一、課程引入：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問題的自然聯(lián)結(jié)演講人01課程引入：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問題的自然聯(lián)結(jié)02實(shí)驗(yàn)探究：從猜想驗(yàn)證到定理建構(gòu)的實(shí)踐路徑03邏輯推理：從實(shí)驗(yàn)結(jié)論到定理證明的理性升華04應(yīng)用拓展：從數(shù)學(xué)定理到實(shí)際問題的遷移應(yīng)用05總結(jié)升華：從知識習(xí)得到學(xué)科素養(yǎng)的深度提升目錄2025九年級數(shù)學(xué)下冊相似三角形判定中SAS條件驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)課件01課程引入：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問題的自然聯(lián)結(jié)課程引入：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問題的自然聯(lián)結(jié)作為一線數(shù)學(xué)教師，我常在課堂上觀察到學(xué)生對幾何定理的學(xué)習(xí)容易陷入“記結(jié)論、套公式”的誤區(qū)，卻忽視了定理背后的探究邏輯與實(shí)踐價(jià)值。今天這節(jié)課，我們將以“相似三角形判定中的SAS條件”為核心，通過“觀察猜想—實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證—邏輯推理—應(yīng)用拓展”的完整路徑，讓同學(xué)們親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)定理的誕生過程。大家是否注意過，建筑工地上的腳手架鋼管、攝影愛好者使用的三角架，甚至我們課本上的幾何圖形，都存在著“形狀相同、大小不同”的相似現(xiàn)象？這些現(xiàn)象的本質(zhì)，是相似三角形在實(shí)際中的應(yīng)用。之前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形的定義（對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例）和AA判定定理（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似），但實(shí)際問題中，我們往往只能測量兩邊及其夾角的數(shù)據(jù)。這時(shí)候，能否通過“兩邊成比例且夾角相等”來判定相似？這就是今天我們要探究的核心問題——相似三角形判定的SAS條件是否成立。02實(shí)驗(yàn)探究：從猜想驗(yàn)證到定理建構(gòu)的實(shí)踐路徑1明確實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)，建立探究框架實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)：通過操作、測量與數(shù)據(jù)分析，驗(yàn)證“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形是否相似”這一猜想。01實(shí)驗(yàn)思路：按照“構(gòu)造滿足條件的三角形—測量對應(yīng)角與對應(yīng)邊—計(jì)算比例關(guān)系—?dú)w納實(shí)驗(yàn)結(jié)論”的步驟展開。02實(shí)驗(yàn)器材：直尺（精度1mm）、量角器（精度1）、圓規(guī)、方格紙、計(jì)算器（用于比例計(jì)算）、不同顏色的彩筆（區(qū)分不同三角形）。032分組實(shí)驗(yàn)操作，記錄關(guān)鍵數(shù)據(jù)為確保結(jié)論的普遍性，我們將全班分為6個(gè)實(shí)驗(yàn)小組，每組分配3組不同的參數(shù)（邊長比例分別為1:2、2:3、3:4，夾角分別為30、60、90），要求構(gòu)造滿足“兩邊成比例且夾角相等”的兩個(gè)三角形（記作△ABC與△A'B'C'，其中AB/A'B'=AC/A'C'=k，∠A=∠A'）。實(shí)驗(yàn)步驟示例（以k=2:3、夾角60為例）：畫△ABC：取AB=4cm，AC=6cm（滿足AB:AC=2:3），用量角器畫出∠A=60，連接BC；畫△A'B'C'：取A'B'=6cm（4×1.5），A'C'=9cm（6×1.5），用量角器畫出∠A'=60，連接B'C'；2分組實(shí)驗(yàn)操作，記錄關(guān)鍵數(shù)據(jù)測量記錄：用直尺測量BC、B'C'的長度，用量角器測量∠B、∠B'、∠C、∠C'的度數(shù)；計(jì)算驗(yàn)證：計(jì)算BC/B'C'的比值，觀察是否等于k（2:3）；對比對應(yīng)角的度數(shù)，觀察是否相等。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄表（部分小組）：|小組|邊長比例k|夾角θ|AB(cm)|AC(cm)|A'B'(cm)|A'C'(cm)|BC(cm)|B'C'(cm)|BC/B'C'|∠B()|∠B'()|∠C()|∠C'()|2分組實(shí)驗(yàn)操作，記錄關(guān)鍵數(shù)據(jù)|------|-----------|--------|--------|--------|----------|----------|--------|----------|----------|---------|----------|---------|----------||1|1:2|30|3|4|6|8|2.1|4.2|0.5|105|105|45|45||2|2:3|60|4|6|6|9|5.2|7.8|0.667|50|50|70|70||3|3:4|90|6|8|8|(32/3)|10|(40/3)|0.75|37|37|53|53|3分析實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，歸納初步結(jié)論觀察各小組數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)：所有滿足“兩邊成比例（k）且夾角相等（θ）”的三角形，其第三邊的比例均等于k（如小組1中BC/B'C'=0.5=1:2，小組2中BC/B'C'≈0.667=2:3）；對應(yīng)角的度數(shù)完全相等（如小組3中∠B=37，∠B'=37；∠C=53，∠C'=53）。這說明，滿足“兩邊成比例且夾角相等”的兩個(gè)三角形，不僅第三邊成相同比例，所有對應(yīng)角都相等，完全符合相似三角形的定義（對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例）。因此，我們可以初步猜想：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似（即SAS判定條件）。4辨析關(guān)鍵條件，避免認(rèn)知誤區(qū)在實(shí)驗(yàn)過程中，部分小組曾出現(xiàn)“兩邊成比例但非夾角相等”的情況（例如，構(gòu)造△ABC時(shí)AB=4cm、AC=6cm、∠B=60，△A'B'C'時(shí)A'B'=6cm、A'C'=9cm、∠B'=60）。此時(shí)測量發(fā)現(xiàn)，第三邊的比例不再等于k，對應(yīng)角也不相等。這說明：SAS中的“角”必須是兩邊的夾角，若為其中一邊的對角，則無法保證相似。為強(qiáng)化這一認(rèn)知，我們補(bǔ)充反例實(shí)驗(yàn)：取△ABC（AB=2cm、AC=4cm、∠B=30）和△A'B'C'（A'B'=4cm、A'C'=8cm、∠B'=30），測量得BC≈1.15cm、B'C'≈2.31cm（比例≈0.5），但∠C=120、∠C'=100（不相等），顯然兩三角形不相似。這一對比實(shí)驗(yàn)直觀證明了“夾角”的關(guān)鍵作用。03邏輯推理：從實(shí)驗(yàn)結(jié)論到定理證明的理性升華邏輯推理：從實(shí)驗(yàn)結(jié)論到定理證明的理性升華實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證為我們提供了感性認(rèn)識，但數(shù)學(xué)定理的成立需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明。接下來，我們以相似三角形的定義為依據(jù)，通過坐標(biāo)系中的坐標(biāo)變換，證明SAS判定條件的正確性。1建立坐標(biāo)系，設(shè)定基礎(chǔ)參數(shù)設(shè)△ABC與△A'B'C'滿足AB/A'B'=AC/A'C'=k，∠BAC=∠B'A'C'=θ。為簡化計(jì)算，將點(diǎn)A與A'重合于坐標(biāo)原點(diǎn)O，邊AB與A'B'重合于x軸正半軸，設(shè)A(B)點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0)，則A'(B')點(diǎn)坐標(biāo)為(ka,0)（因AB/A'B'=k，故A'B'=AB×k）；設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(bcosθ,bsinθ)（其中AC=b），則點(diǎn)C'的坐標(biāo)應(yīng)為(kbcosθ,kbsinθ)（因AC/A'C'=k，故A'C'=AC×k=kb，且∠B'A'C'=θ，故坐標(biāo)按比例放大k倍）。2計(jì)算對應(yīng)邊比例與對應(yīng)角計(jì)算BC與B'C'的長度：BC=√[(bcosθ-a)2+(bsinθ-0)2]=√(b2cos2θ-2abcosθ+a2+b2sin2θ)=√(a2+b2-2abcosθ)；B'C'=√[(kbcosθ-ka)2+(kbsinθ-0)2]=√(k2b2cos2θ-2k2abcosθ+k2a2+k2b2sin2θ)=k√(a2+b2-2abcosθ)=kBC；因此，BC/B'C'=1/k=AB/A'B'=AC/A'C'，三邊比例均為k。計(jì)算對應(yīng)角：2計(jì)算對應(yīng)邊比例與對應(yīng)角在坐標(biāo)系中，向量AB=(a,0)，向量AC=(bcosθ,bsinθ)；向量A'B'=(ka,0)，向量A'C'=(kbcosθ,kbsinθ)。由于向量是原向量的k倍縮放，方向不變，因此對應(yīng)角（如∠ABC與∠A'B'C'）的大小由向量間的夾角決定，而向量夾角在縮放變換下保持不變，故對應(yīng)角相等。3得出定理結(jié)論通過坐標(biāo)法證明，滿足“兩邊成比例且夾角相等”的兩個(gè)三角形，其對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等，完全符合相似三角形的定義。因此，SAS判定條件成立：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似（可簡記為“兩邊成比例且夾角相等，兩三角形相似”）。04應(yīng)用拓展：從數(shù)學(xué)定理到實(shí)際問題的遷移應(yīng)用應(yīng)用拓展：從數(shù)學(xué)定理到實(shí)際問題的遷移應(yīng)用數(shù)學(xué)定理的價(jià)值在于解決實(shí)際問題。接下來，我們通過3個(gè)典型例題，體會SAS判定條件在生活與幾何中的應(yīng)用。1生活實(shí)例：測量不可達(dá)距離問題：如圖1所示，小明想測量河對岸兩棵樹A、B之間的距離，他在岸邊選一點(diǎn)O，測得OA=12m、OB=18m，∠AOB=60；然后在岸邊另選一點(diǎn)O'，測得O'A'=8m、O'B'=12m，∠A'O'B'=60（其中A'、B'分別為A、B在岸邊的投影）。已知A'B'=10m，求AB的長度。分析：△AOB與△A'O'B'中，OA/O'A'=12/8=3/2，OB/O'B'=18/12=3/2，∠AOB=∠A'O'B'=60，滿足SAS判定條件，故△AOB∽△A'O'B'，相似比為3/2。因此AB/A'B'=3/2，AB=10×(3/2)=15m。2幾何證明：復(fù)雜圖形中的相似關(guān)系問題：如圖2，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，AD/AB=AE/AC=1/3，∠ADE=∠B。求證：△ADE∽△ABC。分析：由AD/AB=AE/AC=1/3，可得AD/AE=AB/AC（比例交叉相乘），但需注意夾角是否相等。題目中∠ADE=∠B，而∠A為公共角，需轉(zhuǎn)換思路：由AD/AB=1/3，AE/AC=1/3，得AD/AB=AE/AC，且∠A=∠A（公共夾角），因此直接應(yīng)用SAS判定條件，△ADE∽△ABC（相似比1:3）。3易錯(cuò)辨析：非夾角情況的反例應(yīng)用問題：判斷正誤：若△ABC與△DEF中，AB/DE=AC/DF=2，∠B=∠E=60，則△ABC∽△DEF。分析：錯(cuò)誤。雖然兩邊成比例且一角相等，但∠B與∠E并非兩邊的夾角（AB與AC的夾角是∠A，DE與DF的夾角是∠D），因此不滿足SAS判定條件?？赏ㄟ^構(gòu)造反例驗(yàn)證：取AB=2、AC=4、∠B=60，則BC可能有兩種長度（三角形存在兩解），對應(yīng)的△DEF中DE=1、DF=2、∠E=60，BC與EF的比例不一定等于2，故兩三角形不一定相似。05總結(jié)升華：從知識習(xí)得到學(xué)科素養(yǎng)的深度提升總結(jié)升華：從知識習(xí)得到學(xué)科素養(yǎng)的深度提升回顧本節(jié)課的探究歷程，我們經(jīng)歷了“觀察生活現(xiàn)象—提出猜想—設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證—邏輯推理證明—實(shí)際應(yīng)用反饋”的完整科學(xué)探究過程。這不僅讓我們掌握了“相似三角形SAS判定條件”這一具體知識，更重要的是體會了“實(shí)踐出真知”的數(shù)學(xué)研究方法，培養(yǎng)了“用數(shù)據(jù)說話”的嚴(yán)謹(jǐn)思維。1知識要點(diǎn)總結(jié)SAS判定條件：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似（關(guān)鍵：“兩邊”需對應(yīng)成比例，“夾角”必須是兩邊的夾角）；01實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的意義：通過操作與測量，將抽象的數(shù)學(xué)定理轉(zhuǎn)化為可感知的具體現(xiàn)象，增強(qiáng)對定理的理解與記憶；02邏輯推理的必要性：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證是歸納，邏輯證明是演繹，二者結(jié)合才能確保定理的普適性與嚴(yán)謹(jǐn)性。032學(xué)科素養(yǎng)提升本節(jié)課的