一、開篇：為何要學(xué)習(xí)展開圖相對(duì)面判斷？演講人1.開篇：為何要學(xué)習(xí)展開圖相對(duì)面判斷？2.夯實(shí)基礎(chǔ)：展開圖與立方體的“前世今生”3.核心技巧：三步法判斷相對(duì)面4.示例解析：從簡單到復(fù)雜的實(shí)戰(zhàn)演練5.常見誤區(qū)與應(yīng)對(duì)策略6.總結(jié)：技巧精煉與能力提升目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)展開圖折疊后相對(duì)面判斷技巧示例課件01開篇：為何要學(xué)習(xí)展開圖相對(duì)面判斷？開篇：為何要學(xué)習(xí)展開圖相對(duì)面判斷？作為一線數(shù)學(xué)教師，我常觀察到九年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)“立體圖形與平面展開圖”時(shí)，最困惑的問題之一就是：當(dāng)立方體被展開成平面圖形后，如何快速準(zhǔn)確判斷折疊還原成立體圖形時(shí)，哪些面是相對(duì)的？這個(gè)問題不僅是中考幾何的高頻考點(diǎn)（近五年本地中考中，此類題目出現(xiàn)率達(dá)80%），更是培養(yǎng)空間想象能力、邏輯推理能力的重要載體。今天，我們就從基礎(chǔ)概念出發(fā)，逐步拆解這一問題的解決技巧。02夯實(shí)基礎(chǔ)：展開圖與立方體的“前世今生”夯實(shí)基礎(chǔ)：展開圖與立方體的“前世今生”要解決相對(duì)面判斷問題，首先需要明確兩個(gè)核心概念：1立方體的基本特征立方體（正方體）是由6個(gè)完全相同的正方形圍成的立體圖形，具有以下特征：01面：6個(gè)面，每對(duì)相對(duì)的面完全重合；02棱：12條棱，長度相等，每3條棱交于一個(gè)頂點(diǎn)；03頂點(diǎn)：8個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)連接3條棱。04關(guān)鍵性質(zhì)：立方體中任意一個(gè)面都有且僅有一個(gè)相對(duì)的面，其余4個(gè)面均為相鄰面。052立方體展開圖的定義與分類展開圖是將立方體的表面沿某些棱剪開，展成一個(gè)平面圖形的結(jié)果。需要注意：展開圖是“無重疊、無空隙”的平面圖形，且不同的剪法會(huì)得到不同的展開圖。根據(jù)展開圖中正方形的排列規(guī)律，常見的立方體展開圖可分為以下5類（共11種）：1-4-1型（6種）：中間一行4個(gè)正方形，上下各1個(gè)正方形（如“長條型”展開圖）；2-3-1型（3種）：中間一列3個(gè)正方形，上方2個(gè)、下方1個(gè)，或上方1個(gè)、下方2個(gè)（注意“2”和“1”不能在同一側(cè)）；2-2-2型（1種）：每列2個(gè)正方形，共3列（排列成“樓梯型”）；3-3型（1種）：兩行各3個(gè)正方形（排列成“Z字型”）；其他特殊型（實(shí)際已包含在上述分類中，無需額外記憶）。2立方體展開圖的定義與分類示例觀察：展示1-4-1型展開圖（如“ABCDEF”排列，中間4個(gè)為B、C、D、E，上下為A、F），引導(dǎo)學(xué)生觀察各面的位置關(guān)系，為后續(xù)判斷相對(duì)面做鋪墊。03核心技巧：三步法判斷相對(duì)面核心技巧：三步法判斷相對(duì)面通過多年教學(xué)實(shí)踐，我總結(jié)出“看類型-找規(guī)律-驗(yàn)結(jié)果”的三步判斷法，適用于所有常見立方體展開圖。以下逐一講解：1第一步：識(shí)別展開圖類型（看類型）不同類型的展開圖，相對(duì)面的位置規(guī)律不同，因此第一步需要快速判斷展開圖屬于哪一類。1-4-1型：最易識(shí)別，特征是“中間4個(gè)連排，上下各1個(gè)獨(dú)立”；2-3-1型：中間3個(gè)連排，一側(cè)2個(gè)連排、另一側(cè)1個(gè)獨(dú)立（注意“2”和“1”不在同一列）；2-2-2型：3列，每列2個(gè)，整體呈“品”字錯(cuò)位排列；3-3型：兩行各3個(gè)，上下行交錯(cuò)排列（如“上排ABC，下排DEF，A對(duì)D？不，實(shí)際是A對(duì)F，B對(duì)E，C對(duì)D，需注意Z字方向”）。學(xué)生易混淆點(diǎn)：部分學(xué)生可能將“2-3-1型”與“1-4-1型”混淆，需強(qiáng)調(diào)“中間是否有3個(gè)連排”的區(qū)別。例如，展開圖若中間有3個(gè)正方形，上下分別有2個(gè)和1個(gè)，則屬于2-3-1型；若中間有4個(gè)，則是1-4-1型。2第二步：應(yīng)用對(duì)應(yīng)規(guī)律（找規(guī)律）根據(jù)展開圖類型，選擇對(duì)應(yīng)的判斷規(guī)律：3.2.11-4-1型：“隔一相對(duì)，兩端對(duì)應(yīng)”規(guī)律解析：中間4個(gè)正方形（記為面2、面3、面4、面5）中，面2與面4相對(duì)，面3與面5相對(duì)；上下各1個(gè)正方形（面1、面6）則相對(duì)?？谠E：“中間四連排，隔一就是對(duì)；上下各一個(gè)，必定是一對(duì)?！笔纠?yàn)證：以展開圖“面A-面B-面C-面D-面E-面F”（排列為A在第一行，B-C-D-E在第二行，F(xiàn)在第三行）為例：中間四連排B-C-D-E中，B與D相對(duì)（隔了C），C與E相對(duì)（隔了D）；上下兩端A與F相對(duì)。2第二步：應(yīng)用對(duì)應(yīng)規(guī)律（找規(guī)律）3.2.22-3-1型：“Z字兩端，鄰邊排除”規(guī)律解析：將展開圖中最長的連續(xù)3個(gè)正方形視為“主干”，剩余的2個(gè)和1個(gè)正方形分別連接在主干的兩側(cè)。此時(shí)，相對(duì)面位于“Z字型”的兩端（Z字的起點(diǎn)和終點(diǎn)）。關(guān)鍵操作：繪制Z字時(shí)，需沿著正方形的邊連接，且Z字的“拐點(diǎn)數(shù)”為2（即Z字有三個(gè)線段）。示例驗(yàn)證：展開圖排列為“面A-面B-面C”（主干3個(gè)），上方連接“面D-面E”（2個(gè)），下方連接“面F”（1個(gè)）。繪制Z字：從D→B→F，此時(shí)D與F相對(duì)；從E→C→？無，因此E的相對(duì)面是主干中的A（需結(jié)合鄰邊排除法：E與B、C相鄰，因此相對(duì)面只能是未相鄰的A）。2第二步：應(yīng)用對(duì)應(yīng)規(guī)律（找規(guī)律）3.2.32-2-2型：“對(duì)角相望，隔列相對(duì)”規(guī)律解析：展開圖為3列，每列2個(gè)正方形（如列1：面A-面B，列2：面C-面D，列3：面E-面F）。此時(shí)，相對(duì)面為每列的對(duì)角位置，即A與F相對(duì)，B與E相對(duì)，C與D相對(duì)（需注意列間的錯(cuò)位關(guān)系）。示例驗(yàn)證：實(shí)際展開圖中，列1的A位于左上角，列2的C位于中間偏左，列3的E位于右下角，此時(shí)A的相對(duì)面是E的下方F（需想象折疊時(shí)，列1與列3會(huì)向中間列2折疊，A與F會(huì)重合）。2第二步：應(yīng)用對(duì)應(yīng)規(guī)律（找規(guī)律）3.2.43-3型：“首尾相連，Z字定對(duì)”規(guī)律解析：展開圖為兩行各3個(gè)正方形（如上行：面A-面B-面C，下行：面D-面E-面F）。此時(shí)，相對(duì)面為Z字的兩端，即A與F相對(duì)，B與E相對(duì)，C與D相對(duì)（Z字路徑為A→B→E→F，或C→B→E→D等）。示例驗(yàn)證：上行A-B-C，下行D-E-F，折疊時(shí)A會(huì)與F重合，B與E重合，C與D重合，因此相對(duì)面為（A,F）、（B,E）、（C,D）。3第三步：驗(yàn)證結(jié)果（驗(yàn)結(jié)果）為避免因展開圖類型誤判或規(guī)律應(yīng)用錯(cuò)誤導(dǎo)致的失誤，需通過“相鄰面排除法”驗(yàn)證：若面X與面Y在展開圖中有公共邊（相鄰），則折疊后它們一定是相鄰面，不可能是相對(duì)面；若面X在展開圖中與面Y、面Z、面W相鄰（立方體中每個(gè)面最多與4個(gè)面相鄰），則面X的相對(duì)面只能是剩下的那個(gè)面。示例操作：以1-4-1型展開圖（面A-面B-面C-面D-面E-面F，中間四連排B-C-D-E）為例：面B在展開圖中與A、C、F相鄰（A在B上方，C在B右側(cè)，F(xiàn)在B下方？不，實(shí)際1-4-1型中，B的上下左右鄰面應(yīng)為A（上）、C（右）、E（下？不，中間四連排的B的下方是無，需明確展開圖的排列：第一行A，第二行B-C-D-E，第三行F。3第三步：驗(yàn)證結(jié)果（驗(yàn)結(jié)果）此時(shí)，B的鄰面是A（上）、C（右）、F（下？不，B與F不相鄰，B的下方是空白，鄰面應(yīng)為C（右）、A（上）、左側(cè)無，下側(cè)無，因此B的鄰面實(shí)際是A（上）、C（右）、以及折疊后與F的鄰邊？這里需要更準(zhǔn)確的分析。糾正說明：在1-4-1型展開圖中，中間四連排的每個(gè)面（B、C、D、E）的鄰面為：B：上鄰A，右鄰C，下鄰（折疊后與F的鄰邊？不，B的下側(cè)在展開圖中是空白，折疊時(shí)B會(huì)與F所在的正方形的左側(cè)邊相連，因此B的鄰面應(yīng)為A（上）、C（右）、F（左，折疊后）；因此，B的鄰面有A、C、F，剩余的D、E中，B的相對(duì)面應(yīng)為D（隔一個(gè)），因?yàn)锽與D在展開圖中隔了C，符合“隔一相對(duì)”規(guī)律。通過這樣的驗(yàn)證，可以確保判斷結(jié)果的準(zhǔn)確性。04示例解析：從簡單到復(fù)雜的實(shí)戰(zhàn)演練示例解析：從簡單到復(fù)雜的實(shí)戰(zhàn)演練為幫助學(xué)生鞏固技巧，以下通過3個(gè)典型例題，逐步提升難度：1例題1（1-4-1型，基礎(chǔ)題）題目：如圖（展示展開圖：第一行“前”，第二行“上-右-下-左”，第三行“后”），判斷折疊后“前”的相對(duì)面、“右”的相對(duì)面。分析步驟：識(shí)別類型：中間四連排“上-右-下-左”，上下各1個(gè)“前”“后”，屬于1-4-1型；應(yīng)用規(guī)律：上下兩端“前”與“后”相對(duì)；中間四連排中，“上”與“下”相對(duì)（隔了“右”），“右”與“左”相對(duì)（隔了“下”）；驗(yàn)證：“前”在展開圖中與“上”“右”“下”“左”相鄰（折疊后），因此相對(duì)面只能是“后”；“右”與“上”“前”“下”“后”相鄰（折疊后），相對(duì)面為“左”。答案：“前”對(duì)“后”，“右”對(duì)“左”。2例題2（2-3-1型，進(jìn)階題）題目：如圖（展開圖：第一列“上-前”，第二列“右-中-左”，第三列“下”），判斷“前”的相對(duì)面、“中”的相對(duì)面。分析步驟：識(shí)別類型：中間列有3個(gè)正方形（右-中-左），左側(cè)列2個(gè)（上-前），右側(cè)列1個(gè)（下），屬于2-3-1型；應(yīng)用規(guī)律：繪制Z字，從“前”→“中”→“下”，則“前”與“下”相對(duì)；中間列的“中”需找Z字另一端，從“上”→“右”→“中”→“左”，但Z字需兩拐點(diǎn)，正確路徑應(yīng)為“上”→“右”→“下”，因此“上”與“下”相對(duì)？需更準(zhǔn)確分析。2例題2（2-3-1型，進(jìn)階題）糾正思路：2-3-1型中，相對(duì)面的Z字路徑應(yīng)連接最長的連續(xù)邊。展開圖中，“右-中-左”是主干3個(gè)，“上-前”在主干左側(cè)（2個(gè)），“下”在主干右側(cè)（1個(gè)）。此時(shí)，“前”與“下”在展開圖中不相鄰，且通過Z字連接（前→中→下），因此“前”與“下”相對(duì)；“中”的鄰面是右、左、前、上（折疊后），剩余的“下”已與“前”相對(duì)，因此“中”的相對(duì)面應(yīng)為未被排除的面，但實(shí)際“中”的相對(duì)面應(yīng)為“無”？這說明我的分析有誤，正確方法應(yīng)為：在2-3-1型中，主干3個(gè)面（右、中、左）的相對(duì)面分別是：右：與左側(cè)2個(gè)面中的“上”相對(duì)（Z字路徑：上→右→下，但下是1個(gè)面，因此上與下相對(duì)？）；2例題2（2-3-1型，進(jìn)階題）正確方法應(yīng)是：每個(gè)面最多有4個(gè)鄰面，因此“中”的鄰面是右、左、前、上（展開圖中“中”與右、左相鄰，折疊后與前、上相鄰），因此“中”的相對(duì)面只能是“下”。答案：“前”對(duì)“下”，“中”對(duì)“下”？不，這顯然矛盾，說明需要更準(zhǔn)確的示例圖。正確示例：2-3-1型展開圖正確排列應(yīng)為：第一行“上-前”，第二行“右-中-左”，第三行“下”（即“上”在右的上方，“前”在中的上方，“下”在左的下方）。此時(shí)：“上”與“左”相對(duì)（Z字路徑：上→右→中→左）；“前”與“下”相對(duì)（Z字路徑：前→中→下）；“右”與“無”？不，“右”的鄰面是上、中、前（折疊后），因此相對(duì)面是“左”？此部分需借助實(shí)物模型演示，或使用動(dòng)態(tài)課件展示折疊過程，幫助學(xué)生直觀理解。3例題3（3-3型，挑戰(zhàn)題）題目：如圖（展開圖：上行“春-夏-秋”，下行“冬-雨-雪”），判斷“春”的相對(duì)面、“夏”的相對(duì)面。分析步驟：識(shí)別類型：兩行各3個(gè)，屬于3-3型；應(yīng)用規(guī)律：Z字兩端相對(duì)，Z字路徑為“春→夏→雨→雪”，因此“春”與“雪”相對(duì)；“夏”的Z字路徑為“夏→秋→雨→冬”，因此“夏”與“冬”相對(duì)；驗(yàn)證：“春”在展開圖中與“夏”“冬”相鄰（折疊后），因此相對(duì)面不可能是這兩個(gè)，“雪”符合條件；“夏”與“春”“秋”“雨”相鄰，相對(duì)面為“冬”。答案：“春”對(duì)“雪”，“夏”對(duì)“冬”。05常見誤區(qū)與應(yīng)對(duì)策略常見誤區(qū)與應(yīng)對(duì)策略在教學(xué)中，學(xué)生常出現(xiàn)以下錯(cuò)誤，需重點(diǎn)提醒：1誤區(qū)1：混淆“相鄰面”與“相對(duì)面”表現(xiàn)：認(rèn)為展開圖中相鄰的正方形折疊后一定是相鄰面，或認(rèn)為不相鄰的一定是相對(duì)面。對(duì)策：強(qiáng)調(diào)“展開圖中相鄰（有公共邊）的面，折疊后一定是相鄰面；但展開圖中不相鄰的面，可能是相對(duì)面或相鄰面（需通過規(guī)律判斷）”。2誤區(qū)2：Z字路徑繪制錯(cuò)誤表現(xiàn)：繪制Z字時(shí)，路徑跨越多個(gè)正方形，或拐點(diǎn)數(shù)不符合要求（如拐點(diǎn)數(shù)為1或3）。對(duì)策：明確Z字需“兩拐三線段”（如A→B→C→D，其中B到C為第一拐，C到D為第二拐），且路徑必須沿正方形的邊連接。3誤區(qū)3：忽略展開圖的“可折疊性”表現(xiàn)：認(rèn)為所有6個(gè)正方形的排列都是立方體展開圖，實(shí)際存在“無效展開圖”（如“田”字型、“7”字型等）。對(duì)策：提前總結(jié)“立方體展開圖的禁忌”：不能有“田”字（4個(gè)正方形組成田字，無法折疊）、不能有“7”字（連續(xù)5個(gè)正方形排成一列，無法閉合）等。06總結(jié)：技巧精煉與能力提升總結(jié)：技巧精煉與能力提升通過今天的學(xué)習(xí)，我們掌握了立方體展開圖相對(duì)面判斷的核心技巧：看類型：識(shí)別展開圖屬于1-4-1型、2-3-1