025·廣東深圳·二模）航天員也能“點(diǎn)外賣”：北京時(shí)間2024年11月15日23時(shí)13分，搭載天舟八號(hào)貨運(yùn)飛船的長征七號(hào)遙九運(yùn)載火箭，在我國文昌航天發(fā)射場點(diǎn)火發(fā)射，約10分鐘后，天舟八號(hào)貨運(yùn)飛船與火箭成功分離并進(jìn)入預(yù)定軌道，之后飛船太陽能帆板順利展開，發(fā)射取得圓滿成功，當(dāng)天火箭從地面到達(dá)點(diǎn)A處時(shí)，在P處測得A點(diǎn)的仰角為，A與P兩點(diǎn)的距離為10千米；它沿鉛垂線上升到達(dá)B處時(shí)，此時(shí)在P處測得B點(diǎn)的仰角為，則天舟二號(hào)從A處到B處的距離的長為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．千米 B．千米 C．千米 D．千米【答案】D【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，含30度角的直角三角形，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得千米，千米，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：由題意得：，在中，，千米，（千米），（千米），在中，，（千米），（千米），天舟二號(hào)從A處到B處的距離的長約為千米，故選：D．9．（2025·寧夏·中考真題）老師帶領(lǐng)數(shù)學(xué)小組僅用測角儀和皮尺測量某橋外側(cè)拱頂離水面的高度．如圖，拱頂離水面的高度為，點(diǎn)，是水平地面上兩點(diǎn)，且與點(diǎn)，均在同一豎直平面內(nèi)．已知水平地面離水面的高度為2米，測角儀支架高度為1.5米，為達(dá)成目的，還需測量的數(shù)據(jù)是（

）A．的長，的度數(shù)B．的長，的度數(shù)C．的長，的度數(shù)D．的長，的度數(shù)【答案】D【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．設(shè)，．，．，．則．，若已知的長，設(shè)，則，代入可解得，進(jìn)而求得，最終得到．【詳解】解：由題意可得，測角儀水平視線到水面的高度為米，即3.5米，因此，要求只需先求．設(shè)，．在中，，則．在中，，則．所以．又因?yàn)槭堑孛嫔蟽牲c(diǎn)的距離，且與測角儀測量點(diǎn)在同一水平線上，測角儀支架高度相同，所以，若已知的長，設(shè)，則，代入可解得，進(jìn)而求得，最終得到．綜上，需要測量、，這樣就能通過解方程組求出，從而得到．選項(xiàng)中的長和的度數(shù)，無法直接求EH，也無法建立兩個(gè)方程求解：選項(xiàng)缺少，無法聯(lián)立方程組：選項(xiàng)中的長已知?jiǎng)t無需，但實(shí)際測量中無法直接得到；選項(xiàng)中的長、的度數(shù)，符合上述分析，通過兩個(gè)仰角和兩點(diǎn)距離可求解，進(jìn)而得到．故選：D10．（2025·上海·模擬預(yù)測）在銳角中，邊上的高的長為h，設(shè)，則下列數(shù)據(jù)中，錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查解直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合線段的和差關(guān)系，三角形的面積公式，進(jìn)行求解，判斷即可．【詳解】解：如圖，在中，，；在中，，；∴，，∴；故選項(xiàng)A，C，D正確；無法得到；故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；故選B．第II卷（非選擇題）填空題（4小題，每小題5分，共20分）11．（25-26九年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）在中，，，，那么長為．【答案】/【分析】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理，熟練掌握正切函數(shù)的定義和勾股定理是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)正切函數(shù)的定義求出的長度，再利用勾股定理求出的長度．【詳解】解：∵在中，，，，∴，解得，∵∴故答案為：．12．（24-25九年級(jí)上·江蘇南通·期末）如圖所示的是一段索道的示意圖．已知A、B兩點(diǎn)間的距離為600米，，則纜車從A點(diǎn)到B點(diǎn)上升的高度（即的長）為．【答案】米【分析】此題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用、解直角三角形等知識(shí)與方法，解題的關(guān)鍵是正確掌握銳角三角函數(shù)的定義，選擇適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)模型．在中，，斜邊是已知邊，是已知角，而要求的是的對(duì)邊的長，所以選擇的正弦，即可求出結(jié)果．【詳解】解：如圖，在中，，（米），（米）．故答案為：米．13．（23-24九年級(jí)上·上?！ぷ灾髡猩┤鐖D，已知點(diǎn)與某建筑物底端相距米（點(diǎn)與點(diǎn)在同一水平面上），某同學(xué)從點(diǎn)出發(fā)，沿同一剖面的斜坡行走米至坡頂處，斜坡的坡度（或坡比），在處測得該建筑物頂端的俯視角為，則建筑物的高度約為（精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，需要用到坡度坡角、三角函數(shù)、矩形的性質(zhì)相關(guān)知識(shí)，解題可先根據(jù)斜坡的坡度求出斜坡的垂直高度和水平距離，再結(jié)合三角函數(shù)求出相關(guān)線段長度，進(jìn)而求出建筑物的高度．【詳解】作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，作，如圖，設(shè)，，由勾股定理，得，解得：，不合題意，舍去，∴，，∴．∵，∴，∵，，，∴，∴．故答案為：．14．（2023·上海普陀·二模）如圖，正方形ABCD中，AB=4，E為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AE上，過點(diǎn)F作MN⊥AE，分別交邊AB、DC于點(diǎn)M、N，聯(lián)結(jié)FC，如果△FNC是以CN為底邊的等腰三角形，那么FC=．=【答案】【分析】延長AE，DC交于點(diǎn)A′，過點(diǎn)F作FH⊥CD于H，易證△ABE≌△A′CE，得出AB=A′C=4；利用勾股定理求出AE的長，進(jìn)而得出sin∠A′．利用互余角的三角函數(shù)的關(guān)系，得出cos∠2，在Rt△FHN和Rt△A′FN中利用cos∠2的值列出方程，即可求得結(jié)論．【詳解】解：延長AE，DC交于點(diǎn)A′，過點(diǎn)F作FH⊥CD于H，∵ABCD是正方形，∴AB=BC=4，AB∥CD，∴∠1=∠A′．在△ABE和△A′CE中，．∴△ABE≌△A′CE（AAS）．∴AB=A′C=4．∵E為邊BC的中點(diǎn)，∴BE=EC=BC=2．∴AE=．∴sin∠1=．∴sin∠A′=．∵AE⊥MN，∴∠A′FN=90°．∴∠A′+∠2=90°．∴cos∠2=sin∠A′=．∵FN=FC，F(xiàn)H⊥CN，∴NH=CH=CN．設(shè)NH=x，則NC=2x．∴A′N=A′C+NC=4+2x．在Rt△FHN中，，∴FN=x．在Rt△A′FN中，cos∠2=，∴．∴x=．∴FC=FN=x=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，利用已知條件通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題（9小題，共90分）15．（22-23九年級(jí)上·山東淄博·期中）如圖，在中，已知，，，解這個(gè)直角三角形．【答案】，，【分析】根據(jù)勾股定理求出b，并求出，再由特殊角的三角函數(shù)值即可求解三角形.【詳解】解：在中，∵，，，∴∵∴∴【點(diǎn)睛】本題側(cè)重考查了解直角三角形，掌握三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．16．（2024·上?！つM預(yù)測）計(jì)算：（1）sin260°-tan30°?cos30°+tan45°；（2）．【答案】（1）（2）-【分析】根據(jù)特殊的銳角三角函數(shù)值以及基本的四則運(yùn)算法則可直接求解最后結(jié)果．【詳解】解：（1）原式===．（2）原式===-=-【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)函數(shù)值，熟記特殊的銳角三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵．17．（23-24九年級(jí)上·遼寧大連·階段練習(xí)）大連作為沿海城市，我們常?？梢栽诤＿吙吹接腥撕ａ灒∪A陪爺爺周末去東港海釣，爺爺將魚竿擺成如圖所示．已知，在有魚上鉤時(shí)，魚竿與地面的夾角．此時(shí)魚線被拉直，魚線．點(diǎn)O恰好位于海面，魚線與海面的夾角．求海面與地面之間的距離的長．（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】0.9m【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，先作，并延長交于點(diǎn)E，根據(jù)矩形的性質(zhì)得，在中，根據(jù)求出，在中，根據(jù)，求出，最后根據(jù)求出答案．【詳解】過點(diǎn)B作，交于點(diǎn)C，延長交于點(diǎn)E，∴四邊形是矩形，∴．根據(jù)題意可知，在中，，∴，即，解得．在中，，∴，即，解得，∴（m）．所以海面與地面之間得距離的長0．9m．18．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）在綜合實(shí)踐課中，小明同學(xué)利用無人機(jī)測量小山的高度．如圖，是小明同學(xué)，無人機(jī)飛到小山的右上方時(shí)，測得山頂?shù)母┙菫槊?，測得小明同學(xué)頭頂?shù)母┙菫槊祝阎∶鞯纳砀邽?.8米，求小山的高度．（已知分別與水平線垂直且在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】59.8米【分析】本題考查了仰俯角的解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，解，求出，解，求出，最后再根據(jù)線段和差進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形和四邊形都是矩形，，在中，由題意知米，∴（米）在中，由題意知米，∴（米），（米）．答：小山的高度約為59.8米．19．（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測）2023年10月中旬，中國航天迎來了令人振奮的時(shí)刻，神舟十七號(hào)飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，發(fā)射取得圓滿成功．如圖所示，飛船從地面L處發(fā)射，在距離L處的地面雷達(dá)站R處測得：當(dāng)飛船到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，飛船底部與地面的仰角為，一秒后，雷達(dá)站測得飛船底部與地面的仰角為，問飛船從A點(diǎn)飛到B點(diǎn)的平均速度是多少？（雷達(dá)高度忽略不計(jì)，）【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，分別在、中，利用正切的定義求出，，進(jìn)而求出，然后根據(jù)速度=路程÷時(shí)間求解即可．【詳解】解：在中，，，，∴，在中，，，，∴，∴，∴飛船從A點(diǎn)飛到B點(diǎn)的平均速度是．20．（2025·上海寶山·模擬預(yù)測）圖1是某商場入口處擺放的“樓層導(dǎo)購圖”展板．圖2是其橫斷面的示意圖．信息1：經(jīng)過測量得到：，，，．（底座的高度忽略不計(jì)）信息2：P為顧客看展板時(shí)眼睛所在的位置，，垂足在的延長線上，當(dāng)視線與展板垂直時(shí)，稱點(diǎn)為“最佳觀察點(diǎn)”．(1)求：展板最低點(diǎn)B到地面的距離；(2)如果，當(dāng)點(diǎn)為“最佳觀測點(diǎn)”時(shí)，求點(diǎn)到的距離．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)展板最低點(diǎn)到地面的距離為；(2)當(dāng)點(diǎn)為“最佳觀測點(diǎn)”時(shí)，求點(diǎn)到的距離為【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)定義，作出輔助線．（1）過作于，過點(diǎn)作于，作于，解直角三角形求出，，最后求出結(jié)果即可；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，設(shè)，則，根據(jù)，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：如圖2，過作于，過點(diǎn)作于，作于，在中，，，，，，又，，，，在中，，，答：展板最低點(diǎn)到地面的距離為；（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，由（1）知，，，，，，，，設(shè)，，，，，，在中，，，，答：當(dāng)點(diǎn)為“最佳觀測點(diǎn)”時(shí)，求點(diǎn)到的距離為．21．（23-24九年級(jí)上·廣西梧州·期末）如圖，為了測量古塔高度，所得測量數(shù)據(jù)如下：米，，．求古塔的高度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義解題的關(guān)鍵．根據(jù)解直角三角形表示出，再根據(jù)建立等式求解，即可解題．【詳解】解：，，，米，，，解得．22．（2023·上海·模擬預(yù)測）如圖，斜坡的坡度為，坡頂B到水平地面（）的距離為3米，在B處、C處分別測得頂部點(diǎn)E的仰角為和，點(diǎn)A、C、D在一直線上，求的高度（精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】高度是18米【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，仰角、俯角問題、坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作，垂足為，設(shè)米，根據(jù)銳角