2026屆遼寧省鳳城市高三上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù).設(shè)，若對(duì)任意不相等的正數(shù)，，恒有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．2．已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(diǎn)（A在右支，B在左支）若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．四人并排坐在連號(hào)的四個(gè)座位上，其中與不相鄰的所有不同的坐法種數(shù)是（）A．12 B．16 C．20 D．84．隨著人民生活水平的提高，對(duì)城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大，下圖是某城市月至月的空氣質(zhì)量檢測(cè)情況，圖中一、二、三、四級(jí)是空氣質(zhì)量等級(jí)，一級(jí)空氣質(zhì)量最好，一級(jí)和二級(jí)都是質(zhì)量合格天氣，下面敘述不正確的是（）A．1月至8月空氣合格天數(shù)超過(guò)天的月份有個(gè)B．第二季度與第一季度相比，空氣達(dá)標(biāo)天數(shù)的比重下降了C．8月是空氣質(zhì)量最好的一個(gè)月D．6月份的空氣質(zhì)量最差.5．要排出高三某班一天中，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)各節(jié)，自習(xí)課節(jié)的功課表，其中上午節(jié)，下午節(jié)，若要求節(jié)語(yǔ)文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰（注意：上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法種數(shù)是（）A． B． C． D．6．已知復(fù)數(shù)z，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A． B． C．i D．i7．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若點(diǎn)在角的終邊上，則（）A． B． C． D．8．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為（）A．－10 B．－9 C．－7 D．110．已知命題，，則是（）A．， B．，.C．， D．，.11．函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是（）A． B． C． D．12．已知i是虛數(shù)單位，則1+iiA．-12+32i二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則展開(kāi)式的系數(shù)為_(kāi)_________．14．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則_________.15．（5分）已知為實(shí)數(shù)，向量，，且，則____________．16．農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽籺，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會(huì)品嘗的食品，傳說(shuō)這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國(guó)時(shí)期楚國(guó)大臣、愛(ài)國(guó)主義詩(shī)人屈原.如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折起來(lái)，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為_(kāi)___；若該六面體內(nèi)有一球，則該球體積的最大值為_(kāi)___．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)為實(shí)數(shù),已知函數(shù),．（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（2）設(shè)為實(shí)數(shù),若不等式對(duì)任意的及任意的恒成立,求的取值范圍;（3）若函數(shù)（,）有兩個(gè)相異的零點(diǎn),求的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為和．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若的極小值為，求在區(qū)間上的最大值．19．（12分）已知三棱柱中，，是的中點(diǎn)，，.（1）求證：；（2）若側(cè)面為正方形，求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與左、右頂點(diǎn)重合），且的周長(zhǎng)為6，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交于點(diǎn).（1）求橢圓方程；（2）若直線與橢圓交于另一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓的方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求和的極坐標(biāo)方程；（2）過(guò)且傾斜角為的直線與交于點(diǎn)，與交于另一點(diǎn)，若，求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)，，且．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的減區(qū)間；（2）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（3）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，試比較，與的大小，并說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

求解的導(dǎo)函數(shù)，研究其單調(diào)性，對(duì)任意不相等的正數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.【詳解】的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減；不妨設(shè)，而，知在單調(diào)遞減，從而對(duì)任意、，恒有，即，，，令，則，原不等式等價(jià)于在單調(diào)遞減，即，從而，因?yàn)?，所以?shí)數(shù)a的取值范圍是故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問(wèn)題，根據(jù)參數(shù)范圍化簡(jiǎn)后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問(wèn)題，屬于一般性題目.2、D【解析】

根據(jù)雙曲線的定義可得的邊長(zhǎng)為，然后在中應(yīng)用余弦定理得的等式，從而求得離心率．【詳解】由題意，，又，∴，∴，在中，即，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線的定義把到兩焦點(diǎn)距離用表示，然后用余弦定理建立關(guān)系式．3、A【解析】

先將除A，B以外的兩人先排，再將A，B在3個(gè)空位置里進(jìn)行插空，再相乘得答案.【詳解】先將除A，B以外的兩人先排，有種；再將A，B在3個(gè)空位置里進(jìn)行插空，有種，所以共有種.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查排列中不相鄰問(wèn)題，常用插空法，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】由圖表可知月空氣質(zhì)量合格天氣只有天，月份的空氣質(zhì)量最差．故本題答案選．5、C【解析】

根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午；②語(yǔ)文和數(shù)學(xué)一個(gè)安排在上午，一個(gè)安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午，要求節(jié)語(yǔ)文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰，將節(jié)語(yǔ)文課和節(jié)數(shù)學(xué)課分別捆綁，然后在剩余節(jié)課中選節(jié)到上午，由于節(jié)英語(yǔ)課不加以區(qū)分，此時(shí)，排法種數(shù)為種；②語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都一個(gè)安排在上午，一個(gè)安排在下午.語(yǔ)文和數(shù)學(xué)一個(gè)安排在上午，一個(gè)安排在下午，但節(jié)語(yǔ)文課不加以區(qū)分，節(jié)數(shù)學(xué)課不加以區(qū)分，節(jié)英語(yǔ)課也不加以區(qū)分，此時(shí)，排法種數(shù)為種.綜上所述，共有種不同的排法.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中等題．6、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出【詳解】，則復(fù)數(shù)z的虛部為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

由題知，又，代入計(jì)算可得.【詳解】由題知，又.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，二倍角公式的應(yīng)用求值.8、D【解析】

由已知等式求出z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得，即可得虛部.【詳解】由zi＝1﹣i，∴z＝，所以共軛復(fù)數(shù)=-1+，虛部為1故選D．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】

根據(jù)分段函數(shù)表達(dá)式，先求得的值，然后結(jié)合的奇偶性，求得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)求函數(shù)值，考查數(shù)形結(jié)合思想.意在考查學(xué)生的運(yùn)算能力，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.10、B【解析】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，可得，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查含量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減則恒成立，對(duì)導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，則，故在上恒成立；結(jié)合圖象可知，，解得故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:(1)代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角(或)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解；(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.12、D【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可化簡(jiǎn)得出結(jié)果【詳解】1+i故選D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先根據(jù)定積分求出的值，再用二項(xiàng)展開(kāi)式公式即可求解.【詳解】因?yàn)樗缘耐?xiàng)公式為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故展開(kāi)式中的系數(shù)為故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查定積分公式，二項(xiàng)展開(kāi)式公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于簡(jiǎn)單題目.14、0.4【解析】

因?yàn)殡S機(jī)變量ζ服從正態(tài)分布,利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性，即得解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量ζ服從正態(tài)分布所以正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，所.【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性在求概率中的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、5【解析】

由，，且，得，解得，則，則．16、【解析】

(1)先算出正四面體的體積，六面體的體積是正四面體體積的倍，即可得出該六面體的體積；(2)由圖形的對(duì)稱性得,小球的體積要達(dá)到最大,即球與六個(gè)面都相切時(shí)，求出球的半徑，再代入球的體積公式可得答案.【詳解】(1)每個(gè)三角形面積是，由對(duì)稱性可知該六面是由兩個(gè)正四面合成的，可求出該四面體的高為，故四面體體積為，因此該六面體體積是正四面體的2倍，所以六面體體積是；(2)由圖形的對(duì)稱性得，小球的體積要達(dá)到最大，即球與六個(gè)面都相切時(shí)，由于圖像的對(duì)稱性，內(nèi)部的小球要是體積最大，就是球要和六個(gè)面相切，連接球心和五個(gè)頂點(diǎn)，把六面體分成了六個(gè)三棱錐設(shè)球的半徑為，所以，所以球的體積.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查由平面圖形折成空間幾何體、考查空間幾何體的的表面積、體積計(jì)算，考查邏輯推理能力和空間想象能力求解球的體積關(guān)鍵是判斷在什么情況下，其體積達(dá)到最大，考查運(yùn)算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為．（2）（3）【解析】

（1）據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出;（2）分離參數(shù),可得對(duì)任意的及任意的恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可求出的范圍;（3）先求導(dǎo),再分類討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性以及最值得關(guān)系即可求出的范圍【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí),因?yàn)?當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),．所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為．（2）由,得,由于,所以對(duì)任意的及任意的恒成立,由于,所以,所以對(duì)任意的恒成立,設(shè),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以．（3）由,得,其中．①若時(shí),則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意;②若時(shí),令,得．由第（2）小題,知：當(dāng)時(shí),,所以,所以,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)椋?存在,使得,即,①且當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,所以．②設(shè),,則,所以函數(shù)在單調(diào)遞增,由于,所以當(dāng)時(shí),．所以,②式中的,又由①式,得．由第（1）小題可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,即．當(dāng)時(shí),（ⅰ）由于,所以得,又因?yàn)?且函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)的圖象在上不間斷,所以函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn);（ⅱ）由于,令,設(shè),,由于時(shí),,,所以設(shè),即．由①式,得,當(dāng)時(shí),,且,同理可得函數(shù)在上也恰有一個(gè)零點(diǎn)．綜上,．【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求不等式恒成立問(wèn)題,以及考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是綜合性較強(qiáng)的題.18、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和；（2）最大值是．【解析】

（1）求得，由題意可知和是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的符號(hào)變化可得出的符號(hào)變化，進(jìn)而可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）由（1）中的結(jié)論知，函數(shù)的極小值為，進(jìn)而得出，解出、、的值，然后利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【詳解】（1），令，因?yàn)椋缘牧泓c(diǎn)就是的零點(diǎn)，且與符號(hào)相同．又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)或時(shí)，，即.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和；（2）由（1）知，是的極小值點(diǎn)，所以有，解得，，，所以．因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和.所以為函數(shù)的極大值，故在區(qū)間上的最大值取和中的最大者，而，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值是．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值，考查計(jì)算能力，屬于中等題.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，，證明平面得出，再得出；（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，計(jì)算，即可得出答案．【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，，，，，，故，又，，平面，平面，，，分別是，的中點(diǎn)，，．（2）解：四邊形是正方形，，又，，平面，平面，在平面內(nèi)作直線的垂線，以為原點(diǎn)，以，，為所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，2，，，0，，，1，，，2，，，1，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令可得：，，，，．直線與平面所成角的正弦值為，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間向量與空間角的計(jì)算，屬于中檔題．20、（1）；（2）或【解析】

（1）根據(jù)的周長(zhǎng)為，結(jié)合離心率，求出，即可求出方程；（2）設(shè)，則，求出直線方程，若斜率不存在，求出坐標(biāo)，直接驗(yàn)證是否滿足題意，若斜率存在，求出其方程，與直線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)和三點(diǎn)共線，將點(diǎn)坐標(biāo)用表示，坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，的周長(zhǎng)為6，設(shè)橢圓的焦距為，則解得，，，所以橢圓方程為.（2）設(shè)，則，且，所以的方程為①.若，則