2025年大學(xué)理學(xué)（數(shù)學(xué)（計(jì)算數(shù)學(xué)））試題及答案

（考試時(shí)間：90分鐘滿分100分）班級(jí)______姓名______一、選擇題（總共10題，每題4分，每題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案填在括號(hào)內(nèi)）1.計(jì)算數(shù)學(xué)中，數(shù)值積分的常用方法不包括以下哪種？（）A.牛頓-柯特斯公式B.高斯求積公式C.蒙特卡洛方法D.傅里葉變換2.對(duì)于線性方程組Ax=b，當(dāng)系數(shù)矩陣A滿足什么條件時(shí)，雅可比迭代法一定收斂？（）A.A為對(duì)稱正定矩陣B.A的所有對(duì)角元素非零C.A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)D.A可逆3.在求解微分方程數(shù)值解時(shí)，歐拉方法的局部截?cái)嗾`差是（）。A.O(h)B.O(h2)C.O(h3)D.O(h?)4.計(jì)算矩陣特征值的冪法適用于（）。A.所有矩陣B.實(shí)對(duì)稱矩陣C.具有一個(gè)占優(yōu)特征值的矩陣D.非奇異矩陣5.數(shù)值逼近中，拉格朗日插值多項(xiàng)式的次數(shù)最高為（）。A.nB.n-1C.n+1D.2n6.用二分法求方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]內(nèi)的根，要求滿足（）。A.f(a)f(b)<0B.f(a)f(b)>0C.f(a)與f(b)同號(hào)D.f(a)=0或f(b)=07.計(jì)算數(shù)學(xué)中，快速傅里葉變換（FFT）主要用于（）。A.求解線性方程組B.數(shù)值積分C.信號(hào)處理D.求解非線性方程8.對(duì)于迭代格式x(k+1)=Ax(k)+b，若迭代收斂，則其收斂速度取決于（）。A.矩陣A的特征值B.向量bC.初始向量x(0)D.迭代次數(shù)k9.數(shù)值微分中，用差商近似導(dǎo)數(shù)時(shí)，二階中心差商的精度為（）。A.O(h)B.O(h2)C.O(h3)D.O(h?)10.求解非線性方程f(x)=0的牛頓迭代法的迭代公式為（）。A.x(k+1)=x(k)-f(x(k))/f'(x(k))B.x(k+1)=x(k)+f(x(k))/f'(x(k))C.x(k+1)=f(x(k))/f'(x(k))D.x(k+1)=f'(x(k))/f(x(k))二、多項(xiàng)選擇題（總共5題，每題6分，每題至少有兩個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案填在括號(hào)內(nèi)）1.以下哪些是計(jì)算數(shù)學(xué)的研究內(nèi)容？（）A.數(shù)值逼近B.數(shù)值代數(shù)C.微分方程數(shù)值解D.最優(yōu)化方法E.概率論2.關(guān)于高斯消去法，以下說法正確的是（）。A.可以求解線性方程組B.計(jì)算過程中可能會(huì)出現(xiàn)除數(shù)為零的情況C.是一種直接法D.適用于所有線性方程組E.計(jì)算量較大3.在數(shù)值積分中，辛普森公式的優(yōu)點(diǎn)有（）。A.精度較高B.計(jì)算簡單C.對(duì)被積函數(shù)要求低D.收斂速度快E.適用于任意區(qū)間4.以下哪些方法可用于求解矩陣的逆？（）A.伴隨矩陣法B.高斯消去法C.LU分解法D.冪法E.雅可比迭代法5.對(duì)于常微分方程數(shù)值解的龍格-庫塔方法，以下正確的是（）。A.有多種不同階數(shù)的格式B.精度比歐拉方法高C.計(jì)算復(fù)雜度較高D.適用于所有常微分方程E.是一種間接法三、判斷題（總共10題，每題3分，請(qǐng)判斷對(duì)錯(cuò)，對(duì)的打√，錯(cuò)的打×）1.計(jì)算數(shù)學(xué)只研究數(shù)值計(jì)算方法本身，不考慮其在實(shí)際問題中的應(yīng)用。（）2.線性方程組的迭代法收斂的充分必要條件是迭代矩陣的譜半徑小于1。（）3.數(shù)值積分的梯形公式比矩形公式精度高。（）4.用牛頓迭代法求解非線性方程時(shí)，初始值的選取對(duì)收斂性沒有影響。（）5.矩陣的QR分解可以通過施密特正交化過程得到。（）6.計(jì)算數(shù)學(xué)中的數(shù)值方法都是精確的，不存在誤差。（）7.對(duì)于高階微分方程，可以通過降階轉(zhuǎn)化為一階微分方程組來求解。（）8.拉格朗日插值多項(xiàng)式在插值節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值等于被插值函數(shù)在該節(jié)點(diǎn)處的值。（）9.數(shù)值微分的精度與所用差商的階數(shù)有關(guān)，階數(shù)越高精度越高。（）10.求解線性方程組的共軛梯度法只適用于對(duì)稱正定矩陣。（）四、簡答題（總共3題，每題10分，請(qǐng)簡要回答問題）1.簡述數(shù)值逼近中最小二乘法的基本思想及步驟。2.說明用二分法求方程根的優(yōu)缺點(diǎn)。3.闡述計(jì)算矩陣特征值的冪法的基本原理及收斂條件。五、綜合題（總共2題，每題15分，請(qǐng)?jiān)敿?xì)解答問題）1.已知線性方程組：\[\begin{cases}3x_1-x_2+2x_3=1\\-x_1+7x_2-x_3=2\\2x_1-x_2+10x_3=3\end{cases}\]（1）寫出用雅可比迭代法求解該方程組的迭代公式。（2）判斷雅可比迭代法是否收斂。2.用牛頓迭代法求解方程\(x3-2x-5=0\)，取初始值\(x_0=2\)，計(jì)算前3次迭代值。答案1.選擇題1.D2.C3.B4.C5.A6.A7.C8.A9.B10.A2.多項(xiàng)選擇題1.ABCD2.AC3.AD4.ABC5.ABC3.判斷題1.×2.√3.√4.×5.√6.×7.√8.√9.√10.√4.簡答題1.最小二乘法基本思想是：對(duì)于給定的一組數(shù)據(jù)點(diǎn)\((x_i,y_i)\)，\(i=1,2,\cdots,n\)，尋找一個(gè)函數(shù)\(y=\varphi(x)\)，使得\(\sum_{i=1}^{n}(y_i-\varphi(x_i))2\)達(dá)到最小。步驟：先確定函數(shù)\(\varphi(x)\)的形式（如多項(xiàng)式等），然后通過求偏導(dǎo)數(shù)等方法得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組，解方程組確定系數(shù)。2.優(yōu)點(diǎn)：算法簡單易理解，對(duì)函數(shù)\(f(x)\)要求低，只要\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)且\(f(a)f(b)<0\)即可保證收斂。缺點(diǎn)：收斂速度較慢，每次迭代只能將根的搜索區(qū)間縮小一半。3.冪法基本原理：對(duì)于矩陣\(A\)，任取非零初始向量\(v_0\)，構(gòu)造向量序列\(zhòng)(v_k=A^kv_0\)，適當(dāng)歸一化后得到\(u_k=\frac{v_k}{\max(v_k)}\)，當(dāng)\(k\)充分大時(shí)，\(u_k\)趨向于矩陣\(A\)的主特征向量方向，\(\frac{(u_k)^TAu_k}{(u_k)^Tu_k}\)趨向于主特征值。收斂條件：矩陣\(A\)有一個(gè)占優(yōu)特征值（其絕對(duì)值大于其他特征值的絕對(duì)值）。5.綜合題1.（1）雅可比迭代公式：\(x_1^{(k+1)}=\frac{1}{3}(1+x_2^{(k)}-2x_3^{(k)})\)\(x_2^{(k+1)}=\frac{1}{7}(2+x_1^{(k)}+x_3^{(k)})\)\(x_3^{(k+1)}=\frac{1}{10}(3-2x_1^{(k)}+x_2^{(k)})\)（2）系數(shù)矩陣\(A=\begin{pmatrix}3&-1&2\\-1&7&-1\\2&-1&10\end{pmatrix}\)，計(jì)算可得\(\verta_{11}\vert=3\)，\(\verta_{22}\vert=7\)，\(\verta_{33}\vert=10\)，\(\verta_{12}\vert+\verta_{13}\vert=3\)，\(\verta_{21}\vert+\verta_{23}\vert=2\)，\(\verta_{31}\vert+\verta_{32}\vert=3\)，滿足嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，所以雅可比迭代法收斂。2.已知\(f(x)=x3-2x-5\)，\(f'(x)=3x2-2\)。\(x_0=2\)時(shí)，\(x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=2-\frac{23-2×2-5}{3×22-2}=2-\frac{8-4-5}{12-2}=2+\frac{1}{10}=2.1\)\(x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=2.1-\frac{2.13-2×2.1-5}{3×2.12-2}\approx2.1-\frac{9.261-4.2-5}{13.23-2}=2.1-\frac{0.061}{11.23}\approx