人教版初中數(shù)學(xué)九年級上冊第二十四章《圓》知識點(diǎn)與必考點(diǎn)總結(jié)（含思維導(dǎo)圖）一、知識點(diǎn)總結(jié)（含中考必考點(diǎn)）模塊1：圓的基本概念與性質(zhì)（中考基礎(chǔ)必拿分）1.1圓的定義與核心要素定義：①軌跡定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)（圓心O）的距離等于定長（半徑r）的所有點(diǎn)的集合（《墨經(jīng)》“一中同長”）；②集合定義：圓心為O、半徑為r的圓可看作“到O的距離等于r的所有點(diǎn)的集合”。核心要素（決定圓的關(guān)鍵）：圓心O：決定圓的位置；半徑r：決定圓的大小，同圓或等圓中所有半徑相等；直徑d：過圓心的弦，d=2r，是圓內(nèi)最長的弦（中考易考判斷：“弦是直徑”錯誤，“直徑是弦”正確）。相關(guān)概念（高頻基礎(chǔ)考點(diǎn)）：概念定義注意點(diǎn)弦連接圓上兩點(diǎn)的線段直徑是特殊弦（最長）弧圓上兩點(diǎn)間的部分分優(yōu)?。?gt;半圓，用3個點(diǎn)表示，如ACB）、劣?。?lt;半圓，如AB）圓心角頂點(diǎn)在圓心，兩邊為半徑的角度數(shù)等于所對弧的度數(shù)圓周角頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓相交的角中考核心考點(diǎn)，與圓心角關(guān)系密切弦心距圓心到弦的垂線段長度常與垂徑定理、勾股定理結(jié)合計(jì)算等圓/等弧半徑相等的圓為等圓；能重合的弧為等弧等弧必須在同圓或等圓中1.2圓的對稱性（定理推導(dǎo)基礎(chǔ)）軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在直線都是對稱軸（無數(shù)條）；中心對稱性：圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心（旋轉(zhuǎn)180°與自身重合）；旋轉(zhuǎn)不變性：圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都與自身重合（推導(dǎo)圓心角、弧、弦關(guān)系的關(guān)鍵）。1.3核心定理（中考必考，需熟記+會用）（1）垂徑定理及其推論（中考計(jì)算高頻，弦長/半徑/弦心距求解）定理：垂直于弦的直徑，平分弦，且平分弦所對的兩條弧（優(yōu)弧+劣?。?；推論（“知二推三”）：若一條直線滿足以下5個條件中的2個，則必滿足其余3個（注意：被平分的弦不能是直徑）：①過圓心（直徑）；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎α踊?；中考核心模型：設(shè)圓半徑為r，弦長為a，弦心距為d（圓心到弦的距離），則構(gòu)成直角三角形：r2=d2+（a2）2輔助線技巧：“見弦，作弦心距”（構(gòu)造直角三角形，結(jié)合勾股定理計(jì)算）。（2）圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系（中考證明/計(jì)算）前提：在同圓或等圓中；等價(jià)關(guān)系：以下四組量中任意一組相等，其余三組均相等：①圓心角相等；②所對的弧相等；③所對的弦相等；④所對的弦心距相等；用途：證明線段相等（弦）、角度相等（圓心角）、弧相等，常與全等三角形結(jié)合。（3）圓周角定理及其推論（中考角度計(jì)算核心，占比高）定理：一條弧所對的圓周角=12它所對的圓心角（如圖：∠ACB=推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等（中考隱藏條件，需主動挖掘）；推論2（高頻必考）：①半圓（或直徑）所對的圓周角是直角（∠ACB=90°，若AB是直徑）；②90°的圓周角所對的弦是輔助線技巧：“見直徑，連直徑兩端點(diǎn)”（構(gòu)造直角三角形）；易錯點(diǎn)：一條弦所對的圓周角有兩個（弦的兩側(cè)），且這兩個角互補(bǔ)（無圖題需考慮多解）。（4）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（中考角度計(jì)算補(bǔ)充）定義：四個頂點(diǎn)都在圓上的四邊形（圓為外接圓）；性質(zhì)：①對角互補(bǔ)（∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180用途：快速求圓內(nèi)接四邊形的未知角，常與圓周角定理結(jié)合。模塊2：點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系（中考中高檔題核心，壓軸題常考）2.1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（基礎(chǔ)判斷）設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓半徑為r，位置關(guān)系由d與r的大小決定：位置數(shù)量關(guān)系幾何特征點(diǎn)在圓內(nèi)d<r點(diǎn)在圓的內(nèi)部點(diǎn)在圓上d=r點(diǎn)在圓的邊緣（圓周上）點(diǎn)在圓外d>r點(diǎn)在圓的外部重要結(jié)論：不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓（外接圓）；外接圓的圓心（外心）：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)；外心性質(zhì)：到三個頂點(diǎn)的距離相等（等于外接圓半徑R）；特殊三角形外心：直角三角形外心在斜邊中點(diǎn)（R=122.2直線與圓的位置關(guān)系（核心是切線）設(shè)圓心到直線的距離為d，圓半徑為r，位置關(guān)系由d與r的大小決定：位置數(shù)量關(guān)系公共點(diǎn)個數(shù)直線名稱相離d>r0無相切d=r1切線（唯一公共點(diǎn)為切點(diǎn)）相交d<r2割線（1）切線的判定定理（中考證明題高頻第一問，必掌握）核心思路：證明直線與圓有唯一公共點(diǎn)（或d=r），常用兩種方法：①連半徑，證垂直（已知直線與圓有公共點(diǎn)，如直線過圓上一點(diǎn)P）：步驟：連接OP（半徑）→證明OP⊥直線l→結(jié)論：l是切線；②作垂直，證半徑（未知直線與圓是否有公共點(diǎn)）：步驟：過圓心O作OH⊥直線l于H→證明OH=r（半徑）→結(jié)論：l是切線；輔助線關(guān)鍵：“見切線，連切點(diǎn)與圓心”（后續(xù)計(jì)算或證明需用切線性質(zhì)）。（2）切線的性質(zhì)定理（中考計(jì)算/證明核心依據(jù)）定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（若l是切線，切點(diǎn)為P，則OP⊥l）；延伸性質(zhì)：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，兩條切線的切線長相等（切線長定理），且該點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角；用途：提供等線段（PA=PB）、等角（∠APO=∠BPO），常結(jié)合全等三角形（Rt△PAO≌Rt△PBO）求解。（3）三角形的內(nèi)切圓（中考計(jì)算常考）定義：與三角形三邊都相切的圓（內(nèi)切圓）；內(nèi)切圓的圓心（內(nèi)心）：三角形三條角平分線的交點(diǎn)；內(nèi)心性質(zhì)：到三角形三邊的距離相等（等于內(nèi)切圓半徑r）；中考核心公式（面積法求r）：設(shè)三角形面積為S，周長為l，則S=1特殊三角形：直角三角形內(nèi)切圓半徑r=a+b?c模塊3：正多邊形與圓（中考計(jì)算中檔題）3.1正多邊形與圓的關(guān)系定義：各邊相等、各角相等的多邊形；關(guān)鍵結(jié)論：等分圓周可得到圓的內(nèi)接正多邊形（將圓n等分，順次連接分點(diǎn)得正n邊形，圓為正多邊形的外接圓）。3.2正多邊形的相關(guān)概念與計(jì)算核心概念：中心：正多邊形外接圓的圓心；半徑：外接圓的半徑（R，正多邊形的“半徑”）；中心角：正n邊形每邊所對的圓心角（公式：中心角=360邊心距：中心到正多邊形一邊的距離（r，內(nèi)切圓半徑）；計(jì)算模型：將正n邊形轉(zhuǎn)化為2n個直角三角形（由中心O、邊中點(diǎn)M、頂點(diǎn)A構(gòu)成，直角在M），直角三角形的三邊為：①斜邊：正多邊形半徑R；②一條直角邊：邊心距r；③另一條直角邊：正多邊形邊長的一半（a2常用公式：R2模塊4：弧長與扇形面積（含圓錐）（中考計(jì)算必考，技巧性強(qiáng)）4.1弧長公式定義：n°的圓心角所對的弧長（l）；公式：l=關(guān)鍵：找準(zhǔn)n（弧所對的圓心角）和r（弧所在圓的半徑），單位統(tǒng)一（r為長度單位，n不帶單位）。4.2扇形面積公式（中考靈活選公式）扇形：由圓心角和它所對的弧圍成的圖形；兩個公式（根據(jù)已知條件選）：①已知n和r：S扇形=n②已知l（弧長）和r：S扇形=12lr弓形面積：S弓形=S扇形±S三角形（弧為劣弧用“-”，優(yōu)弧用“+”）。4.3圓錐的相關(guān)計(jì)算（中考熱點(diǎn)，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用）圓錐的構(gòu)成：底面（圓）+側(cè)面（曲面，展開為扇形）；核心概念：母線l：圓錐頂點(diǎn)到底面圓周上任意一點(diǎn)的線段（側(cè)面展開扇形的半徑）；底面半徑r：底面圓的半徑（側(cè)面展開扇形的弧長對應(yīng)底面圓的周長）；高h(yuǎn)：圓錐頂點(diǎn)到底面圓心的距離（與l、